1.1 Regning med røtter

Hva gjemmer seg under rottegnet?

Tenk deg at du skal legge fliser på et rom som har et areal på 25 kvadratmeter. Rommet er kvadratisk, så alle sidene er like lange. Hvor lang er hver side? Du trenger et tall som ganget med seg selv gir 25 -- og det tallet er 5. Gratulerer, du har nettopp tatt en kvadratrot!

Kvadratrøtter dukker opp overalt: i Pytagoras' setning, i formler for areal og avstand, og i mange andre sammenhenger. I dette kapittelet skal vi bli komfortable med å finne, forenkle og regne med røtter. Vi starter med det helt grunnleggende og bygger oss opp til å mestre selv de mest kompliserte rotuttrykkene.

Hva er en kvadratrot?

Kvadratroten av et tall $a$ er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir $a$. Vi skriver det med rottegnet $\sqrt{\phantom{x}}$, og sammenhengen er:

$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$$

La oss ta noen eksempler. $\sqrt{25} = 5$ fordi $5 \cdot 5 = 25$. Likedan er $\sqrt{49} = 7$ fordi $7 \cdot 7 = 49$, og $\sqrt{144} = 12$ fordi $12 \cdot 12 = 144$.

Men hva med desimaltall? Systemet fungerer akkurat likt. $\sqrt{0{,}36} = 0{,}6$ fordi $0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}36$. Og brøker? Der tar vi roten av teller og nevner hver for seg: $\displaystyle \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ fordi $\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$.

Det smarte er å tenke baklengs: "Hvilket tall ganget med seg selv gir dette?" Hvis du klarer det, har du funnet kvadratroten. Tallene $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ er de første kvadrattallene, og det lønner seg å kunne dem utenat.

Regneregler for røtter -- produktregelen og brøkregelen

Nå som vi vet hva en kvadratrot er, trenger vi verktøy for å forenkle rotuttrykk. Her kommer to viktige regneregler:

Produktregelen: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Denne regelen sier at roten av et produkt er lik produktet av røttene. Den lar oss "trekke ut" faktorer fra under rottegnet.

Brøkregelen: $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Tilsvarende kan vi ta roten av teller og nevner hver for seg.

La oss bruke produktregelen til å forenkle $\sqrt{50}$. Vi finner den største kvadrattallsfaktoren som går opp i 50. Det er 25, siden $50 = 25 \cdot 2$. Dermed:

$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$

Et annet eksempel: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. Trikset er altså å lete etter den største kvadrattallsfaktoren under rottegnet. Jo større kvadrattall du finner, desto enklere blir resultatet.

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$, og $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$, og $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$.

Addere og subtrahere røtter

Kan vi legge sammen røtter? Ja, men bare når de har samme "rotinnhold". Tenk på det som å legge sammen like termer i algebra: $3x + 5x = 8x$, og helt tilsvarende er $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. Vi legger sammen koeffisientene foran, men roten forblir den samme.

Hva om røttene ser ulike ut? Da må vi først forenkle! Ta uttrykket $\sqrt{8} + \sqrt{18}$. Ved første blikk ser det ut som disse ikke kan legges sammen, men la oss forenkle hver rot:

$$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \quad \text{og} \quad \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$$

Nå har begge $\sqrt{2}$, og vi kan legge sammen: $2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Et annet eksempel: $\sqrt{50} - \sqrt{8} = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$. Og $2\sqrt{20} + 3\sqrt{5} = 2 \cdot 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 7\sqrt{5}$.

Husk: du kan aldri forenkle $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ til en enkel rot. Ulike rotinnhold forblir ulike, akkurat som $x + y$ ikke kan forenkles videre.

Multiplisere røtter

Multiplikasjon av røtter er kanskje den enkleste operasjonen. Takket være produktregelen ganger vi bare innholdet under rottegnene sammen:

$$\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$$

Når vi har koeffisienter foran røttene, ganger vi koeffisientene for seg og rotinnholdet for seg:

$$2\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{2} = (2 \cdot 3) \cdot \sqrt{6 \cdot 2} = 6\sqrt{12} = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$$

Her er noen flere eksempler: $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$, og $\sqrt{6} \cdot \sqrt{24} = \sqrt{144} = 12$.

Hva med $3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{8}$? Vi får $12\sqrt{16} = 12 \cdot 4 = 48$.

Og $(2\sqrt{3})^2$? Å kvadrere betyr å gange med seg selv: $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$. Merk at $\sqrt{3}$ ganget med $\sqrt{3}$ gir akkurat 3 -- det er jo hele definisjonen av kvadratrot!

Oppsummering

I dette kapittelet har vi lært at kvadratroten av et tall $a$ er det positive tallet som ganget med seg selv gir $a$. Vi har to viktige regneregler: produktregelen $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ og brøkregelen $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

For å forenkle en rot leter vi etter den største kvadrattallsfaktoren under rottegnet. Vi kan addere og subtrahere røtter som har likt rotinnhold, akkurat som vi legger sammen like termer i algebra. Vi kan multiplisere røtter ved å gange rotinnholdet sammen.

Disse ferdighetene er grunnlaget for mye av det vi skal jobbe med videre i algebra og geometri.