2.4 Logaritmefunksjoner

Hvor lenge må pengene stå?

Du har satt sparepenger i et fond og lurer på når beløpet er doblet. Veksten kjenner du fra forrige kapittel — men nå er spørsmålet snudd. Du vet hva verdien skal bli, og leter etter tiden. Den ukjente sitter fast oppe i eksponenten, og for å hente den ned trenger du eksponentialfunksjonens motstykke: logaritmen.

Logaritmen med grunntall $b$ av et tall $x > 0$ er definert slik:

$$\log_b(x) = y \quad \Leftrightarrow \quad b^y = x$$

der $b > 0$ og $b \neq 1$. Logaritmen svarer altså på spørsmålet: «Hvilken potens må jeg opphøye $b$ i for å få $x$?» Spør du $\log_2(8)$, spør du egentlig $2^? = 8$, og siden $8 = 2^3$ er svaret 3. På samme måte er $\log_3(81) = 4$ fordi $3^4 = 81$.

To logaritmer er så vanlige at de har egne navn. Tierlogaritmen $\lg(x) = \log_{10}(x)$ (Briggs' logaritme) bruker grunntall 10: $\lg(1000) = 3$ fordi $10^3 = 1000$. Den naturlige logaritmen $\ln(x) = \log_e(x)$ bruker Eulertallet $e$ som grunntall og er den du møter i kontinuerlig vekst.

Logaritmen og eksponentialfunksjonen opphever hverandre: $\lg(10^a) = a$ og $10^{\lg a} = a$. Det er nettopp den egenskapen som lar oss «pakke ut» en ukjent fra eksponenten — og dermed svare på spørsmål som «hvor mange år tar doblingen?», «når er medisinmengden halvert?» og «hvor surt er dette stoffet?».

Regnereglene som temmer store tall

Logaritmer følger tre regneregler som gjør dem til kraftige verktøy. For $a, b > 0$, $a \neq 1$ og $x, y > 0$ gjelder:

Produktregelen: $\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)$ — logaritmen gjør ganging om til pluss.

Kvotientregelen: $\displaystyle \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$ — deling blir minus.

Potensregelen: $\log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x)$ — eksponenter hopper ned og blir faktorer.

I tillegg er $\log_a(1) = 0$ (fordi $a^0 = 1$) og $\log_a(a) = 1$ (fordi $a^1 = a$).

Se reglene i aksjon: $\log_2(8) + \log_2(4) = \log_2(32) = \log_2(2^5) = 5$. Og $\displaystyle \lg(100) - \lg(10) = \lg\left(\frac{100}{10}\right) = \lg(10) = 1$. Potensregelen gir $\log_3(9^5) = 5 \cdot \log_3(9) = 5 \cdot 2 = 10$.

Grafisk er logaritmefunksjonen $f(x) = \log_b(x)$ den inverse av $g(x) = b^x$. Den er bare definert for $x > 0$, har verdimengde alle reelle tall, skjærer $x$-aksen i $(1, 0)$ og har $x = 0$ som vertikal asymptote. For $b > 1$ stiger den — men langsommere og langsommere, som en motbakke som aldri tar slutt men stadig blir slakere.

Trenger du en logaritme kalkulatoren ikke har, redder grunntallsskiftet deg:

$$\log_a(x) = \frac{\lg(x)}{\lg(a)} = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$$

Dermed holder det at kalkulatoren kan $\lg$ og $\ln$ — alle andre logaritmer kan bygges av dem.

Eksponentiallikninger — å hente $x$ ned fra eksponenten

Nå kan vi løse spareproblemet. En eksponentiallikning har den ukjente i eksponenten, for eksempel $5^x = 200$. Strategien er alltid den samme: ta logaritmen på begge sider og bruk potensregelen til å hente $x$ ned.

$$\lg(5^x) = \lg(200)$$
$$x \cdot \lg(5) = \lg(200)$$
$$x = \frac{\lg(200)}{\lg(5)} = \frac{2{,}301}{0{,}699} \approx 3{,}29$$

En rask kontroll bekrefter: $5^{3{,}29} \approx 200$. Generelt gir $a^x = c$ løsningen $\displaystyle x = \frac{\lg c}{\lg a}$.

For sparepengene dine med for eksempel 10 % årlig avkastning blir spørsmålet $1{,}1^x \geq 2$. Logaritmen gir $\displaystyle x \geq \frac{\lg 2}{\lg 1{,}1} \approx 7{,}27$ — beløpet er doblet i løpet av det åttende året. Den generelle doblingstiden for en modell $N(t) = N_0 \cdot b^t$ er

$$T_d = \frac{\lg(2)}{\lg(b)} = \frac{\ln(2)}{\ln(b)}$$

Logaritmer brukes også til å bygge skalaer for størrelser som spenner over mange tierpotenser. pH-skalaen i kjemi er definert som $-\lg[\text{H}^+]$: en konsentrasjon på $10^{-4}$ gir pH 4. Desibelskalaen for lyd og Richterskalaen for jordskjelv fungerer på samme vis — ett trinn på skalaen betyr ti ganger så mye av fenomenet. Og i kapittel 7 skal du bruke logaritmer til å linearisere eksponentielle datasett, slik at en krum kurve blir en rett linje du kan kjøre regresjon på. Logaritmen er med andre ord ikke et kuriosum, men et arbeidsverktøy du kommer til å bruke resten av kurset.

Oppsummering: nøkkelen til eksponenten

Spørsmålet «når er sparepengene doblet?» lot seg ikke besvare med vanlig algebra — den ukjente satt i eksponenten. Logaritmen var nøkkelen: $\log_b(x) = y$ betyr nøyaktig at $b^y = x$, og spesielt er $\lg x = a \Leftrightarrow 10^a = x$. Tierlogaritmen $\lg$ og den naturlige logaritmen $\ln$ er de to du bruker i praksis, og logaritme og tierpotens opphever hverandre: $\lg(10^a) = a$ og $10^{\lg a} = a$.

Regnereglene gjør logaritmen til et regneverktøy: $\lg(ab) = \lg a + \lg b$, $\displaystyle \lg\frac{a}{b} = \lg a - \lg b$ og $\lg(a^k) = k \lg a$. Den siste er arbeidshesten i eksponentiallikninger: ta logaritmen på begge sider, hent eksponenten ned, og $a^x = c$ gir $\displaystyle x = \frac{\lg c}{\lg a}$. Doblingstid, halveringstid og «når passerer modellen grensen?» er alle varianter av samme grep.

Logaritmefunksjonen $f(x) = \lg x$ er den omvendte av $10^x$: definert bare for $x > 0$, stigende men stadig slakere, med skjæringspunkt $(1, 0)$ og vertikal asymptote $x = 0$. Og i den virkelige verden møter du logaritmen i pH, desibel og Richters skala — overalt der naturen spenner over mange tierpotenser.

Med eksponentialfunksjonen og logaritmen som par er du rustet for neste kapittel, der nettopp slike funksjonspar — funksjoner som angrer hverandre — får et eget navn: omvendte funksjoner.