6.5 Modellering med reelle data

La $x$ være antall år etter 2010. Da har vi datapunktene:
$(0, 45.2), (2, 47.1), (4, 49.3), (6, 51.0), (8, 53.2), (10, 55.1)$

Ved a bruke GeoGebra/kalkulator får vi:
$$y = 0.99x + 45.2$$

b) Estimat for 2025

For 2025 er $x = 15$:
$$y = 0.99 \cdot 15 + 45.2 = 14.85 + 45.2 = 60.05$$

Befolkningen i 2025 anslaps til ca. 60 000.

Merk: Dette er en ekstrapolasjon (utenfor maleomradet), så anslaget er usikkert.

Ved a bruke eksponentiell regresjon i GeoGebra får vi:
$$N = 1000 \cdot e^{0.2t}$$

eller tilsvarende $N = 1000 \cdot 1.221^t$

b) Doblingstid

Doblingstiden finnes ved $e^{kt_{1/2}} = 2$:
$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} = \frac{\ln 2}{0.2} \approx 3.47 \text{ timer}$$

c) Antall etter 12 timer

$$N(12) = 1000 \cdot e^{0.2 \cdot 12} = 1000 \cdot e^{2.4} \approx 11\,023$$

Etter 12 timer er det ca. 11 000 bakterier.

Bevegelse under tyngdekraften følger: $\displaystyle h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$

Dette er en andregradsfunksjon med negativt ledende koeffisient.

b) Regresjonsmodell

Ved andregradstilpasning i GeoGebra:
$$h(t) = -4.9t^2 + 9.8t + 1.5$$

c) Maksimal høyde

Toppunktet finnes der $h'(t) = 0$:
$$h'(t) = -9.8t + 9.8 = 0$$
$$t = 1 \text{ sekund}$$

Maksimal høyde:
$$h(1) = -4.9 \cdot 1^2 + 9.8 \cdot 1 + 1.5 = 6.4 \text{ m}$$

Ballen nar maksimal høyde 6.4 m etter 1 sekund.

La $x$ være antall år etter 1960.

Lineær: $y = 1.58x + 314.6$ ($R^2 = 0.987$)

Andregrads: $y = 0.012x^2 + 0.87x + 316.8$ ($R^2 = 0.999$)

b) Beste modell

Andregradstilpasningen har hoyere $R^2$ og fanger opp at veksten akselererer. Den er fysisk rimelig fordi utslippene har okt over tid.

c) Estimat for 2030

For $x = 70$ (ar 2030):

Lineær: $y = 1.58 \cdot 70 + 314.6 = 425$ ppm

Andregrads: $y = 0.012 \cdot 70^2 + 0.87 \cdot 70 + 316.8 = 436$ ppm

Andregradmodellen forutsier ca. 436 ppm i 2030.

$T(40) = -2.1 \cdot 40 + 78 = -6^\circ$C

b) Problemet

Modellen forutsier negativ temperatur, noe som er fysisk umulig for en kopp kaffe i romtemperatur!

Forklaring:

Avkjoling av kaffe følger Newtons avkjolingslov:
$$T(t) = T_{rom} + (T_0 - T_{rom}) \cdot e^{-kt}$$

Temperaturen nærmer seg romtemperaturen asymptotisk. Den lineære modellen er bare god for kort tid.

Dette illustrerer faren ved ekstrapolasjon langt utenfor maleomradet.

La $x$ være antall år etter 1980:
$$A = -0.095x + 7.6$$

($R^2 \approx 0.93$, god tilpasning)

b) Isfritt Arktis

Setter $A = 0$:
$$0 = -0.095x + 7.6$$
$$x = 80$$

Dette tilsvarer aret $1980 + 80 = 2060$.

Viktig forbehold: Dette er en grov ekstrapolasjon. Klimasystemer er komplekse, og modellen tar ikke hensyn til tilbakekoblingsmekanismer eller tiltak mot klimaendringer.

Lineær modell: Ville forutsi over 100% etter hvert, noe som er umulig.

Eksponentiell modell: Veksten avtar nar markedet mettes. Eksponentiell vekst passer bare i begynnelsen.

b) Bedre modell: Logistisk vekst

En logistisk funksjon passer:
$$y = \frac{L}{1 + e^{-k(x-x_0)}}$$

der $L = 100$ (maksimalt 100%).

Ved logistisk regresjon får vi omtrent:
$$y = \frac{100}{1 + e^{-0.4(x-11)}}$$

der $x$ er antall år etter 2000.

Logistisk vekst kjennetegnes av:
- Sakte start
- Rask vekst i midtfasen
- Avtagende vekst nar metning nærmer seg

La $x$ være antall år etter 2000.

Lineær tilpasning: $BNP = 29x + 2480$

Eksponentiell tilpasning: $BNP = 2450 \cdot e^{0.011x}$

Begge gir $R^2 \approx 0.85$, men ingen fanger fallet i 2020.

b) Gjennomsnittlig vekstrate

Fra eksponentiell modell: ca. 1.1% per ar

Eller direkte: $\displaystyle \left(\frac{3050}{2450}\right)^{1/20} - 1 \approx 1.1\%$

c) Diskusjon av 2020

BNP falt i 2020 på grunn av koronapandemien. Dette er et eksempel på en ekstern sjokk som modellen ikke kan forutsi. Maledata fra kriseperioder bor behandles forsiktig i modellering.

Teorien sier at vindkraft følger:
$$P = \frac{1}{2}\rho A v^3 \cdot C_p$$

der $v$ er vindhastigheten. Vi forventer altsa $P \propto v^3$.

b) Test med regresjon

Vi bruker potensregresjon $P = av^b$ eller tilpasser $\ln P = \ln a + b \cdot \ln v$.

Ved regresjon får vi:
$$P = 0.55 v^{3.02}$$

Eksponenten $b \approx 3$ bekrefter teorien!

Konklusjon: Dataene stemmer godt med den teoretiske kubiske sammenhengen mellom vindhastighet og effekt.

1. Datakilde
Data fra SSB for befolkning i perioden 2010-2020.

2. Modellvalg
Lineær modell valgt fordi dataene viser jevn vekst uten akselerasjon.

3. Modell
$$B(t) = 0.99t + 45.2$$
der $t$ er antall år etter 2010 og $B$ er befolkning i tusen.

4. Tilpasning
$R^2 = 0.999$, noe som indikerer svært god tilpasning.

5. Residualanalyse
Residualene viser ingen systematisk monster og er alle under 0.15 (tusen).

6. Gyldighetsomrade
Modellen er gyldig for interpolasjon i perioden 2010-2020. Ekstrapolasjon utover 5-10 år er usikker.

7. Konklusjon
Befolkningen vokser med ca. 1000 personer per ar. Modellen kan brukes til kortsiktige prognoser.

Ved a plotte dataene og beregne, finner vi:
$r \approx 0.99$ (svært sterk positiv korrelasjon)

b) Kausalitet?

Nei! Dette er et klassisk eksempel på spurios korrelasjon.

Begge variablene pavirkes av en tredje faktor: varmt vaer.
- Nar det er varmt, spiser folk mer iskrem
- Nar det er varmt, bader flere mennesker, og dermed skjer flere drukningsulykker

Konklusjon: Korrelasjon innebærer ikke kausalitet. Selv en perfekt matematisk sammenheng betyr ikke at den ene variabelen forarsaker den andre.

Total vannmengde er integralet av vannføringen over ett år (12 måneder):

$$V = \int_0^{12} Q(t) \, dt = \int_0^{12} \left(25 + 18\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right) dt$$

$$V = \left[25t - 18 \cdot \frac{6}{\pi}\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right]_0^{12}$$

$$V = \left(25 \cdot 12 - \frac{108}{\pi}\cos(2\pi)\right) - \left(0 - \frac{108}{\pi}\cos(0)\right)$$

$$V = 300 - \frac{108}{\pi} + \frac{108}{\pi} = 300 \text{ (i enheter maned} \cdot m^3/s\text{)}$$

For a fa $m^3$: $V = 300 \cdot 30 \cdot 24 \cdot 3600 \approx 7.8 \cdot 10^8 \, m^3$

Konklusjon: Ca. 780 millioner kubikkmeter vann renner forbi i løpet av aret.

La $u = 1 + 9e^{-0.1t}$. Da er $P = 100u^{-1}$.

$$P'(t) = -100u^{-2} \cdot u' = -100 \cdot \frac{9 \cdot (-0.1)e^{-0.1t}}{(1 + 9e^{-0.1t})^2}$$

$$P'(t) = \frac{90e^{-0.1t}}{(1 + 9e^{-0.1t})^2}$$

Tolkning: $P'(t)$ er vekstraten (antall tusen nye innbyggere per ar).

b) Maksimal vekst

For logistisk vekst er veksten maksimal nar $\displaystyle P = \frac{L}{2}$, alts $P = 50$.

$$50 = \frac{100}{1 + 9e^{-0.1t}}$$
$$1 + 9e^{-0.1t} = 2$$
$$e^{-0.1t} = \frac{1}{9}$$
$$t = \frac{\ln 9}{0.1} \approx 22$$

Befolkningsveksten er størst rundt år 2022.