3.4 Drøfting av rasjonale funksjoner

Grensen som aldri nås

Når et nytt produkt lanseres, vokser brukertallet raskt i starten — men markedet er ikke uendelig. Etter hvert flater veksten ut mot et tak, en metning som kurven nærmer seg uten noensinne å nå. Og i et laboratorium kan konsentrasjonen av et stoff eksplodere mot uendelig når vi nærmer oss et kritisk punkt. Begge fenomenene beskrives av samme matematiske idé: asymptoter — linjer som grafen nærmer seg uten å nå.

Når vi drøfter en funksjon, må vi forstå hva som skjer i ytterkantene: når $x$ går mot uendelig, og når $x$ nærmer seg punkter der funksjonen ikke er definert. I S2 møter vi tre typer asymptoter.

Linjen $x = a$ er en vertikal asymptote dersom $f(x) \to \pm\infty$ når $x \to a$ fra høyre eller venstre. Slike oppstår typisk der nevneren i en rasjonal funksjon er null uten at telleren også er null der. Linjen $y = L$ er en horisontal asymptote dersom $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ eller $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ — og en funksjon kan faktisk ha ulike horisontale asymptoter mot høyre og venstre. Linjen $y = ax + b$ (med $a \neq 0$) er en skrå asymptote dersom $f(x) - (ax + b) \to 0$ når $x \to \pm\infty$; den finner vi gjerne med polynomdivisjon, eller med grenseverdiene $\displaystyle a = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x}$ og $b = \lim_{x\to\infty} [f(x) - ax]$.

Å identifisere disse korrekt er avgjørende for en fullstendig funksjonsdrøfting — og for å forstå hva modellene våre egentlig sier om virkeligheten.

Gradene avslører alt

For rasjonale funksjoner $\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ finnes det en komplett huskeregel basert på gradene: la $P$ ha grad $m$ og $Q$ ha grad $n$. Vertikale asymptoter ligger i nullpunktene til $Q$ som ikke også er nullpunkter for $P$. For oppførselen mot uendelig gjelder: hvis $m < n$, er $y = 0$ horisontal asymptote. Hvis $m = n$, er asymptoten $\displaystyle y = \frac{a_m}{b_n}$ — forholdet mellom de ledende koeffisientene. Hvis $m = n + 1$, finnes en skrå asymptote som du finner med polynomdivisjon. Og hvis $m > n + 1$, finnes verken horisontal eller skrå asymptote.

Vi tester på $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + x - 6}{x - 1}$. Nevneren er null i $x = 1$, og telleren er $1 + 1 - 6 = -4 \neq 0$ der, så $x = 1$ er en vertikal asymptote. Grenseverdiene bekrefter dramatikken: fra høyre går $f$ mot $\displaystyle \frac{-4}{0^+} = -\infty$, fra venstre mot $+\infty$. Graden i telleren er 2 og i nevneren 1 — nøyaktig én mer — så vi polynomdividerer: $\displaystyle \frac{x^2+x-6}{x-1} = x + 2 + \frac{-4}{x-1}$. Når $x \to \pm\infty$ forsvinner brøken, og den skrå asymptoten er $y = x + 2$.

Et annet eksempel: $\displaystyle f(x) = \frac{3x^2 - 1}{x^2 + 4}$. Her er nevneren $x^2 + 4$ alltid positiv — ingen vertikale asymptoter i det hele tatt. Gradene er like ($m = n = 2$), så vi deler teller og nevner på $x^2$: $\displaystyle \frac{3 - 1/x^2}{1 + 4/x^2} \to \frac{3}{1} = 3$. Horisontal asymptote $y = 3$ i begge retninger.

En vanlig misforståelse: kan grafen krysse en asymptote? En vertikal asymptote kan aldri krysses — funksjonen er ikke definert der. Men horisontale og skrå asymptoter kan grafen fint krysse for moderate $x$-verdier; asymptoten beskriver bare oppførselen når $|x|$ blir stor.

Kappløpet mot uendelig

Hva skjer når funksjoner av ulik type konkurrerer om å vokse raskest? Tenk deg et kappløp mot uendelig mellom logaritmen $\ln x$, potensen $x^a$ og eksponentialfunksjonen $e^x$. Resultatet er alltid det samme, og det er verdt å kunne utenat: veksthierarkiet sier at $\ln x \ll x^a \ll a^x \ll x!$ for store $x$. Logaritmen er treigest, potenser slår logaritmer, eksponentialfunksjoner slår alle potenser, og fakultetet slår alt.

Dette gir oss en liste grenseverdier som dukker opp igjen og igjen i drøftinger: $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^n} = 0$ for $n > 0$. $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{x^n} = \infty$ og $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$ — eksponentiell slår polynom. $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x^a} = 0$ for $a > 0$ — polynom slår logaritme. Og den litt overraskende $\lim_{x\to 0^+} x \ln x = 0$: når $x$ kryper mot null, går $\ln x$ riktignok mot $-\infty$, men $x$ går mot null raskere og vinner dragkampen.

Veksthierarkiet løser også asymptoteproblemer der gradregelen ikke gjelder. Se på $\displaystyle f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ — en slektning av de logistiske kurvene som beskriver markedsmetning. Nevneren $e^x + 1$ er alltid positiv, så ingen vertikale asymptoter finnes. Mot høyre deler vi teller og nevner på $e^x$: $\displaystyle f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \to \frac{1}{1+0} = 1$. Mot venstre går $e^x \to 0$, så $\displaystyle f(x) \to \frac{0}{0+1} = 0$. Funksjonen har altså to ulike horisontale asymptoter: $y = 0$ mot venstre og $y = 1$ mot høyre. Grafen klatrer fra null mot én — akkurat som markedsandelen til et produkt som sprer seg, men aldri når hundre prosent metning fra denne modellen alene.

Oppsummering: kartet over ytterkantene

Vi har tegnet kartet over hvordan funksjoner oppfører seg i ytterkantene. Tre typer asymptoter beskriver det: den vertikale $x = a$, der $f(x) \to \pm\infty$ ved et punkt utenfor definisjonsmengden; den horisontale $y = L$, der funksjonen flater ut mot en grenseverdi når $x \to \pm\infty$; og den skrå $y = ax + b$, som du avslører med polynomdivisjon.

For rasjonale funksjoner $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ er gradene nøkkelen: vertikale asymptoter ligger i nullpunktene til nevneren (der telleren ikke også er null). Er tellergraden mindre enn nevnergraden, er $y = 0$ asymptote; er gradene like, er asymptoten forholdet mellom de ledende koeffisientene; er tellergraden nøyaktig én større, finnes en skrå asymptote. Husk også at grafen aldri kan krysse en vertikal asymptote, men gjerne en horisontal eller skrå underveis.

For funksjoner med eksponential- og logaritmeuttrykk er veksthierarkiet $\ln x \ll x^a \ll e^x$ kompasset. Det gir grenseverdiene du bør kunne utenat: $\displaystyle \frac{x^n}{e^x} \to 0$, $\displaystyle \frac{\ln x}{x^a} \to 0$ og $x \ln x \to 0$ når $x \to 0^+$. Med disse i verktøykassen kunne vi vise at metningskurven $\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}$ klatrer fra asymptoten $y = 0$ til asymptoten $y = 1$ — et matematisk bilde på et marked som fylles opp. Asymptotene er altså mer enn streker på en skisse: de er modellens utsagn om hva som skjer på lang sikt og ved kritiske punkter.