7.3 Primtall og primtallsfaktorisering

Primtall, sammensatte tall, SFF og MFF.

50 min

6 oppgaver

PrimtallPrimtallsfaktoriseringSFFMFFEratosthenes sil

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Primtall: Tallenes byggesteiner

Tenk på LEGO. Med bare noen grunnleggende klosser kan du bygge nesten hva som helst. Primtallene er matematikkens LEGO-klosser — de er de grunnleggende byggesteinene som alle andre tall er satt sammen av.

Tallet $12$ for eksempel kan deles opp i $2 \times 2 \times 3$ . Du kan ikke dele $2$ eller $3$ videre — de er «udelelige». De er primtall.

I dette kapittelet skal du lære:
- Hva et primtall er og hvordan du gjenkjenner dem
- Eratosthenes' sil — en metode for å finne primtall
- Primtallsfaktorisering — å dele opp tall i primtallsfaktorer
- Hvordan du finner største felles faktor (SFF) og minste felles multiplum (MFF)

Primtall og sammensatte tall

1

✏️Eksempel 1: Er tallet et primtall?

Avgjør om $29$ , $51$ og $67$ er primtall.

Sjekk $29$ :
Vi trenger bare å sjekke deling med primtall opp til

\sqrt{29} \approx 5{,}4

.
-

29 \div 2 = 14{,}5

— nei
-

29 \div 3 = 9{,}67\ldots

— nei
-

29 \div 5 = 5{,}8

— nei

$29$ er et primtall.

Sjekk $51$ :
$\sqrt{51} \approx 7{,}1$ , så vi sjekker primtall opp til $7$ :
- $51 \div 2 = 25{,}5$ — nei
- $51 \div 3 = 17$ — ja!

$51 = 3 \times 17$ , så $51$ er et sammensatt tall.

Sjekk $67$ :
$\sqrt{67} \approx 8{,}2$ , så vi sjekker opp til $7$ :
- $67 \div 2 = 33{,}5$ — nei
- $67 \div 3 = 22{,}33\ldots$ — nei
- $67 \div 5 = 13{,}4$ — nei
- $67 \div 7 = 9{,}57\ldots$ — nei

$67$ er et primtall.

Huskeregel: Du trenger bare å sjekke deling med primtall opp til kvadratroten av tallet.

📝Oppgave 7.13

Avgjør om tallene er primtall eller sammensatte tall.

37

49

83

91

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Mia har primtallsfaktorisert

84

slik:

$84 = 2 \times 6 \times 7$

Finn feilen og skriv riktig primtallsfaktorisering.

Eratosthenes' sil

Den greske matematikeren Eratosthenes (276–194 f.Kr.) fant en elegant metode for å finne alle primtall opp til et gitt tall. Metoden kalles Eratosthenes' sil.

Slik fungerer det (for å finne alle primtall opp til 50):

1. Skriv opp alle tall fra 2 til 50
2. $2$ er primtall. Stryk alle multipler av $2$ : $4, 6, 8, 10, \ldots$
3. Neste tall som ikke er strøket er $3$ . Stryk alle multipler av $3$ : $6, 9, 12, 15, \ldots$
4. Neste er $5$ . Stryk alle multipler av $5$ : $10, 15, 20, 25, \ldots$
5. Neste er $7$ . Stryk alle multipler av $7$ : $14, 21, 28, 35, \ldots$
6. Siden $\sqrt{50} \approx 7{,}1$ , er vi ferdige!

Primtallene opp til 50:
$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$

Det er 15 primtall mellom 1 og 50.

📝Oppgave 7.14

Bruk Eratosthenes' sil.

Finn alle primtall mellom 50 og 100 ved å bruke Eratosthenes' sil. Hvor mange er det?

Ser du noen mønstre? Er det like mange primtall mellom 1–50 som mellom 50–100?

Primtallsfaktorisering

1

✏️Eksempel 2: Primtallsfaktorisering

Finn primtallsfaktoriseringen av $180$ og $252$ .

$180$ :

180 \div 2 = 90

90 \div 2 = 45

45 \div 3 = 15

15 \div 3 = 5

5 \div 5 = 1

$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

$252$ :
$252 \div 2 = 126$
$126 \div 2 = 63$
$63 \div 3 = 21$
$21 \div 3 = 7$
$7 \div 7 = 1$

$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$

📝Oppgave 7.15

Finn primtallsfaktoriseringen.

72

150

360

1001

Løs oppgaven Tren

SFF og MFF

12

✏️Eksempel 3: Finne SFF og MFF

Finn SFF og MFF av $60$ og $84$ .

Steg 1: Primtallsfaktorisering

60 = 2^2 \times 3 \times 5

84 = 2^2 \times 3 \times 7

Steg 2: SFF (velg laveste potens av felles primtall)
Felles primtall: $2$ og $3$
$\text{SFF} = 2^2 \times 3 = 12$

Steg 3: MFF (velg høyeste potens av alle primtall)
Alle primtall: $2, 3, 5, 7$
$\text{MFF} = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$

Kontroll: $\text{SFF} \times \text{MFF} = 12 \times 420 = 5040 = 60 \times 84$ ✓

📝Oppgave 7.16

Bruk primtallsfaktorisering til å finne SFF og MFF.

Finn SFF og MFF av $24$ og $36$ .

Finn SFF og MFF av $45$ og $75$ .

Finn SFF og MFF av $48$ , $60$ og $72$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: En venn sier: «Det finnes ikke to primtall rett etter hverandre (med forskjell 1).» Er dette riktig? Finnes det unntak? Drøft også om det finnes uendelig mange «tvillingprimtall» (primtall med forskjell 2, f.eks.

11

13

Oppsummering

Primtall

- Et primtall er bare delelig med

1

og seg selv
-

2

er det minste (og eneste partalls-) primtallet
-

1

er verken primtall eller sammensatt tall

Primtallsfaktorisering

- Hvert tall

> 1

kan skrives som et unikt produkt av primtall
- Bruk faktortre: del gjentatt på det minste primtallet som går opp

SFF og MFF

- SFF: Velg laveste potens av felles primtall
- MFF: Velg høyeste potens av alle primtall
- Sjekk:

\text{SFF}(a,b) \times \text{MFF}(a,b) = a \times b

📝Oppgave 7.17

Bruk primtall til å løse praktiske problemer.

Du har 24 røde roser og 36 hvite roser. Du vil lage buketter som har like mange røde og like mange hvite roser i hver bukett, uten at noen roser blir til overs. Hva er det største antallet buketter du kan lage?

Buss A går hvert 12. minutt, og buss B går hvert 18. minutt. Begge bussene er ved holdeplassen klokka 08:00. Når er neste gang begge bussene er ved holdeplassen samtidig?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7.18

Utforsk primtall med programmering (valgfritt).

Skriv en algoritme (pseudokode eller Python) som sjekker om et tall $n$ er et primtall. Hint: Du trenger bare å sjekke deling opp til $\sqrt{n}$ .

Bruk algoritmen til å finne alle primtall mellom 100 og 150.

Primtallstvillinger er primtallspar med avstand 2 (f.eks. $11$ og $13$ ). Finn alle primtallstvillinger mellom 1 og 100.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.