7.1 Tallmengder og tallsystemer

Tallenes familie

Tenk deg at du rydder i et klesskap. Innerst har du en liten skuff med sokker. Den skuffen er inne i en større skuff for undertoy. Og hele seksjonen er inne i en enda større del av skapet. Slik er det med tall også. Matematikere har organisert alle tall i tallmengder -- grupper av tall med felles egenskaper. Noen tallmengder er helt inne i andre, akkurat som den minste skuffen er inne i den største.

Vi starter innerst og jobber oss utover.

De naturlige tallene og de hele tallene

De aller første tallene du lærte som barn, var telletallene: $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$ Disse kaller vi naturlige tall, og vi bruker symbolet $\mathbb{N}$. I norsk skole regner vi som regel også $0$ med, slik at $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}$. Naturlige tall er det vi bruker når vi teller ting: tre epler, syv elever, tolv måneder.

Men hva om du skylder noen penger? Da trenger du negative tall. Når vi legger til $\ldots, -3, -2, -1$ foran de naturlige tallene, får vi hele tall, med symbolet $\mathbb{Z}$ (fra det tyske ordet Zahlen, som betyr «tall»):

$$\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$$

Alle naturlige tall er også hele tall -- men ikke omvendt. Tallet $-5$ er et helt tall, men det er ikke naturlig. Og tall som $0{,}5$ eller $\displaystyle \frac{2}{3}$ er verken naturlige eller hele tall, for de ligger «mellom» heltallene.

Rasjonale tall -- brokenes verden

Hva om du vil dele en pizza på tre? Da trenger du $\displaystyle \frac{1}{3}$, som ikke er et helt tall. Tall som kan skrives som en brok $\displaystyle \frac{a}{b}$ der $a$ og $b$ er hele tall og $b \neq 0$, kalles rasjonale tall. Symbolet er $\mathbb{Q}$ (fra quotient, som betyr resultat av divisjon):

$$\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \,\middle|\, a \in \mathbb{Z}, \, b \in \mathbb{Z}, \, b \neq 0 \right\}$$

Et viktig poeng: alle hele tall er også rasjonale, fordi $\displaystyle 5 = \frac{5}{1}$. Rasjonale tall har en viktig egenskap: desimalutviklingen er enten endelig (som $\displaystyle \frac{3}{4} = 0{,}75$) eller periodisk (som $\displaystyle \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$). Periodisk betyr at et mønster av siffer gjentar seg i det uendelige.

Du kan også gå den andre veien og gjøre om periodiske desimaltall til broker. Skal du for eksempel finne broken for $0{,}\overline{36} = 0{,}363636\ldots$, setter du $x = 0{,}363636\ldots$, ganger med $100$ (fordi perioden har to siffer) og får $100x = 36{,}363636\ldots$. Trekker du fra, gir $99x = 36$, så $\displaystyle x = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}$.

Irrasjonale tall og reelle tall

Finnes det tall som ikke kan skrives som brok? Ja, og de kalles irrasjonale tall. Desimalutviklingen deres er uendelig og aldri periodisk -- sifrene fortsetter for alltid uten at noe mønster gjentar seg.

De mest kjente irrasjonale tallene er:
- $\pi = 3{,}14159265358979\ldots$ -- forholdet mellom omkrets og diameter i en sirkel
- $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ -- diagonalen i et kvadrat med sidelengde $1$
- $\sqrt{3} = 1{,}73205080\ldots$
- Eulers tall $e = 2{,}71828182\ldots$
- Det gylne snitt $\displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1{,}61803398\ldots$

En viktig huskeregel: $\sqrt{4} = 2$ er ikke irrasjonalt, fordi svaret er et helt tall. Det er bare kvadratrotter av tall som ikke er perfekte kvadrater ($\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, ...) som gir irrasjonale tall.

Pass også på å skille mellom $\pi$ og tilnærminger til $\pi$. Broken $\displaystyle \frac{22}{7} = 3{,}142857142857\ldots$ er rasjonalt (periodisk desimal), men den er bare en tilnærming til $\pi$. Selve $\pi$ er irrasjonalt.

Når vi samler alle rasjonale og irrasjonale tall, får vi reelle tall ($\mathbb{R}$). Tallmengdene henger sammen som bokser inni hverandre:

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

De irrasjonale tallene fyller «resten» av de reelle tallene -- alt på tallinja som ikke er rasjonalt.

Oppsummering

Vi har utforsket tallenes familie -- fra de enkleste telletallene til de mystiske irrasjonale tallene: