1.2 Rasjonale tall

Tallenes mange ansikter

Visste du at $0{,}5$, $\displaystyle \frac{1}{2}$ og $50\,\%$ alle er det samme tallet? Tall kan kle seg ut i mange forkledninger, og i dette kapittelet skal vi bli eksperter på å avsløre dem. Vi skal jobbe med rasjonale tall -- den store familien av tall som kan skrives som brøker.

Når du deler en pizza i fire og spiser tre stykker, har du spist $\displaystyle \frac{3}{4}$ av pizzaen. Det er det samme som $0{,}75$ av pizzaen. Brøker og desimaltall er to måter å uttrykke det samme på, og vi trenger å beherske begge.

Hva er rasjonale tall?

Et rasjonalt tall er et tall som kan skrives på formen $\displaystyle \frac{p}{q}$ der $p$ og $q$ er heltall og $q \neq 0$. Det høres kanskje teknisk ut, men egentlig er det veldig inkluderende. Rasjonale tall omfatter:

- Heltall, for eksempel $\displaystyle 5 = \frac{5}{1}$ og $\displaystyle -3 = \frac{-3}{1}$
- Vanlige brøker, for eksempel $\displaystyle \frac{3}{4}$ og $\displaystyle \frac{7}{8}$
- Endelige desimaltall, for eksempel $\displaystyle 0{,}75 = \frac{3}{4}$
- Periodiske desimaltall, for eksempel $\displaystyle 0{,}333\ldots = \frac{1}{3}$

Tall som IKKE er rasjonale kalles irrasjonale. $\sqrt{2}$, $\pi$ og $e$ er eksempler -- de kan ikke skrives som brøk, og desimalutviklingen deres fortsetter uendelig uten å gjenta seg.

Å gjøre om fra desimaltall til brøk er en nyttig ferdighet. For endelige desimaltall er det rett frem: $\displaystyle 0{,}625 = \frac{625}{1000}$, og etter forkorting blir det $\displaystyle \frac{5}{8}$. Tilsvarende er $\displaystyle 2{,}4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.

Periodiske desimaltall til brøk -- et triks med algebra

Noen desimaltall slutter aldri, men de gjentar seg. $0{,}333\ldots$ gjentar sifferet 3, og vi skriver dette som $0{,}\overline{3}$. Hvordan gjør vi slike tall om til brøk? Her bruker vi et elegant algebraisk triks.

La oss ta $0{,}\overline{6}$ (altså $0{,}666\ldots$). Vi setter $x = 0{,}666\ldots$. Ganger vi begge sider med 10, får vi $10x = 6{,}666\ldots$. Nå trekker vi den opprinnelige likningen fra: $10x - x = 6{,}666\ldots - 0{,}666\ldots$, som gir $9x = 6$, altså $\displaystyle x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Hva om to siffer gjentar seg? Ta $0{,}\overline{27}$ (altså $0{,}272727\ldots$). Sett $x = 0{,}2727\ldots$. Gang med 100: $100x = 27{,}2727\ldots$. Trekk fra: $100x - x = 27$, altså $99x = 27$, og $\displaystyle x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$.

Mønsteret er: gang med 10 for hvert gjentakende siffer, og trekk fra for å eliminere den periodiske delen. Prøv selv: $\displaystyle 0{,}\overline{45} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$.

Regning med brøker -- addisjon og subtraksjon

Nå skal vi friske opp brøkregning. For å addere eller subtrahere brøker trenger vi fellesnevner -- det vil si at brøkene må ha lik nevner.

Ta $\displaystyle \frac{2}{3} + \frac{3}{4}$. Fellesnevneren er 12 (det minste tallet som er delelig med både 3 og 4). Vi utvider begge brøkene: $\displaystyle \frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ og $\displaystyle \frac{3}{4} = \frac{9}{12}$. Da blir svaret $\displaystyle \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12}$.

For subtraksjon bruker vi samme prinsipp: $\displaystyle \frac{5}{6} - \frac{1}{4}$. Fellesnevner er 12: $\displaystyle \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.

Med blanda tall gjør vi om til uekte brøker først. $\displaystyle 2\frac{1}{3} - 1\frac{3}{4} = \frac{7}{3} - \frac{7}{4} = \frac{28}{12} - \frac{21}{12} = \frac{7}{12}$.

Multiplikasjon og divisjon av brøker

Multiplikasjon av brøker er faktisk enklere enn addisjon -- vi trenger ikke fellesnevner! Vi ganger teller med teller og nevner med nevner:

$$\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$$

Et tips: forkort underveis for å slippe store tall. I eksempelet over kunne vi sett at 3 i telleren og 9 i nevneren kan forkortes med 3, og at 8 i telleren og 4 i nevneren kan forkortes med 4.

Divisjon med brøk handler om å snu og gange. Når du deler med en brøk, snur du den andre brøken og ganger i stedet:

$$\frac{5}{6} : \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$$

Hvorfor fungerer dette? Å dele med $\displaystyle \frac{2}{3}$ er det samme som å spørre "hvor mange $\displaystyle \frac{2}{3}$-deler går det i $\displaystyle \frac{5}{6}$?" Å gange med den omvendte brøken gir oss svaret.

Et morsomt eksempel: $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 9 \cdot 2}{3 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{36}{36} = 1$. Når produktet av brøker blir 1, er det fordi alle faktorene kansellerer hverandre.

Oppsummering

Rasjonale tall er tall som kan skrives som $\displaystyle \frac{p}{q}$ der $p$ og $q$ er heltall og $q \neq 0$. De inkluderer heltall, vanlige brøker, endelige desimaltall og periodiske desimaltall.

For å gjøre om endelige desimaltall til brøk, skriver vi desimaltallet over en tierpotens og forkorter. For periodiske desimaltall bruker vi et algebraisk triks med å gange med en tierpotens og trekke fra.

For addisjon og subtraksjon av brøker trenger vi fellesnevner. For multiplikasjon ganger vi teller med teller og nevner med nevner. For divisjon snur vi den andre brøken og ganger.