8.6 Kostnad, inntekt og overskudd

Tre funksjoner som forteller om bedriften går rundt

Tante Maja har startet et lite keramikkverksted og spør deg, familiens mattetalent, om hjelp: «Jeg vet hva jeg betaler i husleie og hva leiren koster, og jeg vet hva jeg får per kopp. Men går jeg egentlig med overskudd?» Spørsmålet hennes er presist nok til å bli matematikk — og svaret bor i tre funksjoner.

Kostnadsfunksjonen $K(x)$ gir de totale kostnadene ved å produsere $x$ enheter. Inntektsfunksjonen $I(x)$ gir de totale inntektene ved å selge dem. Og overskuddsfunksjonen er forskjellen:

$$O(x) = I(x) - K(x)$$

Er $O(x) > 0$, har verkstedet fortjeneste; er $O(x) < 0$, går det med tap. De produksjonsnivåene der $O(x) = 0$ — der inntektene akkurat dekker kostnadene — kalles nullpunkter eller break-even-punkter.

I denne fortellingen bygger vi opp de tre funksjonene, finner ut hvor tante Maja går i null, hvor overskuddet er størst, og hvordan enhetskostnaden avslører om driften i det hele tatt kan bli lønnsom.

Kostnader og inntekter på funksjonsform

Vi starter med kostnadene. Totalkostnaden består av faste kostnader $K(0)$ — husleie, forsikring, lån, som påløper uansett produksjon — og variable kostnader $V(x) = K(x) - K(0)$, som øker med produksjonen: leire, glasur, strøm til ovnen. I tillegg er enhetskostnaden $\displaystyle E(x) = \frac{K(x)}{x}$ den gjennomsnittlige kostnaden per kopp.

I S2 møter du tre typiske kostnadsformer. En lineær kostnadsfunksjon $K(x) = ax + b$ har konstant variabel kostnad per enhet. En kvadratisk $K(x) = ax^2 + bx + c$ har økende marginalkostnad — hver ny enhet koster mer enn forrige. Og en kubisk $K(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ gir et S-formet kostnadsforløp som fanger både stordriftsfordeler (midt i) og kapasitetsproblemer (på slutten).

Inntektssiden: selges $x$ kopper til pris $p(x)$, er totalinntekten $I(x) = p(x) \cdot x$. Med fast pris er $I(x) = p \cdot x$, en rett linje. Møter verkstedet en lineær etterspørsel $p(x) = a - bx$, blir $I(x) = ax - bx^2$, en parabel.

Og dermed: $O(x) = I(x) - K(x)$, med break-even der $O(x) = 0$, altså $I(x) = K(x)$ — grafisk der inntektslinjen krysser kostnadskurven. Tegner du $I$ og $K$ i samme koordinatsystem, er overskuddet den vertikale avstanden mellom dem: over break-even-intervallet ligger $I$ øverst, og bedriften tjener penger.

Hvor er overskuddet størst?

Tante Majas kostnadsfunksjon viser seg å være $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}9x^2 + 30x + 500$ kroner for $x$ kopper, og hun selger til fast pris 50 kroner per kopp. Da er $I(x) = 50x$ og

$$O(x) = 50x - (0{,}01x^3 - 0{,}9x^2 + 30x + 500) = -0{,}01x^3 + 0{,}9x^2 + 20x - 500$$

Først: hvor går hun i null? $O(x) = 0$ er en tredjegradslikning som løses numerisk eller med CAS: $x \approx 15$ og $x \approx 75$. Verkstedet tjener penger for produksjon mellom 15 og 75 kopper — under 15 spiser de faste kostnadene alt, over 75 tar de økende produksjonskostnadene over.

Så: hvor er overskuddet størst? Vi deriverer og setter lik null — det generelle prinsippet er at $O'(x) = I'(x) - K'(x) = 0$, altså $I'(x) = K'(x)$: grenseinntekt lik marginalkostnad. Her: $O'(x) = -0{,}03x^2 + 1{,}8x + 20 = 0$, som med abc-formelen gir $x \approx 69{,}6$ (den negative løsningen forkastes). Andrederiverttesten: $O''(69{,}6) = -0{,}06 \cdot 69{,}6 + 1{,}8 \approx -2{,}4 < 0$ — et maksimum. Cirka 70 kopper er altså Majas optimale produksjon.

Samme metode med variabel pris: med $K(x) = x^2 + 20x + 400$ og etterspørsel $p(x) = 100 - x$ blir $I(x) = 100x - x^2$ og $O(x) = -2x^2 + 80x - 400$. Break-even: $x = 20 \pm 10\sqrt{2}$, altså cirka 5,9 og 34,1. Maksimum: $O'(x) = -4x + 80 = 0$ gir $x = 20$ med $O(20) = 400$ kroner og pris $p(20) = 80$ kroner. Oppskriften er den samme hver gang: sett opp funksjonene, finn nullpunktene, deriver, og test med andrederiverten.

Enhetskostnaden — lakmustesten for lønnsomhet

Det siste verktøyet svarer på et spørsmål enhver bedriftseier bør stille: kan dette i det hele tatt bli lønnsomt? Sammenlign prisen med enhetskostnaden. Er prisen per kopp høyere enn kostnaden per kopp, finnes det rom for fortjeneste; er den lavere, hjelper ingen produksjonsmengde i verden.

Ta et verksted med $K(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 200$ som selger til fast pris 40 kroner. Enhetskostnaden er

$$E(x) = \frac{K(x)}{x} = 0{,}5x + 10 + \frac{200}{x}$$

Hvor er den lavest? Vi deriverer: $\displaystyle E'(x) = 0{,}5 - \frac{200}{x^2} = 0$ gir $x^2 = 400$, altså $x = 20$, og

$$E(20) = 10 + 10 + 10 = 30 \text{ kroner per enhet}$$

Legg merke til strukturen i $E(x)$: leddet $0{,}5x + 10$ vokser med produksjonen (variable kostnader per enhet), mens $\displaystyle \frac{200}{x}$ krymper (faste kostnader fordeles på flere enheter). Minimum ligger der de to kreftene balanserer.

Er bedriften lønnsom? Ved $x = 20$ er enhetskostnaden 30 kroner og prisen 40 — overskudd på 10 kroner per enhet, og totalt $O(20) = 40 \cdot 20 - K(20) = 800 - 600 = 200$ kroner. Svaret er ja: den minimale enhetskostnaden ligger under salgsprisen, så det finnes produksjonsnivåer som gir fortjeneste. Hadde minimum vært 45 kroner, ville ingen mengde reddet regnskapet — da måtte enten prisen opp eller kostnadene ned. Slik gir $E(x)$ et raskt lønnsomhetssjekkpunkt før den fulle overskuddsanalysen.

Oppsummering: keramikkverkstedets regnskap

Tante Maja fikk svar — og du fikk metoden. Overskuddsfunksjonen $O(x) = I(x) - K(x)$ samler hele driften: kostnader med faste ($K(0)$) og variable ($K(x) - K(0)$) deler, og inntekter $I(x) = p(x) \cdot x$, lineære ved fast pris og parabelformede ved lineær etterspørsel $p(x) = a - bx$.

Break-even finner du ved å løse $O(x) = 0$, altså $I(x) = K(x)$: mellom nullpunktene tjener bedriften penger, utenfor taper den. Maksimalt overskudd ligger der $O'(x) = 0$ — det vil si der grenseinntekt er lik marginalkostnad, $I'(x) = K'(x)$ — bekreftet med $O''(x) < 0$. Grafisk er overskuddet den vertikale avstanden mellom inntekts- og kostnadskurven, størst der tangentene er parallelle.

Og enhetskostnaden $\displaystyle E(x) = \frac{K(x)}{x}$ er lakmustesten: bedriften kan drive lønnsomt bare hvis prisen overstiger den minimale enhetskostnaden — som for verkstedet med $E(20) = 30$ kroner mot prisen 40. Tre funksjoner, tre spørsmål, tre svar: Går vi rundt? Hvor går vi i null? Og hvor tjener vi mest? Det er bedriftsøkonomi på funksjonsform.