9.1 Følger og tallmønstre

Tallene som vet hva som kommer

En pasient får 400 mg av et medikament, og kroppen bryter ned 25 % per døgn. Legen trenger å vite: hvor mye er igjen om en uke? Når er nivået under 10 mg? Spørsmålene handler om en liste med tall som følger et mønster — og slike lister er blant matematikkens mest anvendelige objekter.

En følge er en ordnet liste med tall etter et bestemt mønster. Vi skriver leddene $a_1, a_2, a_3, \ldots$ der $a_n$ er det $n$-te leddet. Følger modellerer alt fra rentevekst og medikamentkonsentrasjoner til befolkningsdynamikk. Det finnes to måter å beskrive dem på: en eksplisitt formel gir $a_n$ direkte som funksjon av $n$ (som $a_n = 3n + 1$ — du kan hoppe rett til et vilkårlig ledd), mens en rekursiv formel gir $a_n$ ut fra de foregående leddene (som $a_{n+1} = 2a_n - 1$ med $a_1 = 5$ — du må starte fra begynnelsen).

I denne fortellingen studerer vi de to viktigste følgeklassene — aritmetiske og geometriske — og det store spørsmålet om konvergens: nærmer følgen seg en endelig grenseverdi, eller vokser den uten grense? Medisinen i blodet, summene på sparekontoen og grenseverdiene møtes alle i samme teori.

De to følgefamiliene

Den aritmetiske følgen har konstant differanse $d$ mellom påfølgende ledd. Rekursivt: $a_{n+1} = a_n + d$; eksplisitt: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Følgen $3, 7, 11, 15, 19, \ldots$ har $a_1 = 3$ og $d = 4$, med eksplisitt formel $a_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 1$. Kontroll: $a_1 = 3$ og $a_5 = 19$. ✓

Den geometriske følgen har konstant forhold (kvotient) $k$ mellom påfølgende ledd. Rekursivt: $a_{n+1} = a_n \cdot k$; eksplisitt: $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$. Følgen $2, 6, 18, 54, 162, \ldots$ har $k = 3$ og formelen $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$. Og følgen $800, 400, 200, 100, 50, \ldots$ har $\displaystyle k = \frac{1}{2}$ — leddene nærmer seg null fordi $|k| < 1$.

Medisinen fra innledningen er nettopp geometrisk: etter hvert døgn er 75 % igjen, så med $a_0 = 400$ er $a_{n+1} = 0{,}75 \cdot a_n$, eksplisitt $a_n = 400 \cdot 0{,}75^n$. Når er nivået under 10 mg? Vi løser $400 \cdot 0{,}75^n < 10$, altså $0{,}75^n < 0{,}025$. Logaritmen på begge sider (husk: $\ln 0{,}75$ er negativ, så ulikheten snur):

$$n > \frac{\ln 0{,}025}{\ln 0{,}75} \approx \frac{-3{,}689}{-0{,}288} \approx 12{,}8$$

Etter 13 døgn er konsentrasjonen under 10 mg. Slik gjenkjenner du følgetypen i praksis: beregn differansene — er de konstante, er følgen aritmetisk; beregn forholdene — er de konstante, er den geometrisk.

Konvergens — hvor er følgen på vei?

En følge $\{a_n\}$ konvergerer mot $L$ dersom leddene kommer vilkårlig nær $L$ når $n$ vokser uten grense; vi skriver $\lim_{n \to \infty} a_n = L$. En følge uten slik grenseverdi divergerer.

For de to familiene er svaret ryddig. En aritmetisk følge konvergerer bare i det trivielle tilfellet $d = 0$ (konstant følge) — ethvert annet $d$ sender leddene mot $\pm\infty$. En geometrisk følge konvergerer mot $0$ når $|k| < 1$; den divergerer når $|k| > 1$; den er konstant når $k = 1$; og når $k = -1$ alternerer den mellom $a_1$ og $-a_1$ uten å konvergere. Vær obs på oscillasjon: følgen $(-1)^n$ er begrenset, men konvergerer ikke.

For følger gitt som brøkuttrykk i $n$ finnes en standardteknikk: del teller og nevner på den høyeste potensen av $n$. For eksempel $\displaystyle \frac{3n^2 + n}{2n^2 + 5} = \frac{3 + 1/n}{2 + 5/n^2} \to \frac{3}{2}$.

Også rekursive følger kan ha grenseverdier. Se på $a_1 = 10$, $\displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n + 6}{2}$: leddene blir $10, 8, 7, 6{,}5, 6{,}25, \ldots$ — de nærmer seg noe. Hva? Hvis følgen konvergerer mot $L$, må grensen tilfredsstille $\displaystyle L = \frac{L + 6}{2}$, som gir $2L = L + 6$, altså $L = 6$. Og vi kan bevise konvergensen med et nydelig triks: la $b_n = a_n - 6$ være avviket fra grensen. Da er

$$b_{n+1} = a_{n+1} - 6 = \frac{a_n + 6}{2} - 6 = \frac{a_n - 6}{2} = \frac{b_n}{2}$$

Avviksfølgen er geometrisk med $\displaystyle k = \frac{1}{2}$ og $b_1 = 4$, så $\displaystyle b_n = 4 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} \to 0$ — og dermed $a_n = b_n + 6 \to 6$. Generelt har rekursjonen $a_{n+1} = pa_n + q$ likevekten $\displaystyle L = \frac{q}{1-p}$ og konvergerer mot den når $|p| < 1$.

Summene — rekkene tar over

Fra følger til rekker: summen av leddene. De tre sumformlene du trenger i S2, kjenner du nå igjen som gamle venner.

For en aritmetisk rekke er summen av de $n$ første leddene $\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$. For en endelig geometrisk rekke (med $k \neq 1$) er $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$. Og for en uendelig geometrisk rekke med $|k| < 1$ konvergerer summen mot $\displaystyle S = \frac{a_1}{1 - k}$ — mens den divergerer for $|k| \geq 1$.

Tre raske anvendelser. En bedrift produserer 500 enheter første kvartal og øker med 80 per kvartal; etter 12 kvartaler er totalproduksjonen $\displaystyle S_{12} = \frac{12}{2}(2 \cdot 500 + 11 \cdot 80) = 6 \cdot 1880 = 11\,280$ enheter — aritmetisk rekke. En uendelig geometrisk rekke med $a_1 = 300$ og $k = 0{,}6$ har sum $\displaystyle S = \frac{300}{0{,}4} = 750$. Og den klassiske $\displaystyle 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \cdots$ summerer til $\displaystyle \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{3}{2}$.

Dermed har du diagnoseverktøyet komplett: Se på følgen. Konstante differanser? Aritmetisk — lineær vekst, sum med $\displaystyle \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$. Konstante forhold? Geometrisk — eksponentiell endring, sum med $\displaystyle \frac{k^n - 1}{k-1}$, og uendelig sum $\displaystyle \frac{a_1}{1-k}$ hvis $|k| < 1$. Rekursjon på formen $a_{n+1} = pa_n + q$? Likevekt i $\displaystyle \frac{q}{1-p}$, stabil når $|p| < 1$. Med dette i verktøykassen er du rustet både for figurtallene i neste kapittel og for programmeringen i det siste.

Oppsummering: mønstre, grenser og summer

Legens medisinregnskap åpnet døren til hele følgeteorien. Aritmetiske følger har konstant differanse $d$ og eksplisitt formel $a_n = a_1 + (n-1)d$; geometriske følger har konstant kvotient $k$ og formel $a_n = a_1 k^{n-1}$. Begge kan beskrives rekursivt (steg for steg fra startverdi) eller eksplisitt (direkte hopp til ledd $n$) — og medikamentet $a_n = 400 \cdot 0{,}75^n$ viste hvordan logaritmer besvarer «når er nivået under …?»-spørsmål.

Konvergens betyr at leddene nærmer seg en grenseverdi $L$: geometriske følger konvergerer mot 0 når $|k| < 1$, brøkfølger temmes ved å dele på høyeste potens av $n$, og rekursjoner $a_{n+1} = pa_n + q$ har likevekt $\displaystyle L = \frac{q}{1-p}$, stabil når $|p| < 1$ — bevist elegant ved at avviksfølgen $b_n = a_n - L$ er geometrisk. Husk fellene: oscillerende følger som $(-1)^n$ divergerer selv om de er begrenset.

Og sumformlene: aritmetisk $\displaystyle S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$, geometrisk $\displaystyle S_n = a_1\frac{k^n - 1}{k - 1}$, og den uendelige $\displaystyle S = \frac{a_1}{1-k}$ for $|k| < 1$. Tre formler, to følgefamilier, ett spørsmål — hva er konstant, differansen eller forholdet? — og du kan modellere produksjon, medisin og sparing. Neste kapittel gjør tallene synlige: figurtall, der følgene blir geometri.