12.2 Del 1 — Oppgaver uten hjelpemidler

Del 1 -- du og matematikken, alene

Pa Del 1 av eksamen er det bare du og matematikken. Ingen kalkulator, ingen formelsamling, ingen digitale verktoy. Det betyr at du ma ha de viktigste formlene og regnereglene i hodet. Det hores kanskje skremmende ut, men med litt oving blir det naturlig.

La oss ga gjennom formlene du ma kunne utenat, og sa skal vi ove pa typiske oppgaver fra alle emnene som kan dukke opp pa Del 1.

Formlene du ma kunne utenat

Areal:
- Rektangel: $A = l \cdot b$
- Trekant: $\displaystyle A = \frac{g \cdot h}{2}$
- Sirkel: $A = \pi r^2$

Omkrets:
- Rektangel: $O = 2l + 2b$
- Sirkel: $O = 2\pi r$

Volum:
- Prisme: $V = G \cdot h$ (grunnflate ganger hoyde)
- Sylinder: $V = \pi r^2 h$

Pytagoras' setning: $a^2 + b^2 = c^2$ (der $c$ er hypotenusen i en rettvinklet trekant)

Prosent: $\text{ny verdi} = \text{gammel verdi} \cdot \text{vekstfaktor}$

Lineære funksjoner: $y = ax + b$ der $a$ er stigningstall og $b$ er konstantledd

Stigningstall: $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Gjennomsnitt: $\displaystyle \bar{x} = \frac{\text{sum av alle verdier}}{\text{antall verdier}}$

Hoderegningstriks

Hoderegning handler om smarte snarveier:

- Dele opp: $48 \cdot 25 = 48 \cdot 100 / 4 = 4\,800 / 4 = 1\,200$
- Bruke 10-ere: $37 + 58 = 37 + 60 - 2 = 95$
- Doble og halvere: $16 \cdot 35 = 8 \cdot 70 = 560$

Disse triksene kan spare deg verdifull tid pa eksamen. La oss na ove pa typiske oppgaver!

Prosent -- vekstfaktor er nøkkelen

Prosentregning er noe av det viktigste pa eksamen. Nøkkelen er a tenke i vekstfaktorer:

- Okning pa 15 %: vekstfaktor $= 1 + 0{,}15 = 1{,}15$
- Reduksjon pa 20 %: vekstfaktor $= 1 - 0{,}20 = 0{,}80$

Eksempel 1: En vare kostet 400 kr. Prisen okes med 15 %. Ny pris $= 400 \cdot 1{,}15 = 460$ kr.

Eksempel 2: En vare koster na 630 kr etter en prisokning pa 5 %. Hva var den opprinnelige prisen? Opprinnelig pris $\displaystyle = \frac{630}{1{,}05} = 600$ kr.

Eksempel 3: En pris gikk fra 250 kr til 200 kr. Prosentvis endring: $\displaystyle \frac{250 - 200}{250} \cdot 100\% = \frac{50}{250} \cdot 100\% = 20\%$ reduksjon.

Algebra -- los likninger steg for steg

Ligninger loser du ved a isolere $x$. Husk a gjore det samme pa begge sider:

$4x - 7 = 2x + 9$ gir $4x - 2x = 9 + 7$, altsa $2x = 16$, sa $x = 8$.

$\displaystyle \frac{x}{3} + 2 = 5$ gir $\displaystyle \frac{x}{3} = 3$, sa $x = 9$.

For ulikheter loser du som en likning, men husk: fortegnet snur hvis du deler med et negativt tall! $3x + 4 > 19$ gir $3x > 15$, sa $x > 5$.

Og for algebra med bokstaver -- husk a samle like ledd: $3a + 2b - a + 5b = 2a + 7b$, og bruk parentesregelen: $2(3x - 4) + 5x = 6x - 8 + 5x = 11x - 8$.

For potenser: $\displaystyle \frac{x^5}{x^2} = x^{5-2} = x^3$ (nar vi deler potenser med lik grunntall, trekker vi fra eksponentene).

Og standardform: $0{,}00042 = 4{,}2 \cdot 10^{-4}$ (flytt kommaet til du har et tall mellom 1 og 10, og tell antall plasser).

Geometri -- Pytagoras og figurer

Pytagoras' setning er et must pa Del 1. I en rettvinklet trekant med kateter $a$ og $b$ og hypotenus $c$ gjelder: $a^2 + b^2 = c^2$.

Huskeregel: $6$-$8$-$10$ er en pytagoreisk trippel! $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$.

Vinkelsummen i en trekant er alltid $180°$. Sa hvis to vinkler er $55°$ og $70°$, er den tredje $180° - 55° - 70° = 55°$.

For sirkler med radius $r = 5$ cm: $A = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5 \text{ cm}^2$ (bruk $\pi \approx 3{,}14$ pa Del 1).

Lineære funksjoner

For a finne funksjonsuttrykket $f(x) = ax + b$ nar du kjenner to punkter, for eksempel $(1, 3)$ og $(3, 7)$:

1. Finn stigningstallet: $\displaystyle a = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$
2. Sett inn et punkt: $3 = 2 \cdot 1 + b$, sa $b = 1$
3. Funksjonsuttrykket er $f(x) = 2x + 1$

For a finne nar $f(x) = 15$: $2x + 1 = 15$, $2x = 14$, $x = 7$.

Statistikk og sannsynlighet

For et datasett som $2, 0, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 0, 5$:

- Gjennomsnitt: $\displaystyle \frac{2+0+1+3+2+4+1+2+0+5}{10} = \frac{20}{10} = 2{,}0$
- Median: Sortert: $0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5$. Med 10 tall: $\displaystyle \frac{2 + 2}{2} = 2{,}0$
- Typetall: $2$ (forekommer 3 ganger)
- Variasjonsbredde: $5 - 0 = 5$

For sannsynlighet med kuler: Hvis det er 4 rode, 3 bla og 5 gronne kuler (12 totalt), er $\displaystyle P(\text{rod}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ og $\displaystyle P(\text{ikke gronn}) = \frac{7}{12}$. Ved to trekk uten tilbakelegging: $\displaystyle P(\text{to rode}) = \frac{4}{12} \cdot \frac{3}{11} = \frac{12}{132} = \frac{1}{11}$.

For proporsjonal sammenheng: Hvis Marie tjener 120 kr for 3 timers barnevakt, tjener hun $40$ kr/time, og formelen er $L = 40t$. Sammenhengen er proporsjonal fordi grafen er en rett linje gjennom origo.

Oppsummering

Pa Del 1 er det formlene, hoderegningen og den logiske tenkningen som gjelder. Her er en sjekkliste:

Formler a kunne utenat: Areal av rektangel ($l \cdot b$), trekant ($\displaystyle \frac{g \cdot h}{2}$) og sirkel ($\pi r^2$). Pytagoras ($a^2 + b^2 = c^2$). Stigningstall ($\displaystyle \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$). Gjennomsnitt ($\displaystyle \frac{\text{sum}}{\text{antall}}$).

Sjekkliste for Del 1:
- Vis alltid mellomregning
- Skriv enheter pa alle svar
- Sjekk svar ved innsetting
- Gjor overslag for a kontrollere rimelighet
- Bruk minst 10 minutter til slutt pa a sjekke alt
- Husk fellesnevner ved brokaddisjon!
- Pass pa fortegn ved negative tall
- Ved ulikheter: fortegnet snur nar du deler med negativt tall