3.3 Derivasjonsregler

Funksjoner med noe inni

Du har fått modellen $V(t) = e^{0{,}04t}$ for verdiutviklingen til en investering, og vil vite hvor raskt verdien vokser. Du kan regelen $(e^x)' = e^x$ -- men her står det ikke bare $x$ i eksponenten, det står $0{,}04t$. Hva gjør vi da?

Slike funksjoner kalles sammensatte funksjoner: en funksjon inni en annen funksjon. Eksempler er $f(x) = (2x + 3)^4$, der polynomet $2x + 3$ ligger inni en fjerdepotens, og $g(x) = e^{x^2}$, der $x^2$ ligger inni eksponentialfunksjonen. Tenk på det som en pakke med innhold: utsiden er én funksjon, innsiden -- kjernen -- er en annen.

For å derivere slike funksjoner trenger vi ett siste verktøy i derivasjonskassen: kjerneregelen (også kalt kjederegelen). Den er enkel å bruke når du først ser mønsteret, og den åpner døren til å derivere så godt som alle funksjoner du møter i S1.

Regelen: deriver utsiden, gang med innsidens deriverte

Kjerneregelen sier: Hvis $f(x) = g(u(x))$ er en sammensatt funksjon der $u(x)$ er den indre funksjonen (kjernen), så er

$$f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$$

Med ord: Derivér den ytre funksjonen -- med kjernen urørt -- og multipliser med den deriverte av kjernen. I Leibniz' notasjon ser regelen nesten ut som brøkregning: $\displaystyle \frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.

La oss prøve på $f(x) = (3x + 1)^5$. Kjernen er $u = 3x + 1$, og utsiden er femtepotensen, slik at $f = u^5$. Den ytre funksjonen derivert gir $5u^4$, og kjernen derivert gir $u' = 3$. Kjerneregelen setter det sammen:

$$f'(x) = 5(3x + 1)^4 \cdot 3 = 15(3x + 1)^4$$

Legg merke til faktoren 3 på slutten -- den er lett å glemme, og det er den vanligste feilen med kjerneregelen. Hadde vi bare skrevet $5(3x+1)^4$, ville svaret vært galt.

En god strategi i fire steg: identifiser den ytre funksjonen og kjernen, derivér den ytre funksjonen med kjernen uendret, multipliser med kjernens deriverte, og forenkle til slutt hvis det går.

Eksponential og logaritme med kjerne

Tilbake til investeringen fra innledningen -- og to av de viktigste tilfellene av kjerneregelen.

Først eksponentialfunksjoner. Vi deriverer $f(x) = e^{2x+1}$. Kjernen er $u = 2x + 1$, og utsiden er $e^u$. Siden $(e^u)' = e^u$ og $u' = 2$, gir kjerneregelen

$$f'(x) = e^{2x+1} \cdot 2 = 2e^{2x+1}$$

Mønsteret er alltid det samme: eksponentialfunksjonen kopierer seg selv, og kjernens deriverte kommer ut som faktor. Generelt er $\left(e^{u(x)}\right)' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$, og for et generelt grunntall $\left(a^{u(x)}\right)' = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$.

Så logaritmer. Vi deriverer $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. Kjernen er $u = x^2 + 1$, utsiden er $\ln(u)$ med derivert $\displaystyle \frac{1}{u}$, og $u' = 2x$. Dermed:

$$f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$$

Dette gir den hendige formelen $\displaystyle \left(\ln(u(x))\right)' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ -- kjernens deriverte delt på kjernen selv.

Og investeringen vår? $V(t) = e^{0{,}04t}$ har kjerne $u = 0{,}04t$ med $u' = 0{,}04$, så $V'(t) = 0{,}04 \, e^{0{,}04t}$. Verdien vokser i hvert øyeblikk med 4 % av sin egen størrelse -- akkurat det en rente på 4 % med kontinuerlig forrentning betyr.

Røtter, tabellen og strategien

Kvadratrøtter er forkledde potenser, og dermed perfekte kandidater for kjerneregelen. La oss derivere $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$. Først skriver vi om roten som en potens: $f(x) = (x^2 - 4x)^{1/2}$. Kjernen er $u = x^2 - 4x$ med $u' = 2x - 4$. Potensregelen på utsiden gir $\displaystyle \frac{1}{2}u^{-1/2}$, og kjerneregelen fullfører:

$$f'(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 4x)^{-1/2} \cdot (2x - 4) = \frac{2x - 4}{2\sqrt{x^2 - 4x}} = \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x}}$$

Når du har gjort dette noen ganger, kjenner du igjen mønstrene umiddelbart. Her er de fire vanligste tilfellene, samlet på ett sted:

Oppsummering

Sammensatte funksjoner er funksjoner inni andre funksjoner -- en pakke med utside og kjerne. Kjerneregelen forteller hvordan de deriveres:

$$\bigl(g(u(x))\bigr)' = g'(u(x)) \cdot u'(x)$$

Med ord: deriver det ytre, og gang med den deriverte av kjernen. De viktigste spesialtilfellene er $(u^n)' = nu^{n-1} \cdot u'$, $(e^u)' = e^u \cdot u'$, $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$ og $\displaystyle (\ln u)' = \frac{u'}{u}$, og for kvadratrøtter $\displaystyle (\sqrt{u}\,)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Vi brukte regelen på $(3x+1)^5$, $e^{2x+1}$, $\ln(x^2+1)$ og $\sqrt{x^2-4x}$ -- og på investeringsmodellen $e^{0{,}04t}$, der den avslørte at verdien vokser med 4 % av sin egen størrelse i hvert øyeblikk. Strategien er fast: finn kjernen, deriver utenfra og innover, og glem aldri faktoren $u'$.

Nå kan vi derivere så godt som alt. I de neste kapitlene snur vi på det: hva kan den deriverte fortelle oss om funksjonene -- og om virkeligheten de beskriver?