1.1 Hendelser, sannsynlighet og uavhengighet

$$S = \{\text{alle mulige utfall}\}.$$

Kaster du én terning, er $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Hvert enkelt element i $S$ er et elementutfall. Utfallsrommet er startpunktet for enhver sannsynlighetsmodell: du må vite hva som kan skje før du kan regne på hva som vil skje.

En hendelse er en delmengde av utfallsrommet — en samling utfall vi er interessert i. Vi skriver hendelser med store bokstaver: $A$, $B$, $C$.

For terningen kan $A = \{5, 6\}$ være hendelsen «minst 5 øyne». Hendelsen inntreffer dersom utfallet av forsøket ligger i $A$. Sannsynligheten for hendelsen skrives $P(A)$, et tall mellom 0 og 1.

$$A^c = \{\text{utfall i } S \text{ som ikke er i } A\}.$$

For terningen med $A = \{5, 6\}$ er $A^c = \{1, 2, 3, 4\}$ = «høyst 4 øyne». Komplementet er nøkkelen til komplementregelen i løkke 2.

$$A \cup B = \{\text{utfall i } A \text{ eller i } B\}.$$

Med $A = \{5, 6\}$ og $B = \{2, 4, 6\}$ (partall) er $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$. Merk at 6 telles bare én gang — det er hele poenget med addisjonsregelen senere.

$$A \cap B = \{\text{utfall i både } A \text{ og } B\}.$$

Med $A = \{5, 6\}$ og $B = \{2, 4, 6\}$ er $A \cap B = \{6\}$. «Og» betyr snitt, «eller» betyr union — å blande disse to er den vanligste feilen i hele kapitlet.

En sannsynlighet $P$ tildeler hver hendelse et tall, og må følge tre grunnregler (Kolmogorovs aksiomer):

1. $P(A) \ge 0$ for enhver hendelse (aldri negativ).
2. $P(S) = 1$ (noe i utfallsrommet inntreffer alltid).
3. Hvis $A$ og $B$ ikke kan inntreffe samtidig, er $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Alt vi regner ut senere — komplementregelen, addisjonsregelen, Bayes — følger av disse tre. Merk at aksiom 3 bare gjelder når hendelsene ikke overlapper; overlapper de, trenger vi den generelle addisjonsregelen nedenfor.

$$P(A) = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{antall mulige utfall}} = \frac{|A|}{|S|}.$$

Dette gjelder kun når utfallene er symmetriske (rettferdig terning, godt blandet kortstokk, tilfeldig trekning). Da blir sannsynlighetsregning til telling — og telleteknikkene i kap. 1.2 er nettopp verktøyet for det.

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$$

Intuisjon: legger du $P(A)$ og $P(B)$ sammen, teller du overlappet $A \cap B$ to ganger — én gang i hver. Derfor trekker vi det fra én gang. Dette er en aktiv regel du bruker uten oppslag; den står ikke i formelsamlingen i brukbar form.

$$P(A^c) = 1 - P(A).$$

Den følger av at $A$ og $A^c$ til sammen dekker hele $S$ og ikke overlapper. Regelen er uunnværlig for «minst én»-oppgaver: «minst én» er komplementet til «ingen», og «ingen» er ofte mye lettere å regne (se kap. 1.2).

$$A \cap B = \varnothing, \qquad P(A \cap B) = 0.$$

Da forenkler addisjonsregelen seg til $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. Eksempel: «terningen viser 1» og «terningen viser 6» kan umulig skje i samme kast. Disjunkt handler om utfallene: overlapper de i det hele tatt?

$$P(A \cap B) = P(A)\,P(B).$$

Eksempel: to atskilte terningkast — at det første viser 6 sier ingenting om det andre. Uavhengighet handler om informasjon: forteller det at $A$ skjedde deg noe om $B$? Merk: for å sjekke uavhengighet regner du, du kan ikke «se» det i et Venndiagram slik du ser disjunkthet.

Et enkelt, udelelig utfall av forsøket — ett element i utfallsrommet $S$. For én terning er hvert av tallene $1, \ldots, 6$ et elementutfall. En hendelse er en samling (delmengde) av elementutfall.

Den sikre hendelsen er hele utfallsrommet $S$ med $P(S) = 1$ (noe skjer alltid). Den umulige hendelsen er den tomme mengden $\varnothing$ med $P(\varnothing) = 0$. To disjunkte hendelser har nettopp $A \cap B = \varnothing$.

En tegning der utfallsrommet er et rektangel og hendelsene er områder inni. Union er alt som dekkes av minst én figur, snitt er overlappet, komplement er alt utenfor. Nyttig for å se hendelsesalgebra og oppdage overlapp — men uavhengighet kan man ikke lese av et Venndiagram, den må regnes.