12.3 Del 2 — Oppgaver med hjelpemidler

Del 2 -- alle verktoy tilgjengelige

Na har du levert inn Del 1 og far et nytt hefte -- Del 2. Du trekker frem kalkulatoren, apner GeoGebra pa datamaskinen, og legger formelsamlingen klar. Her kan du bruke alle hjelpemidler du vil, og oppgavene er mer omfattende og praktisk rettet.

Men selv med hjelpemidler ma du vise fremgangsmaten din. "Jeg fant svaret med GeoGebra" gir ikke full score. Du ma forklare HVA du gjorde og HVORFOR. Sensor kan ikke se hva du trykket pa kalkulatoren -- skriv det ned!

La oss ga gjennom de viktigste typene oppgaver som dukker opp pa Del 2, og oye pa hvordan du bruker hjelpemidlene smart.

Praktisk matematikk -- okonomi i hverdagen

Del 2-oppgaver handler ofte om virkelige situasjoner. La oss se pa et typisk eksempel: en bedrift som produserer og selger handlagde lys.

Kostnaden for a produsere $x$ lys er gitt ved $K(x) = 2000 + 35x$. Her er $2000$ de faste kostnadene -- kostnader bedriften har uansett hvor mange lys de produserer (for eksempel leie av lokale). Og $35$ er den variable kostnaden per lys -- kostnaden for materialer og arbeid for hvert enkelt lys.

Hvert lys selges for 85 kr, sa inntekten er $I(x) = 85x$.

Break-even er punktet der inntekt er lik kostnad -- bedriften hverken tjener eller taper penger. Vi finner det ved a sette $K(x) = I(x)$:

$$2000 + 35x = 85x$$
$$2000 = 50x$$
$$x = 40$$

Bedriften ma selge 40 lys for a ga i null. Ved det punktet er bade kostnad og inntekt $3\,400$ kr.

Overskuddet er $O(x) = I(x) - K(x) = 85x - (2000 + 35x) = 50x - 2000$.

Ved salg av 100 lys: $O(100) = 50 \cdot 100 - 2000 = 3\,000$ kr.

For a ha et overskudd pa minst $5\,000$ kr: $50x - 2000 \geq 5000$, altsa $x \geq 140$ lys.

I GeoGebra kan du tegne begge grafene og bruke "Skaering mellom to objekter" for a finne noyaktig hvor de krysser. Husk a beskrive hva du gjor: "Jeg tegner $K(x) = 2000 + 35x$ og $I(x) = 85x$ i GeoGebra og finner skaerings- punktet $(40, 3400)$."

Funksjoner og grafisk losning

Pa Del 2 far du ofte oppgaver der du skal tegne grafer og finne skaerings- punkter. GeoGebra er ditt beste verktoy her!

Lineære funksjoner ($y = ax + b$): Sett opp funksjonsuttrykkene, tegn grafene i GeoGebra, og finn skaerings- punktet. Beskriv alltid hva skaerings- punktet betyr i konteksten av oppgaven.

Andregradsfunksjoner er ogsa vanlige. La oss se pa et klassisk eksempel: en ball kastes rett opp i luften, og hoyden etter $t$ sekunder er gitt ved:

$$h(t) = -5t^2 + 20t + 1{,}5$$

Her er $1{,}5$ starthoyden -- ballen kastes fra 1,5 meters hoyde. Tallet $-5$ kommer fra tyngdekraften ($\displaystyle \frac{1}{2}g \approx 5$).

Toppunktet finner vi ved $\displaystyle t = \frac{-b}{2a} = \frac{-20}{2 \cdot (-5)} = 2$ sekunder. Hoyden er da: $h(2) = -5 \cdot 4 + 20 \cdot 2 + 1{,}5 = -20 + 40 + 1{,}5 = 21{,}5$ m.

Nar treffer ballen bakken? Vi loser $h(t) = 0$: $-5t^2 + 20t + 1{,}5 = 0$. Med abc-formelen eller GeoGebra finner vi $t \approx 4{,}1$ sekunder.

Hvor lenge er ballen over 15 m? Vi loser $h(t) = 15$ og finner to tidspunkt: $t_1 \approx 0{,}86$ s og $t_2 \approx 3{,}14$ s. Ballen er over 15 m i ca. $3{,}14 - 0{,}86 = 2{,}28$ sekunder.

I GeoGebra skriver du inn $f(x) = -5x^2 + 20x + 1.5$ og bruker verktoyene "Ekstremalpunkt" og "Nullpunkt" for a finne svarene grafisk. Husk a forklare hva du gjor!

Statistikk med regneark

Statistikkoppgaver er perfekte for regneark. La oss si at du har temperaturer malt klokken 12.00 i en by de forste 14 dagene i mars:

$2, 4, 3, 1, -2, -3, 0, 2, 5, 6, 4, 3, 7, 8$

I regneark kan du bruke formler som =GJENNOMSNITT(), =MEDIAN() og =MAKS() - MINN() for variasjonsbredde. Du finner: gjennomsnitt $\approx 2{,}86$ °C, median $= 3{,}0$ °C.

Nar du lager diagrammer, beskriv alltid trenden: Her ser vi at temperaturen faller fra dag 1--7 (fra 2 °C ned til -3 °C), men stiger jevnt fra dag 7--14 (fra 0 °C opp til 8 °C). Det er et tydelig vendepunkt rundt dag 6--7 -- overgangen fra vinter til var!

Sannsynlighet med tabeller

Pa Del 2 kan sannsynlighetsoppgavene vare mer avanserte, ofte med krysstabell. For eksempel: I en klasse med 30 elever driver 10 gutter og 7 jenter med idrett, 3 gutter og 5 jenter med musikk, og 4 gutter og 1 jente med gaming.

- $\displaystyle P(\text{idrett}) = \frac{17}{30}$
- $\displaystyle P(\text{jente og musikk}) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$
- Betinget sannsynlighet: $\displaystyle P(\text{gaming} | \text{gutt}) = \frac{4}{17}$ (av de 17 guttene driver 4 med gaming)

For a sjekke om hendelser er uavhengige: Er $P(\text{idrett} | \text{gutt}) = P(\text{idrett})$? Vi far $\displaystyle \frac{10}{17} \approx 0{,}588$ mot $\displaystyle \frac{17}{30} \approx 0{,}567$. De er ikke helt like, sa det er en viss sammenheng mellom kjonn og aktivitetsvalg.

Sammensatte praktiske oppgaver

De tyngste oppgavene pa Del 2 kombinerer flere emner. La oss se pa to eksempler som ligner eksamensoppgaver.

Eksempel 1: Sykkelvei. En kommune skal bygge en 2,4 km lang sykkelvei (3 m bred) med et 20 cm tykt gruslag (180 kr/m$^3$), et 8 cm tykt asfaltlag (950 kr/m$^3$) og oppmerking pa begge sider (45 kr per lopemeter).

Forst ma vi omgjore enheter: $2{,}4$ km $= 2\,400$ m og $20$ cm $= 0{,}20$ m.

Grusvolumet: $2\,400 \cdot 3 \cdot 0{,}20 = 1\,440 \text{ m}^3$. Asfaltvolumet: $2\,400 \cdot 3 \cdot 0{,}08 = 576 \text{ m}^3$.

Totalkostnad: Grus $1\,440 \cdot 180 = 259\,200$ kr, asfalt $576 \cdot 950 = 547\,200$ kr, oppmerking $2\,400 \cdot 2 \cdot 45 = 216\,000$ kr. Totalt: $1\,022\,400$ kr. Med et budsjett pa 1 million kr er overskridelsen $\displaystyle \frac{22\,400}{1\,000\,000} \cdot 100\% = 2{,}24\%$.

Eksempel 2: Solcellepaneler. En skole med tak pa $40 \times 25$ m vurderer solcellepaneler (1,7 m $\times$ 1,0 m, 280 kWh/ar, 4 200 kr per panel). Med 1 m fra kanten og 0,5 m mellom panelene: langs lengden $\displaystyle \lfloor \frac{38}{2{,}2} \rfloor = 17$, langs bredden $\displaystyle \lfloor \frac{23}{1{,}5} \rfloor = 15$, totalt $17 \cdot 15 = 255$ paneler.

Produksjon: $255 \cdot 280 = 71\,400$ kWh/ar, som dekker $\displaystyle \frac{71\,400}{95\,000} \cdot 100\% \approx 75\%$ av skolens forbruk. Arlig sparing: $71\,400 \cdot 1{,}85 = 132\,090$ kr. Installasjon: $255 \cdot 4\,200 = 1\,071\,000$ kr. Inntjeningstid: $\displaystyle \frac{1\,071\,000}{132\,090} \approx 8{,}1$ ar.

Over 25 ars levetid sparer skolen $132\,090 \cdot 25 - 1\,071\,000 \approx 2{,}23$ millioner kroner netto.

Legg merke til hvordan disse oppgavene kombinerer enhetomregning, arealberegning, prosent, okonomi og praktisk argumentasjon. Pa eksamen ma du vise hver delregning tydelig -- det er der poengene ligger!

Oppsummering

Pa Del 2 har du alle verktoyene tilgjengelig -- men det er hvordan du bruker dem som teller:

- Kalkulator: Dobbeltsjekk utregninger, men skriv ned mellomregning. Sensor kan ikke se hva du trykket!
- GeoGebra: Tegn grafer, finn skaerings- punkter og ekstremalpunkter. Beskriv alltid hva du gjor.
- Regneark: Perfekt for statistikk og tabeller. Bruk formler og beskriv dem.
- Formelsamling: Sla opp formler du er usikker pa.

Typiske Del 2-oppgaver: Praktiske problemer med okonomi og hverdagsmatematikk, funksjoner og grafisk losning, statistikkanalyse, geometri med sammensatte figurer, modellering med lineære og kvadratiske funksjoner, og likningssett med to ukjente.

Det aller viktigste: Vis alltid fremgangsmaten. Skriv enheter og svar i setning. Sjekk rimeligheten av svaret. Del opp store oppgaver og los det du kan -- delpoeng er gull verdt!

Lykke til pa eksamen! Med god forberedelse og smarte strategier kan du oppna det beste resultatet ditt.