8.8 Konsument- og produsentoverskudd

Alle tjener på handelen — men hvor mye?

På loppemarkedet selger du en gammel spillkonsoll for 600 kroner. Du hadde vært fornøyd med 400, og kjøperen hadde gladelig betalt 900. Etter handelen er dere begge rikere — du med 200 kroner mer enn smertegrensen din, kjøperen med en gevinst på 300 kroner i form av «spart» betalingsvilje. Til sammen skapte handelen 500 kroner i verdi som ikke fantes før dere håndhilste.

I et helt marked skjer dette i tusentall. Noen kjøpere ville betalt mer enn markedsprisen, noen selgere kunne levert billigere — og begge parters gevinst kan måles. Konsumentoverskuddet er kjøpernes samlede gevinst: forskjellen mellom hva de var villige til å betale og hva de faktisk betaler. Produsentoverskuddet er selgernes: forskjellen mellom hva de mottar og den laveste prisen de ville akseptert. Summen kalles det samfunnsøkonomiske overskuddet.

For å beregne disse gevinstene trenger vi integrasjon — overskuddene er arealer i tilbuds- og etterspørselsdiagrammet. I denne fortellingen beregner vi dem, viser at markedslikevekten maksimerer den samlede gevinsten, og undersøker hva som skjer når myndighetene regulerer prisen.

Overskuddene som arealer

La $p = D(x)$ være etterspørselsfunksjonen (avtagende) og $p = S(x)$ tilbudsfunksjonen (stigende), og la markedsprisen være $p_0$ ved omsatt mengde $x_0$. Konsumentoverskuddet er arealet mellom etterspørselskurven og prislinjen $p = p_0$, fra $x = 0$ til $x_0$:

$$\text{KO} = \int_0^{x_0} D(x)\, dx - p_0 \cdot x_0$$

Tolkningen: integralet er kjøpernes samlede betalingsvilje for de $x_0$ første enhetene, og $p_0 x_0$ er det de faktisk betalte — differansen er den «sparte» betalingen. Produsentoverskuddet er speilbildet, arealet mellom prislinjen og tilbudskurven:

$$\text{PO} = p_0 \cdot x_0 - \int_0^{x_0} S(x)\, dx$$

Og det samfunnsøkonomiske overskuddet er summen, som kan samles i ett integral: $\text{SO} = \int_0^{x_0} (D(x) - S(x))\, dx$.

Regneeksempel: $D(x) = 100 - 2x$ og $S(x) = 20 + x$. Likevekt: $100 - 2x = 20 + x$ gir $\displaystyle x^* = \frac{80}{3} \approx 26{,}7$ og $p^* \approx 46{,}7$ kroner. Konsumentoverskuddet:

$$\text{KO} = \int_0^{80/3} (100 - 2x)\, dx - p^* x^* = \frac{17600}{9} - \frac{11200}{9} = \frac{6400}{9} \approx 711 \text{ kroner}$$

— eller raskere som trekantareal: $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{80}{3} \cdot (100 - \frac{140}{3}) = \frac{6400}{9}$. Tilsvarende blir $\displaystyle \text{PO} = \frac{11200}{9} - \frac{8000}{9} = \frac{3200}{9} \approx 356$ kroner, og $\displaystyle \text{SO} = \frac{9600}{9} \approx 1067$ kroner.

For krumme kurver finnes ingen trekantsnarvei. Med $\displaystyle D(x) = \frac{200}{x+2}$ og pris $p_0 = 20$ blir omsatt mengde $x_0 = 8$ (fra $\displaystyle \frac{200}{x_0+2} = 20$), og

$$\text{KO} = \int_0^{8} \frac{200}{x+2}\, dx - 160 = 200\ln 5 - 160 \approx 162 \text{ kroner}$$

Likevekten er ikke bare stabil — den er best

I kapittelet om tilbud og etterspørsel så vi at markedet av seg selv finner likevekten $D(x^*) = S(x^*) = p^*$. Nå kan vi si noe sterkere: det samfunnsøkonomiske overskuddet er størst nøyaktig ved markedslikevekten. Enhver annen pris — uansett hvor velmenende — gir mindre samlet gevinst.

Hvorfor? Se på integralet $\text{SO} = \int_0^{x_0} (D(x) - S(x))\,dx$. Integranden $D(x) - S(x)$ er positiv for $x < x^*$ (betalingsviljen overstiger produksjonskostnaden — slike handler skaper verdi) og negativ for $x > x^*$ (enheter som koster mer å lage enn noen vil betale). Arealet maksimeres derfor ved å ta med nøyaktig alle de verdiskapende enhetene — og det er $x_0 = x^*$.

Settes prisen lavere enn likevekt, vil tilbudssiden begrense omsetningen: det produseres mindre enn $x^*$. Noen kjøpere får riktignok varen billigere, men færre handler gjennomføres, produsentoverskuddet faller — og en del av den mulige gevinsten går tapt. Dette tapet, overskudd som verken tilfaller kjøpere eller selgere, kalles dødvektstap.

Geometrisk er dødvektstapet trekanten mellom etterspørsels- og tilbudskurven over de enhetene som ikke lenger omsettes:

$$\text{Dødvektstap} = \int_{x_1}^{x^*} (D(x) - S(x))\, dx$$

der $x_1$ er den nye, lavere omsatte mengden. Hver enhet i dette intervallet ville skapt verdi — noen var villige til å betale mer enn produksjonskostnaden — men handelen uteblir. Det er et rent effektivitetstap, og det er prisen samfunnet betaler for å flytte prisen bort fra likevekten.

Pristak, prisgulv og regningen for begge

Myndigheter regulerer priser med gode intensjoner: pristak (maksimalpris under likevekt) skal gjøre varer rimelige — tenk husleieregulering; prisgulv (minstepris over likevekt) skal sikre selgerne — tenk minstelønn eller landbrukspriser. Matematikken viser hva begge koster.

Ved et pristak $p_1 < p^*$ er det tilbudet som begrenser: produsentene leverer bare $x_1 = S^{-1}(p_1) < x^*$. De kjøperne som får tak i varen, tjener på lav pris, men produsentene taper, og dødvektstrekanten oppstår. Ved et prisgulv $p_1 > p^*$ er det etterspørselen som begrenser: kjøperne tar bare unna $x_1 = D^{-1}(p_1) < x^*$. Selgerne som får solgt, tjener mer per enhet — men det selges færre, kjøperne taper, og igjen: dødvektstap. Fellesnevneren er at omsatt mengde alltid bestemmes av den «korteste» siden av markedet.

Gjennomregnet eksempel: $D(x) = 60 - 2x$ og $S(x) = x + 15$, med pristak $p_1 = 25$ kroner. Likevekt: $60 - 2x = x + 15$ gir $x^* = 15$ og $p^* = 30$, med $\displaystyle \text{SO}_{\text{likevekt}} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 45 = 337{,}5$ kroner. Med pristaket bestemmer tilbudet mengden: $x_1 + 15 = 25$ gir $x_1 = 10$. Nye overskudd:

$$\text{KO} = \int_0^{10} (60 - 2x)\,dx - 250 = 500 - 250 = 250, \qquad \text{PO} = 250 - \int_0^{10}(x + 15)\,dx = 250 - 200 = 50$$

Nytt SO: 300 kroner. Dødvektstapet: $337{,}5 - 300 = 37{,}5$ kroner — eller som trekant $\displaystyle \frac{1}{2}(x^* - x_1)(D(x_1) - S(x_1)) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 15 = 37{,}5$. Konsumentene kom faktisk bedre ut (250 mot 225 i likevekt), produsentene mye verre (50 mot 112,5) — og 37,5 kroner forsvant helt. Slik gir integralregningen et nøkternt regnskap over hvem reguleringen hjelper, hvem den rammer, og hva den koster samfunnet totalt.

Oppsummering: markedets gevinstregnskap

Loppemarkedshandelen i miniatyr ble til full markedsanalyse. Konsumentoverskuddet $\text{KO} = \int_0^{x_0} D(x)\,dx - p_0x_0$ måler kjøpernes gevinst, produsentoverskuddet $\text{PO} = p_0x_0 - \int_0^{x_0} S(x)\,dx$ selgernes, og summen — det samfunnsøkonomiske overskuddet $\text{SO} = \int_0^{x_0}(D(x) - S(x))\,dx$ — er den totale verdien handelen skaper. Lineære kurver gir trekantarealer; krumme kurver krever integralet, som da $\displaystyle \frac{200}{x+2}$ ga $\text{KO} = 200\ln 5 - 160$.

Hovedresultatet: SO er størst ved markedslikevekten $D(x^*) = S(x^*)$, fordi nøyaktig de verdiskapende enhetene — de med $D(x) > S(x)$ — da omsettes. Prisregulering i begge retninger krymper omsetningen til markedets korteste side: pristak lar tilbudet begrense, prisgulv lar etterspørselen begrense. Resultatet er omfordeling mellom partene og et dødvektstap $\int_{x_1}^{x^*}(D(x) - S(x))\,dx$ — gevinst som bare forsvinner, slik pristaket på 25 kroner kostet samfunnet 37,5 kroner.

Integralregningen gir dermed politikkens dilemmaer tall: reguleringen som hjalp konsumentene med 25 kroner, kostet produsentene 62,5 og samfunnet 37,5. Om det er verdt det, er et verdispørsmål — men hva det koster, det kan S2-matematikken fortelle deg.