Tilbake
7.1
Alle fag for 10. klasse

7.1 Tallmengder og tallsystemer

Naturlige, hele, rasjonale, irrasjonale og reelle tall.

50 min
6 oppgaver
TallmengderNaturlige tallRasjonale tallIrrasjonale tallReelle tall
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 6 oppgaver

Tallmengder: Tallenes familie

Tenk deg at du sorterer klær i et klesskap. Du har én skuff for sokker, én for t-skjorter, og én for bukser. Noen skuffer er inne i andre — sokkeskuffen er kanskje del av en større skuff for undertøy.

Slik er det med tall også. Matematikere har organisert alle tall i tallmengder — grupper av tall med felles egenskaper. Noen tallmengder er «inne i» andre, akkurat som sokkeskuffen er inne i undertøyskuffen.

I dette kapittelet skal du lære om:
- De fem viktigste tallmengdene
- Hvordan tallmengdene henger sammen (Venndiagram)
- Hvordan du avgjør hvilken tallmengde et tall hører til
- Forskjellen mellom rasjonale og irrasjonale tall

Naturlige tall (ℕ)
De naturlige tallene er telletallene vi bruker i hverdagen:

N={1,2,3,4,5,6,…}\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots\}

Naturlige tall brukes til å telle ting: 3 epler, 7 elever, 12 måneder.

Merk: Noen definisjoner inkluderer 00 i de naturlige tallene, mens andre ikke gjør det. I norsk skole regner vi som regel 00 med blant de naturlige tallene:

N0={0,1,2,3,4,…}\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}

Hele tall (ℤ)
De hele tallene er de naturlige tallene pluss null og de negative hele tallene:

Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}

Bokstaven Z\mathbb{Z} kommer fra det tyske ordet Zahlen, som betyr «tall».

Eksempler på hele tall: −17-17, 00, 4242, −3-3, 10001000

Ikke hele tall: 0,50{,}5, 23\displaystyle \frac{2}{3}, 2\sqrt{2}

Alle naturlige tall er også hele tall, men ikke omvendt. For eksempel er −5-5 et helt tall, men ikke et naturlig tall.

✏️Eksempel 1: Naturlige tall og hele tall

Avgjør om disse tallene er naturlige tall, hele tall, eller ingen av delene: 77, −3-3, 0,50{,}5, 00, −12-12, 100100

Vi sjekker hvert tall:

TallNaturlig tall (N\mathbb{N})?Helt tall (Z\mathbb{Z})?
77JaJa
−3-3Nei (negativt)Ja
0,50{,}5Nei (desimaltall)Nei
00Ja (med N0\mathbb{N}_0)Ja
−12-12Nei (negativt)Ja
100100JaJa

Huskeregel: Alle naturlige tall er hele tall, men hele tall inkluderer også de negative tallene.

📝Oppgave 7.1

Sorter tallene i riktig tallmengde.

a

Hvilke av disse er naturlige tall? −4-4, 00, 33, 12\displaystyle \frac{1}{2}, 1515, −1-1

b

Hvilke av disse er hele tall? 77, −8-8, 2,52{,}5, 00, −100-100, 34\displaystyle \frac{3}{4}

📝Oppgave S1
Sant eller usant?

«Alle hele tall er også naturlige tall.»

Rasjonale tall (ℚ)
De rasjonale tallene er alle tall som kan skrives som en brøk ab\displaystyle \frac{a}{b} der aa og bb er hele tall og b≠0b \neq 0:

Q={ab | a∈Z, b∈Z, b≠0}\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \,\middle|\, a \in \mathbb{Z}, \, b \in \mathbb{Z}, \, b \neq 0 \right\}

Bokstaven Q\mathbb{Q} kommer fra det engelske ordet quotient, som betyr «kvotient» (resultat av divisjon).

Eksempler:
- 34=0,75\displaystyle \frac{3}{4} = 0{,}75 — en endelig desimal
- 13=0,333…\displaystyle \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots — en periodisk desimal
- −72=−3,5\displaystyle -\frac{7}{2} = -3{,}5
- 5=51\displaystyle 5 = \frac{5}{1} — alle hele tall er rasjonale!

Kjennetegn: Et rasjonalt tall har enten en endelig desimalutvikling (0,750{,}75) eller en periodisk desimalutvikling (0,333…0{,}333\ldots eller 0,142857142857…0{,}142857142857\ldots).

✏️Eksempel 2: Gjøre om mellom brøk og desimaltall

Skriv 58\displaystyle \frac{5}{8} som desimaltall, og skriv 0,36‾0{,}\overline{36} (dvs. 0,363636…0{,}363636\ldots) som brøk.

Del 1: Brøk til desimaltall

Vi deler telleren på nevneren:
58=5÷8=0,625\frac{5}{8} = 5 \div 8 = 0{,}625

Del 2: Periodisk desimaltall til brøk

La x=0,363636…x = 0{,}363636\ldots

Perioden har 2 siffer, så vi ganger med 100100:
100x=36,363636…100x = 36{,}363636\ldots

Trekker fra:
100x−x=36,3636…−0,3636…100x - x = 36{,}3636\ldots - 0{,}3636\ldots
99x=3699x = 36
x=3699=411x = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}

Svar: 58=0,625\displaystyle \frac{5}{8} = 0{,}625 og 0,36‾=411\displaystyle 0{,}\overline{36} = \frac{4}{11}

📝Oppgave 7.2

Gjør om mellom brøk og desimaltall.

a

Skriv 38\displaystyle \frac{3}{8} som desimaltall.

b

Skriv 711\displaystyle \frac{7}{11} som desimaltall. Hva slags desimaltall får du?

c

Skriv 0,27‾0{,}\overline{27} (dvs. 0,272727…0{,}272727\ldots) som brøk.

Løs oppgavenTren
Irrasjonale tall

Et irrasjonalt tall er et tall som ikke kan skrives som en brøk med hele tall. Desimalutviklingen til et irrasjonalt tall er uendelig og ikke-periodisk — den fortsetter for alltid uten å gjenta seg.

Kjente irrasjonale tall:
- π=3,14159265358979…\pi = 3{,}14159265358979\ldots — forholdet mellom omkrets og diameter i en sirkel
- 2=1,41421356…\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots — diagonalen i et kvadrat med sidelengde 1
- 3=1,73205080…\sqrt{3} = 1{,}73205080\ldots
- e=2,71828182…e = 2{,}71828182\ldots — Eulers tall (viktig i videregående)
- Det gylne snitt φ=1+52=1,61803398…\displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1{,}61803398\ldots

Viktig: 4=2\sqrt{4} = 2 er ikke irrasjonalt, fordi svaret er et helt tall. Det er bare kvadratrøtter av tall som ikke er perfekte kvadrater, som gir irrasjonale tall.

✏️Eksempel 3: Rasjonalt eller irrasjonalt?

Avgjør om disse tallene er rasjonale eller irrasjonale: 9\sqrt{9}, 7\sqrt{7}, 0,750{,}75, π\pi, 227\displaystyle \frac{22}{7}

Vi sjekker hvert tall:

- 9=3\sqrt{9} = 3 — dette er et helt tall, altså rasjonalt
- 7=2,6457513…\sqrt{7} = 2{,}6457513\ldots — uendelig, ikke-periodisk, altså irrasjonalt
- 0,75=34\displaystyle 0{,}75 = \frac{3}{4} — kan skrives som brøk, altså rasjonalt
- π=3,14159…\pi = 3{,}14159\ldots — uendelig, ikke-periodisk, altså irrasjonalt
- 227=3,142857142857…\displaystyle \frac{22}{7} = 3{,}142857142857\ldots — dette er en brøk med periodisk desimal, altså rasjonalt (selv om det er en tilnærming til π\pi, er 227\displaystyle \frac{22}{7} selv et rasjonalt tall)

Viktig poeng: 227≠π\displaystyle \frac{22}{7} \neq \pi. Brøken 227\displaystyle \frac{22}{7} er bare en tilnærming!

📝Oppgave 7.3

Hvilket av disse tallene er irrasjonalt?

Reelle tall (ℝ) og Venndiagram
De reelle tallene er alle rasjonale og irrasjonale tall samlet:

R=Q∪{irrasjonale tall}\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \{\text{irrasjonale tall}\}

Tallmengdene henger sammen som et sett med bokser:

N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Dette betyr:
- Alle naturlige tall (N\mathbb{N}) er også hele tall
- Alle hele tall (Z\mathbb{Z}) er også rasjonale tall
- Alle rasjonale tall (Q\mathbb{Q}) er også reelle tall
- De irrasjonale tallene fyller «resten» av de reelle tallene

Venndiagram:
Tenk deg sirkler inni hverandre:
- Innerst: N\mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, ...}
- Neste: Z\mathbb{Z} legger til {..., -3, -2, -1}
- Neste: Q\mathbb{Q} legger til alle brøker (12\displaystyle \frac{1}{2}, −37\displaystyle -\frac{3}{7}, 0,3‾0{,}\overline{3}, ...)
- Ytterst: R\mathbb{R} legger til irrasjonale tall (2\sqrt{2}, π\pi, ...)

✏️Eksempel 4: Plassere tall i Venndiagrammet

Plasser hvert tall i den minste tallmengden det hører til: −5-5, 23\displaystyle \frac{2}{3}, 2\sqrt{2}, 88, 00, −74\displaystyle -\frac{7}{4}, π\pi, 25\sqrt{25}

Vi finner den minste tallmengden for hvert tall:

TallMinste tallmengdeForklaring
88N\mathbb{N}Positivt heltallig telletall
00N0\mathbb{N}_0Null er naturlig tall (med N0\mathbb{N}_0)
25=5\sqrt{25} = 5N\mathbb{N}Perfekt kvadratrot gir naturlig tall
−5-5Z\mathbb{Z}Negativt helt tall
23\displaystyle \frac{2}{3}Q\mathbb{Q}Brøk som ikke er et helt tall
−74\displaystyle -\frac{7}{4}Q\mathbb{Q}Negativ brøk
2\sqrt{2}Irrasjonalt (i R\mathbb{R})Ikke-periodisk uendelig desimal
π\piIrrasjonalt (i R\mathbb{R})Ikke-periodisk uendelig desimal

Husk: Alle disse tallene tilhører R\mathbb{R} (de reelle tallene), men vi plasserer dem i den minste mengden de passer i.

📝Oppgave 7.4

Plasser hvert tall i den minste tallmengden det hører til (N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, Q\mathbb{Q}, eller irrasjonalt).

a
1212
b
−12\displaystyle -\frac{1}{2}
c
10\sqrt{10}
d
49\sqrt{49}
e
−8-8
Løs oppgavenTren
📝Oppgave D1
Drøftingsoppgave: En medelev påstår: «Hvis vi adderer to irrasjonale tall, får vi alltid et irrasjonalt tall.» Er påstanden riktig? Begrunn svaret ditt med eksempler og argumenter.

Oppsummering

De fem tallmengdene


SymbolNavnEksempler
N\mathbb{N}Naturlige tall0,1,2,3,…0, 1, 2, 3, \ldots
Z\mathbb{Z}Hele tall…,−2,−1,0,1,2,…\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots
Q\mathbb{Q}Rasjonale tall12,−37,0,75,0,3‾\displaystyle \frac{1}{2}, -\frac{3}{7}, 0{,}75, 0{,}\overline{3}
—Irrasjonale tall2,π,e\sqrt{2}, \pi, e
R\mathbb{R}Reelle tallAlle tall på tallinja

Viktige sammenhenger


- N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
- Rasjonale tall har endelig eller periodisk desimalutvikling
- Irrasjonale tall har uendelig, ikke-periodisk desimalutvikling
- Sammen utgjør rasjonale og irrasjonale tall de reelle tallene
📝Oppgave 7.5

Forklar hvorfor 2\sqrt{2} er et irrasjonalt tall.

a

Anta at 2=ab\displaystyle \sqrt{2} = \frac{a}{b} der ab\displaystyle \frac{a}{b} er en forkortet brøk. Vis at dette fører til en selvmotsigelse (hint: kvadrer begge sider og tenk på partall/oddetall).

b

Bruk kalkulatoren til å finne 2\sqrt{2} med 10 desimaler. Ser du noe mønster som gjentar seg?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 7.6

Utforsk tallmengder med sammensatte uttrykk.

a

Er summen av to rasjonale tall alltid rasjonalt? Gi et eksempel.

b

Er summen av to irrasjonale tall alltid irrasjonalt? Gi et eksempel eller moteksempel.

c

Er produktet av et rasjonalt og et irrasjonalt tall alltid irrasjonalt?

Løs oppgavenTren
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.