4.8 Økonomisk optimering

Fabrikksjefens dilemma

Fabrikksjefen i en møbelbedrift står foran årets viktigste beslutning: hvor mange enheter skal produseres neste kvartal? Produserer hun for lite, går bedriften glipp av inntekter. Produserer hun for mye, spiser kostnadene opp gevinsten. Et sted imellom ligger det optimale nivået — og derivasjon finner det eksakt. Dette er økonomisk optimering, et av de viktigste bruksområdene for derivasjon i S1.

Først begrepene. La $x$ være antall produserte og solgte enheter. Inntektsfunksjonen er $I(x) = p(x) \cdot x$, der $p(x)$ er prisen per enhet. Kostnadsfunksjonen $K(x)$ er de totale kostnadene, og profittfunksjonen er differansen $P(x) = I(x) - K(x)$.

De deriverte av disse har egne navn — marginalstørrelsene. Marginalinntekten $I'(x)$ er inntektsøkningen ved å selge én ekstra enhet, marginalkostnaden $K'(x)$ er kostnadsøkningen ved å produsere én ekstra, og marginalprofitten er $P'(x) = I'(x) - K'(x)$.

Og her kommer kapittelets hovedresultat. Profitten er maksimal når

$$P'(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad I'(x) = K'(x)$$

— altså når marginalinntekt er lik marginalkostnad (ofte skrevet MR = MC). I tillegg må $P''(x) < 0$ for at punktet skal være et maksimum. Intuisjonen er enkel: så lenge én enhet til gir mer inntekt enn kostnad ($I' > K'$), lønner det seg å produsere mer. Optimalt stopper vi nøyaktig der de to er like — verken før eller etter.

To markeder, samme metode

Fast pris. Møbelfabrikken selger først til fast pris 80 kr per enhet, med kostnadene $K(x) = 0{,}002x^3 - 0{,}6x^2 + 70x + 500$. Inntekten er $I(x) = 80x$, og profitten

$$P(x) = 80x - K(x) = -0{,}002x^3 + 0{,}6x^2 + 10x - 500$$

Vi deriverer: $P'(x) = -0{,}006x^2 + 1{,}2x + 10 = 0$. Andregradsformelen gir $x \approx 208$ (den negative løsningen forkastes), og $P''(208) = -0{,}012 \cdot 208 + 1{,}2 \approx -1{,}3 < 0$ bekrefter maksimum. Profitten på toppen: $P(208) \approx 9\,557$ kr. Merk at med fast pris er $I'(x) = p$, så betingelsen MR = MC blir rett og slett $K'(x) = p$.

Monopol. Så lanserer bedriften et designprodukt der den selv setter prisen, men møter etterspørselen $p(x) = 200 - 0{,}5x$. Nå er inntekten

$$I(x) = p(x) \cdot x = 200x - 0{,}5x^2$$

Med kostnader $K(x) = 20x + 1000$ blir profitten $P(x) = -0{,}5x^2 + 180x - 1000$, og $P'(x) = -x + 180 = 0$ gir $x = 180$ med $P''(x) = -1 < 0$. Alternativt via MR = MC: $I'(x) = 200 - x$ og $K'(x) = 20$ gir $200 - x = 20$, altså $x = 180$ — samme svar, som det skal være.

Den optimale prisen blir $p(180) = 200 - 90 = 110$ kr, og profitten $P(180) = -16\,200 + 32\,400 - 1\,000 = 15\,200$ kr. Legg merke til forskjellen fra inntektsmaksimering i 4.3: her er det profitten, ikke inntekten, som maksimeres — og kostnadene flytter optimum.

Enhetskostnaden — billigst per stykk

Profitt er ikke det eneste som optimeres. Fabrikksjefen vil også vite ved hvilket volum produksjonen er billigst per enhet. Enhetskostnaden (gjennomsnittskostnaden) er

$$e(x) = \frac{K(x)}{x}$$

Vi minimerer den ved å derivere med brøkregelen: $\displaystyle e'(x) = \frac{K'(x) \cdot x - K(x)}{x^2} = 0$ krever $K'(x) \cdot x = K(x)$, altså

$$K'(x) = \frac{K(x)}{x} = e(x)$$

Enhetskostnaden er minst der marginalkostnaden er lik enhetskostnaden. Grafisk betyr det at $K'(x)$-kurven krysser $e(x)$-kurven nøyaktig i bunnpunktet til $e$. Intuisjonen: koster neste enhet mindre enn snittet, trekker den snittet ned; koster den mer, trekker den snittet opp — minimum er der den verken gjør fra eller til.

Et eksempel med $K(x) = 0{,}01x^3 - 1{,}2x^2 + 60x + 800$: enhetskostnaden er $\displaystyle e(x) = 0{,}01x^2 - 1{,}2x + 60 + \frac{800}{x}$, og $\displaystyle e'(x) = 0{,}02x - 1{,}2 - \frac{800}{x^2} = 0$ gir (med CAS) $x_0 \approx 76$. I det punktet er $K'(x_0) = e(x_0)$, slik teoremet lover.

Til slutt den praktiske fremgangsmåten for ethvert optimeringsproblem: (1) Sett opp $I(x)$ og $K(x)$ — husk $I(x) = p \cdot x$ ved fast pris og $I(x) = p(x) \cdot x$ ved monopol. (2) Form profittfunksjonen $P(x) = I(x) - K(x)$. (3) Deriver og løs $P'(x) = 0$. (4) Sjekk $P''(x) < 0$. (5) Beregn optimal profitt og tolk svaret — og kontroller at $x$ ligger i et fornuftig område: produksjon kan ikke være negativ, og kapasiteten setter tak.

Oppsummering: toppen av profittkurven

Fabrikksjefens dilemma fikk et presist svar. Profittfunksjonen $P(x) = I(x) - K(x)$ maksimeres der $P'(x) = 0$, som er det samme som at grenseinntekt er lik grensekostnad: $I'(x) = K'(x)$, eller MR = MC. Andrederiverttesten $P''(x) < 0$ bekrefter at punktet er en topp. Intuisjonen bærer hele kapittelet: produser så lenge neste enhet gir mer inntekt enn kostnad, og stopp der de er like.

Metoden tilpasser seg markedet. Ved fast pris er $I'(x) = p$, og betingelsen blir $K'(x) = p$ — slik fant fabrikken $x \approx 208$ og snaut 9 600 kr i profitt. Ved monopol setter bedriften prisen via etterspørselen, $I(x) = x \cdot p(x)$, og hele inntektsfunksjonen må deriveres — slik ga $p(x) = 200 - 0{,}5x$ optimum ved 180 enheter, pris 110 kr og 15 200 kr i profitt.

Enhetskostnaden $\displaystyle e(x) = \frac{K(x)}{x}$ har sitt eget vakre minimumskriterium: den er minst der $e(x) = K'(x)$ — der marginalkostnadskurven krysser snittkostnadskurven.

Dermed er sirkelen fra kapittel 4 sluttet: kostnader og inntekter (4.1–4.2), etterspørsel og elastisitet (4.3, 4.5), lønnsomhet (4.4) og markedet (4.7) munner alle ut i ett spørsmål derivasjonen besvarer — hvor er toppen?