2.2 Statistiske mål

Hva forteller egentlig én tallrekke?

Si at du har samlet inn karakterene til en hel klasse, eller målt temperaturen hver dag i en måned. Nå sitter du med en lang rekke tall. Hvordan skal du oppsummere dem på en måte som faktisk gir mening?

Det er her statistiske mål kommer inn. De hjelper oss å forstå hva som er typisk i et datasett, og hvor stor spredningen er. I dette kapittelet lærer du om sentralmålene -- gjennomsnitt, median og modus -- og spredningsmålene varians og standardavvik. Dette er verktøy du får bruk for i ethvert forskningsprosjekt, og som hjelper deg å gjennomskue statistikk i nyhetene.

Tre mål på det typiske

Det vanligste sentralmålet er gjennomsnittet. Du summerer alle verdiene og deler på antallet:

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$

Får fem elever poengene 15, 18, 20, 22 og 25, blir gjennomsnittet $(15+18+20+22+25)/5 = 100/5 = 20$. Men gjennomsnittet har en svakhet: det er følsomt for ekstremverdier. En enkelt svært høy eller lav verdi kan trekke det kraftig i sin retning.

Derfor finnes medianen -- den midterste verdien når dataene er sortert. Er antallet odde, er det den midterste; er det partall, tar vi gjennomsnittet av de to midterste. Medianens store fordel er at den ikke lar seg lure av uteliggere. Det tredje målet er modus, eller typetallet: den verdien som forekommer flest ganger. Modus er det eneste sentralmålet som fungerer på rene kategorier, som favorittfarge eller transportmiddel.

Når betyr forskjellen noe? Tenk på en bedrift med ti ansatte som tjener (i tusen kroner) 30, 32, 33, 34, 35, 35, 36, 38, 40 og 250. Gjennomsnittet blir over 56, langt mer enn de fleste faktisk tjener -- den ene direktørlønnen på 250 drar det opp. Medianen, derimot, er 35, som gir et mye sannere bilde av en typisk lønn. Nettopp derfor velger vi median fremfor gjennomsnitt når et datasett har sterke uteliggere.

Hvor spredt er dataene?

Sentralmålene forteller hva som er typisk, men ikke hvor spredt dataene er. Og to datasett kan ha nøyaktig samme gjennomsnitt, men være vidt forskjellige. Tenk på to klasser med snittkarakter 4,0: klasse A har karakterene 3, 4, 4, 4, 5 -- jevnt og samlet -- mens klasse B har 1, 2, 4, 6, 7 -- sprikende i alle retninger. For å fange opp dette trenger vi spredningsmål.

Variansen, skrevet $s^2$, måler hvor langt verdiene i snitt ligger fra gjennomsnittet, ved hjelp av kvadrerte avvik:

$$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$$

Standardavviket $s$ er ganske enkelt kvadratroten av variansen. Vi deler på $n-1$ og ikke $n$ når vi regner på et utvalg, fordi det gir et mer nøyaktig estimat. Standardavviket har den fordelen at det har samme enhet som dataene -- cm, kg eller grader -- mens variansen har kvadrert enhet. Lavt standardavvik betyr at verdiene ligger tett rundt gjennomsnittet; høyt standardavvik betyr stor spredning.

La oss regne på datasettet 4, 7, 8, 9, 12. Gjennomsnittet er 8. Avvikene fra 8 er -4, -1, 0, 1 og 4, og kvadrert blir de 16, 1, 0, 1 og 16, til sammen 34. Variansen blir $34/(5-1) = 8{,}5$, og standardavviket $\sqrt{8{,}5} \approx 2{,}9$. Det betyr at verdiene i snitt ligger omtrent 2,9 unna gjennomsnittet. Når to datasett har samme snitt på 50, men det ene har standardavvik 2 og det andre 15, vet vi umiddelbart at det siste er langt mer spredt.

Når tallene forteller en historie

Det virkelig nyttige skjer når vi bruker sentralmål og spredningsmål sammen. Da kan tallene fortelle oss noe vi ikke ser ved første øyekast.

Tenk deg to klasser som har hatt samme naturfagsprøve. Klasse A fikk poengene 14, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 28, mens klasse B fikk 8, 12, 15, 20, 25, 28, 30, 30. Regner vi ut, ligger gjennomsnittene nesten likt -- rundt 21 poeng i begge. Ut fra snittet alene ville vi tro klassene var like. Men standardavviket avslører noe annet: klasse A har et standardavvik på rundt 4,5, mens klasse B ligger på rundt 8,6. Klasse A er altså jevn -- de fleste presterer nær snittet. Klasse B spriker kraftig: noen elever får toppscore, andre sliter. For en lærer betyr dette at klasse B kanskje trenger mer differensiert undervisning, selv om snittet ser identisk ut.

Dette illustrerer hvorfor man alltid bør oppgi et spredningsmål sammen med sentralmålet. Et gjennomsnitt alene kan skjule store forskjeller. Og husk forskjellen mellom gjennomsnitt og median: i datasettet 5, 5, 5, 5, 100 er gjennomsnittet 24, mens medianen er 5 -- den ene uteliggeren på 100 forvrenger gjennomsnittet fullstendig, mens medianen holder seg representativ. Å velge riktig mål, og å lese spredningen, er selve nøkkelen til å tolke data ærlig.

Oppsummering

Vi har sett tre sentralmål: gjennomsnittet, som er summen delt på antall, men følsomt for uteliggere; medianen, den midterste verdien, robust mot uteliggere; og modus, den hyppigste verdien, som også fungerer på kategoriske data.

For å beskrive hvor spredt dataene er, bruker vi varians -- gjennomsnittlig kvadratavvik fra snittet -- og standardavvik, som er kvadratroten av variansen og har samme enhet som dataene. To datasett kan ha samme snitt, men helt ulik spredning, slik de to naturfagsklassene viste. Derfor bør man alltid oppgi et spredningsmål sammen med sentralmålet, og velge sentralmål ut fra datatypen og om det finnes uteliggere.