6.5 Modellering med reelle data

Lineær regresjon i GeoGebra (RegLin) gir $y = 0{,}993x + 45{,}19$, altså
$$y \approx 0{,}99x + 45{,}2$$

b) For 2025 er $x = 15$:
$$y = 0{,}99 \cdot 15 + 45{,}2 = 14{,}85 + 45{,}2 = 60{,}05$$

Dette er en ekstrapolasjon (utenfor måleområdet), så anslaget er usikkert.

Svar: a) $y = 0{,}99x + 45{,}2$ b) Befolkningen i 2025 anslås til ca. 60 000.

Siden $e^{0{,}1958} \approx 1{,}216$, kan modellen også skrives $N = 1000 \cdot 1{,}216^t$.

b) Doblingstiden finnes ved $e^{kt} = 2$:
$$t = \frac{\ln 2}{k} = \frac{\ln 2}{0{,}196} \approx 3{,}54 \text{ timer}$$

c)
$$N(12) = 1000 \cdot e^{0{,}196 \cdot 12} = 1000 \cdot e^{2{,}352} \approx 10\,500$$

Svar: a) $N = 1000 \cdot e^{0{,}196t}$ b) Doblingstiden er ca. 3,5 timer. c) Etter 12 timer er det ca. 10 500 bakterier.

Dette er en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd.

b) Andregradsregresjon i GeoGebra (RegPoly(A1:B6, 2)) gir
$$h(t) = -4{,}0t^2 + 11{,}6t + 1{,}5$$
med $R^2 = 1$: alle målepunktene ligger på parabelen.

c) Toppunktet finnes der $h'(t) = 0$:
$$h'(t) = -8{,}0t + 11{,}6 = 0$$
$$t = 1{,}45 \text{ s}$$
$$h(1{,}45) = -4{,}0 \cdot 1{,}45^2 + 11{,}6 \cdot 1{,}45 + 1{,}5 \approx 9{,}9 \text{ m}$$

Svar: a) Høyden under fritt fall er en andregradsfunksjon av tiden. b) $h(t) = -4{,}0t^2 + 11{,}6t + 1{,}5$ c) Ballen når maksimal høyde ca. 9,9 m etter 1,45 s.

Lineær (RegLin): $y = 1{,}607x + 310{,}4$ ($R^2 = 0{,}979$)

Andregrads (RegPoly(A1:B7, 2)): $y = 0{,}0133x^2 + 0{,}807x + 317{,}0$ ($R^2 = 0{,}9997$)

b) Andregradstilpasningen har høyere $R^2$ og fanger opp at veksten akselererer. Den er fysisk rimelig fordi utslippene har økt over tid.

c) For $x = 70$ (år 2030):

Lineær: $y = 1{,}607 \cdot 70 + 310{,}4 \approx 423$ ppm

Andregrads: $y = 0{,}0133 \cdot 70^2 + 0{,}807 \cdot 70 + 317{,}0 \approx 439$ ppm

Svar: a) $y = 1{,}607x + 310{,}4$ og $y = 0{,}0133x^2 + 0{,}807x + 317{,}0$ b) Andregradsmodellen passer best. c) Andregradsmodellen gir ca. 439 ppm i 2030 (den lineære ca. 423 ppm).

b) Modellen gir negativ temperatur. Det er umulig for en kopp kaffe som står i romtemperatur.

Avkjøling av kaffe følger Newtons avkjølingslov:
$$T(t) = T_{rom} + (T_0 - T_{rom}) \cdot e^{-kt}$$

Temperaturen nærmer seg romtemperaturen og kommer aldri under den. Den lineære modellen er bare god for kort tid.

Dette illustrerer faren ved ekstrapolasjon langt utenfor måleområdet.

Svar: a) $-6\,^\circ$C b) Spådommen er fysisk umulig: kaffen kan ikke bli kaldere enn rommet. Den lineære modellen gjelder bare innenfor måleområdet.

b) Setter $A = 0$:
$$0 = -0{,}0891x + 7{,}65$$
$$x \approx 85{,}9$$

Dette tilsvarer året $1980 + 86 = 2066$.

Dette er en grov ekstrapolasjon. Klimasystemer er komplekse, og modellen tar ikke hensyn til tilbakekoblingsmekanismer eller tiltak mot klimaendringer.

Svar: a) $A = -0{,}0891x + 7{,}65$ b) Modellen gir isfritt Arktis rundt 2066.

Lineær modell: Ville forutsi over 100 % etter hvert, noe som er umulig.

Eksponentiell modell: Veksten avtar når markedet mettes. Eksponentiell vekst passer bare i begynnelsen.

b) Bedre modell: Logistisk vekst

En logistisk funksjon flater ut mot en øvre grense:
$$y = \frac{L}{1 + b \cdot e^{-kx}}$$

La $x$ være antall år etter 2000. Logistisk regresjon i GeoGebra (RegLogist) gir
$$y = \frac{95{,}3}{1 + 333 \cdot e^{-0{,}507x}}$$
($R^2 = 0{,}998$)

Den øvre grensen er ca. 95 %. Modellen gir 31, 54, 75, 87, 92 og 94 % for årene i tabellen.

Logistisk vekst kjennetegnes av:
- Sakte start
- Rask vekst i midtfasen
- Avtagende vekst når metning nærmer seg

Svar: a) En lineær modell passerer 100 %, og en eksponentiell modell vokser stadig raskere, mens dataene flater ut. b) En logistisk modell, for eksempel $y = \dfrac{95{,}3}{1 + 333 \cdot e^{-0{,}507x}}$.

Lineær tilpasning (RegLin): $BNP = 31x + 2540$ ($R^2 = 0{,}874$)

Eksponentiell tilpasning (RegEksp): $BNP = 2540 \cdot e^{0{,}0112x}$ ($R^2 = 0{,}851$)

Ingen av modellene fanger opp fallet i 2020.

b) Fra den eksponentielle modellen: $e^{0{,}0112} - 1 \approx 0{,}011$, altså ca. 1,1 % per år.

Direkte fra første og siste måling:
$$\left(\frac{3050}{2450}\right)^{1/20} - 1 \approx 0{,}011 = 1{,}1\,\%$$

c) BNP falt i 2020 på grunn av koronapandemien. Dette er et eksempel på et eksternt sjokk som modellen ikke kan forutsi. Måledata fra kriseperioder bør behandles forsiktig i modellering.

Svar: a) $BNP = 31x + 2540$ (eller $2540 \cdot e^{0{,}0112x}$) b) ca. 1,1 % per år c) Koronapandemien, et ytre sjokk som ingen av modellene fanger opp.

Teorien sier at vindkraft følger:
$$P = \frac{1}{2}\rho A v^3 \cdot C_p$$

der $v$ er vindhastigheten. Vi forventer altså $P \propto v^3$.

b) Test med regresjon

Vi bruker potensregresjon $P = av^b$ eller tilpasser $\ln P = \ln a + b \cdot \ln v$.

Potensregresjon i GeoGebra (RegPot) gir
$$P = 0{,}568 \cdot v^{2{,}986} \approx 0{,}57 \cdot v^{2{,}99}$$

Eksponenten $b \approx 3$ bekrefter teorien.

Svar: a) Vi forventer $P \propto v^3$. b) Regresjonen gir $P \approx 0{,}57 \cdot v^{2{,}99}$, så dataene stemmer godt med at effekten er proporsjonal med $v^3$.

Data
Befolkningstall (i tusen) for byen i perioden 2010–2020, fra Eksempel 1.

Modellvalg
Lineær modell, fordi dataene viser jevn vekst uten akselerasjon.

Modell
$$B(t) = 0{,}99t + 45{,}2$$
der $t$ er antall år etter 2010 og $B$ er befolkningen i tusen.

Tilpasning
$R^2 = 0{,}999$, svært god tilpasning.

Residualanalyse
Residualene viser ikke noe systematisk mønster og er alle under 0,15 (tusen).

Gyldighetsområde
Modellen er gyldig for interpolasjon i perioden 2010–2020. Ekstrapolasjon mer enn 5–10 år fram er usikker.

Konklusjon
Befolkningen vokser med ca. 1000 personer per år. Modellen kan brukes til kortsiktige prognoser.

Svar: Rapporten over: lineær modell $B(t) = 0{,}99t + 45{,}2$ med $R^2 = 0{,}999$ og små residualer uten mønster, gyldig for 2010–2020 og bare for korte prognoser utenfor perioden.

KorrelasjonsKoeffisient(A1:B5) i GeoGebra gir
$r \approx 0{,}997$ (svært sterk positiv korrelasjon)

b) Kausalitet?

Nei! Dette er et klassisk eksempel på spuriøs korrelasjon.

Begge variablene påvirkes av en tredje faktor: varmt vær.
- Når det er varmt, spiser folk mer iskrem
- Når det er varmt, bader flere mennesker, og dermed skjer flere drukningsulykker

Korrelasjon innebærer ikke kausalitet. Selv en perfekt matematisk sammenheng betyr ikke at den ene variabelen forårsaker den andre.

Svar: a) $r \approx 0{,}997$ b) Nei. Begge variablene styres av en tredje faktor, varmt vær.

Total vannmengde er integralet av vannføringen over ett år (12 måneder):

$$V = \int_0^{12} Q(t) \, dt = \int_0^{12} \left(25 + 18\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right) dt$$

$$V = \left[25t - 18 \cdot \frac{6}{\pi}\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right]_0^{12}$$

$$V = \left(25 \cdot 12 - \frac{108}{\pi}\cos(2\pi)\right) - \left(0 - \frac{108}{\pi}\cos(0)\right)$$

$$V = 300 - \frac{108}{\pi} + \frac{108}{\pi} = 300 \text{ måneder} \cdot \text{m}^3/\text{s}$$

For å få $m^3$: $V = 300 \cdot 30 \cdot 24 \cdot 3600 \approx 7{,}8 \cdot 10^8 \, m^3$

Svar: Ca. 780 millioner kubikkmeter vann renner forbi i løpet av året.

La $u = 1 + 9e^{-0{,}1t}$. Da er $P = 100u^{-1}$.

$$P'(t) = -100u^{-2} \cdot u' = -100 \cdot \frac{9 \cdot (-0{,}1)e^{-0{,}1t}}{(1 + 9e^{-0{,}1t})^2}$$

$$P'(t) = \frac{90e^{-0{,}1t}}{(1 + 9e^{-0{,}1t})^2}$$

Tolkning: $P'(t)$ er vekstraten (antall tusen nye innbyggere per år).

b) Maksimal vekst

For logistisk vekst er veksten maksimal når $\displaystyle P = \frac{L}{2}$, altså $P = 50$.

$$50 = \frac{100}{1 + 9e^{-0{,}1t}}$$
$$1 + 9e^{-0{,}1t} = 2$$
$$e^{-0{,}1t} = \frac{1}{9}$$
$$t = \frac{\ln 9}{0{,}1} \approx 22$$

Svar: a) $P'(t) = \dfrac{90e^{-0{,}1t}}{(1 + 9e^{-0{,}1t})^2}$, vekstfarten i tusen innbyggere per år. b) Befolkningsveksten er størst rundt år 2022.