6.2 Korrelasjon

Iskrem, drukningsulykker og en farlig kortslutning

En sommerdag leser du en overskrift: «Forskere har funnet sterk sammenheng mellom iskremsalg og drukningsulykker.» Bør badevakter konfiskere softisen din? Selvsagt ikke — begge deler øker når det er varmt. Men overskriften peker på noe viktig: tall kan samvariere uten at det ene forårsaker det andre, og det å skille ekte sammenhenger fra tilfeldige er en av de viktigste ferdighetene du tar med deg fra statistikken.

I forrige kapittel fant vi regresjonslinjen som beskriver hvordan $y$ endrer seg med $x$. Nå skal vi måle hvor sterkt to variabler henger sammen. Det gjør vi med korrelasjon — et mål på styrken og retningen til den lineære sammenhengen mellom to variabler. Til forskjell fra regresjon, der den ene variabelen er forklaringsvariabel og den andre respons, behandler korrelasjonen begge variablene symmetrisk. Spørsmålet er rett og slett: varierer $x$ og $y$ sammen? Og i så fall, hvor sterkt?

I denne fortellingen skal vi først lære å beregne og tolke korrelasjonskoeffisienten, og deretter — like viktig — lære når vi ikke skal stole på den.

Pearsons korrelasjonskoeffisient

Verktøyet vårt heter Pearsons korrelasjonskoeffisient og betegnes $r$:

$$r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum(y_i - \bar{y})^2}}$$

En ekvivalent form som er praktisk å regne med, er

$$r = \frac{n\sum x_iy_i - \sum x_i \sum y_i}{\sqrt{[n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2][n\sum y_i^2 - (\sum y_i)^2]}}$$

Tallet $r$ ligger alltid mellom $-1$ og $1$. Er $r > 0$, har vi positiv korrelasjon: begge variablene øker sammen. Er $r < 0$, øker den ene mens den andre synker. $r = 0$ betyr ingen lineær sammenheng — merk at det fortsatt kan finnes en sterk ikke-lineær sammenheng! Og $|r| = 1$ betyr at punktene ligger perfekt på en rett linje. Det er også en vakker kobling til forrige kapittel: $r^2 = R^2$, forklaringsgraden i enkel lineær regresjon.

La oss bruke nettbutikkens data igjen: $(1,3)$, $(2,5)$, $(3,6)$, $(4,8)$, $(5,9)$. Vi har $\sum x_iy_i = 108$, $\sum x_i = 15$, $\sum y_i = 31$, $\sum x_i^2 = 55$ og $\sum y_i^2 = 215$. Da blir

$$r = \frac{5 \cdot 108 - 15 \cdot 31}{\sqrt{(5 \cdot 55 - 225)(5 \cdot 215 - 961)}} = \frac{75}{\sqrt{50 \cdot 114}} = \frac{75}{\sqrt{5700}} \approx 0{,}993$$

En svært sterk positiv korrelasjon — og ganske riktig: $r^2 = 0{,}987$, som var nettopp $R^2$-verdien vi fant i forrige kapittel.

Hvordan tolker vi styrken? En vanlig rettesnor er at $|r|$ under 0,2 er svært svak, 0,2–0,4 svak, 0,4–0,6 moderat, 0,6–0,8 sterk og over 0,8 svært sterk. Men grensene er retningslinjer, ikke naturlover: i fysikk kan $r = 0{,}7$ regnes som svakt, mens det i samfunnsvitenskap ofte regnes som sterkt. Konteksten avgjør.

Korrelasjon er ikke kausalitet

Nå tilbake til iskremen og drukningsulykkene. Korrelasjonen er reell nok — men betyr den at iskrem forårsaker drukning? Her kommer et av de viktigste prinsippene i all statistikk: korrelasjon mellom $x$ og $y$ betyr ikke at $x$ forårsaker $y$.

Når to variabler samvarierer, finnes det faktisk fem mulige forklaringer. Det kan hende at $x$ forårsaker $y$ — slik røyking forårsaker lungekreft. Det kan være omvendt: $y$ forårsaker $x$. Det kan finnes en felles årsak, en tredje variabel som påvirker begge — for iskrem og drukning er det varmt vær som driver begge oppover. Det kan være ren tilfeldighet — korrelasjonen er bare støy. Eller det kan være en spuriøs sammenheng: en tilsynelatende korrelasjon uten reell forbindelse.

Klassiske eksempler på spuriøse korrelasjoner er antall pirater og global temperatur (begge har endret seg over tid — trendkorrelasjon) og margarinforbruk og skilsmisseraten i Maine (ren tilfeldighet). Med nok variabler og nok data vil man alltid finne noen tilfeldige korrelasjoner — derfor må en sammenheng også ha en teoretisk begrunnelse før vi tar den på alvor.

Et lærerikt eksempel: en studie finner sterk positiv korrelasjon ($r = 0{,}82$) mellom antall brannbiler ved en brann og skadeomfanget. Forårsaker brannbiler skade? Nei — den konfunderende variabelen er brannens størrelse. Store branner får mange brannbiler og gir store skader. Begge de observerte variablene er konsekvenser av en tredje.

En konfunderende variabel (lurking variable) er nettopp dette: en variabel som påvirker både $x$ og $y$, skaper en tilsynelatende sammenheng mellom dem, og ikke er inkludert i analysen. Hvordan avslører vi den? Med kontrollerte eksperimenter der tilfeldig tildeling (randomisering) eliminerer konfundering, med stratifisering (analysere undergrupper hver for seg), med multippel regresjon (inkludere den konfunderende variabelen i modellen) — og alltid med kritisk tenkning: finnes det en alternativ forklaring? For å påvise kausalitet trengs kontrollerte eksperimenter eller spesielle statistiske metoder som instrumentvariabler og naturlige eksperimenter.

Oppsummering: mål styrken, men tenk selv

Vi startet med en tabloid overskrift og endte med et presist verktøy og en sunn dose skepsis. Pearsons korrelasjonskoeffisient $r$ måler styrken og retningen på den lineære sammenhengen mellom to variabler og ligger alltid mellom $-1$ og $1$. Verdier nær $\pm 1$ betyr sterk lineær samvariasjon, verdier nær null betyr svak eller ingen lineær sammenheng — men en krum sammenheng kan gjemme seg bak $r = 0$. Koeffisienten er symmetrisk i $x$ og $y$, endres ikke av lineære transformasjoner av variablene, og henger sammen med regresjonen gjennom $r^2 = R^2$.

Den andre — og kanskje viktigste — lærdommen er at korrelasjon ikke innebærer kausalitet. Samvariasjon kan skyldes at $x$ påvirker $y$, at $y$ påvirker $x$, en felles årsak, ren tilfeldighet eller en spuriøs sammenheng. Brannbilene og skadeomfanget minner oss om at en konfunderende variabel — brannens størrelse — kan ligge bak hele korrelasjonen. Vil vi påvise årsakssammenhenger, trenger vi kontrollerte eksperimenter med randomisering, stratifisering eller multippel regresjon.

Så neste gang du ser en overskrift om en «sterk sammenheng», vet du hva du skal spørre om: Hvor sterk er $r$? Er sammenhengen lineær? Og hvem er den skjulte tredje variabelen som kanskje trekker i trådene?