2.3 Likningssett

To ukjente, to likninger

Tenk deg at du er på kino og kjøper billetter for en gruppe. Du vet at det er 24 personer totalt, og at regningen ble 1800 kroner. Voksenbilletter koster 100 kr og barnebilletter 50 kr. Hvor mange voksne og hvor mange barn var det?

Her har du to ukjente størrelser (antall voksne og antall barn) og to opplysninger. For å finne begge trenger du to likninger -- et likningssett. I dette kapittelet lærer vi to kraftige metoder for å løse slike systemer.

Hva er et likningssett?

Et likningssett med to ukjente har den generelle formen:

$$\begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases}$$

Løsningen er verdiene for $x$ og $y$ som tilfredsstiller begge likningene samtidig. Grafisk representerer hver likning en rett linje, og løsningen er skjæringspunktet mellom de to linjene.

Innsettingsmetoden er den første metoden vi skal lære. Ideen er enkel: løs én likning for én variabel, og sett uttrykket inn i den andre likningen.

Ta likningssettet $y = 2x + 1$ og $3x + y = 11$. Første likning gir oss allerede $y$ uttrykt ved $x$. Vi setter dette inn i andre likning: $3x + (2x + 1) = 11$, som gir $5x + 1 = 11$, altså $5x = 10$ og $x = 2$. Finner $y$: $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$.

Løsningen er $(x, y) = (2, 5)$. Vi kan sjekke: $3 \cdot 2 + 5 = 11$. Stemmer!

Et annet eksempel: $y = x + 3$ og $2x + y = 12$. Sett inn: $2x + (x + 3) = 12$, altså $3x = 9$ og $x = 3$. Da er $y = 6$. Løsning: $(3, 6)$.

Addisjonsmetoden -- eliminér en variabel

Addisjonsmetoden (også kalt eliminasjonsmetoden) går ut på å legge sammen eller trekke fra likningene slik at én variabel forsvinner.

Ta $2x + 3y = 13$ og $4x - 3y = 5$. Legg merke til at $y$-leddene er $+3y$ og $-3y$. Legger vi likningene sammen, elimineres $y$:

$(2x + 3y) + (4x - 3y) = 13 + 5$, som gir $6x = 18$, altså $x = 3$.

Setter inn i første likning: $2 \cdot 3 + 3y = 13$, altså $3y = 7$ og $\displaystyle y = \frac{7}{3}$.

Et enklere eksempel: $x + y = 10$ og $x - y = 4$. Legger sammen: $2x = 14$, altså $x = 7$ og $y = 3$.

Trekker vi fra: $2y = 6$, altså $y = 3$. Samme svar begge veier!

For $4x + 3y = 11$ og $2x + 3y = 7$: her er $y$-koeffisientene like, så vi trekker den ene fra den andre: $(4x + 3y) - (2x + 3y) = 11 - 7$, som gir $2x = 4$, altså $x = 2$ og $y = 1$.

Justere koeffisienter -- når det ikke passer direkte

Hva gjør vi når ingen koeffisienter matcher? Da justerer vi ved å gange likningene med passende tall!

Ta $2x + 3y = 8$ og $5x + 2y = 9$. Ingen koeffisienter er like eller motsatte. Men vi kan gjøre dem like! Gang første likning med 2 og andre med 3:

$$\begin{cases} 4x + 6y = 16 \\ 15x + 6y = 27 \end{cases}$$

Nå har begge $6y$. Trekker fra: $(15x + 6y) - (4x + 6y) = 27 - 16$, som gir $11x = 11$, altså $x = 1$. Setter inn: $2 + 3y = 8$, altså $y = 2$.

Et annet eksempel: $3x + 4y = 18$ og $2x + 3y = 13$. Gang første med 3 og andre med 4 (for å eliminere $y$): $9x + 12y = 54$ og $8x + 12y = 52$. Trekk fra: $x = 2$, og $y = 3$.

Likninger med brøker? Kvitt deg med brøkene først! For $\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$ ganger vi med 6: $3x + 2y = 24$. For $\displaystyle \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5$ ganger vi med 6: $2x + 3y = 30$. Nå kan vi løse med standard metoder.

Praktiske problemer med likningssett

Likningssett er fantastiske for å løse hverdagsproblemer der du har to ukjente størrelser.

Kinoproblemet fra introen: En billettautomat tok inn 1800 kr fra 24 billetter. Voksenbilletter koster 100 kr og barnebilletter 50 kr.

La $x$ = antall voksenbilletter og $y$ = antall barnebilletter.

$$\begin{cases} x + y = 24 \\ 100x + 50y = 1800 \end{cases}$$

Fra første: $y = 24 - x$. Inn i andre: $100x + 50(24 - x) = 1800$, altså $100x + 1200 - 50x = 1800$, som gir $50x = 600$ og $x = 12$, $y = 12$.

Tallproblemer: Summen av to tall er 25 og differansen er 7. $x + y = 25$ og $x - y = 7$. Addisjon: $2x = 32$, $x = 16$, $y = 9$.

Kioskproblemet: 45 is og brus totalt. Is koster 30 kr, brus 20 kr. Totalt 1150 kr. $x + y = 45$ og $30x + 20y = 1150$. Fra første: $y = 45 - x$. Inn: $30x + 20(45 - x) = 1150$, altså $10x = 250$ og $x = 25$. 25 is og 20 brus.

Fremgangsmåten er alltid: identifiser de to ukjente, sett opp to likninger basert på informasjonen, og løs.

Oppsummering

Et likningssett er to (eller flere) likninger som skal løses samtidig. Løsningen er verdiparet $(x, y)$ som tilfredsstiller begge likningene -- grafisk er det skjæringspunktet mellom linjene.

Vi har lært to metoder:

Innsettingsmetoden: Løs én likning for én variabel, sett uttrykket inn i den andre.

Addisjonsmetoden: Legg sammen eller trekk fra likningene for å eliminere én variabel. Om nødvendig, gang likningene med passende tall først for å få like koeffisienter.

For praktiske problemer: identifiser to ukjente, sett opp to likninger fra informasjonen, og løs med en av metodene.