6.4 Matematisk modellering

Modellbyggerens verksted

Tenk deg at du driver et lite konsulentkontor for matematiske modeller, og at klientene står i kø utenfor døra. Et taxiselskap vil ha en prisformel. En mikrobiolog lurer på når bakteriekulturen passerer millionen. Havnekontoret må vite når en dyptgående båt kan seile inn. En arkeolog har et fossilt bein og et spørsmål: hvor gammelt? Fire vidt forskjellige problemer — men jobben din er den samme hver gang: finn en matematisk modell, en forenklet representasjon av virkeligheten uttrykt som en funksjon.

Ordet forenklet er ikke en svakhet, det er selve poenget. Virkeligheten er uoverskuelig; modellen beholder det som betyr noe og kaster resten. Og arbeidet følger alltid den samme prosessen i fem steg: identifiser problemet (hvilke variabler, hvilke sammenhenger?), velg modelltype (hvilken funksjonsfamilie passer måten ting endrer seg på?), bestem parametrene (bruk data til å finne konstantene), valider (gir modellen fornuftige svar mot kjente data?) og tolk og anvend — med et våkent øye for begrensningene.

Det springende punktet er steg to. Verkstedet ditt har seks hovedverktøy i hylla: den lineære modellen, polynomene, potensmodellen, den eksponentielle, den trigonometriske og den logistiske. Hver av dem har et kjennemerke — en bestemt måte å endre seg på — og kunsten du skal lære i dette kapittelet, er å gjenkjenne kjennemerket i klientens problem. Velger du riktig funksjon, løser resten seg nesten selv. Velger du feil, kan modellen forutsi at kaffen blir kaldere enn isvann. Vi tar imot klientene én familie om gangen.

Jevn endring og kvadratiske lover: lineær, polynom, potens

Første klient: taxiselskapet. Prisen består av et startgebyr på $50$ kr pluss $15$ kr per kilometer — en fast del og en del som vokser jevnt. Det er den lineære modellens kjennemerke: konstant endringsrate. Modellen $K(x) = 50 + 15x$ gir $K(8) = 170$ kr for en åttekilometerstur, og spørsmålet «hvor langt for $200$ kr?» løses baklengs: $15x = 150$, ti kilometer. Konstant fart, fast timepris, jevn vekst — alt sammen lineært.

Men ikke alt endrer seg jevnt. En ball kastet rett opp med $20$ m/s følger $h(t) = 20t - 4{,}9t^2$ — et andregradspolynom, fysikkens egen signatur for konstant akselerasjon. Derivasjon finner toppen: $h'(t) = 20 - 9{,}8t = 0$ gir $t \approx 2{,}04$ s og maksimalhøyde $\approx 20{,}4$ m, og landingen ved $h(t) = 0$ kommer ved $t \approx 4{,}08$ s. Polynomer er også verkstedets universaltang for buktende sammenhenger med topper og bunner.

Tredje klient, trafikksikkerhetskontoret, illustrerer potensmodellen $f(x) = ax^n$: bremselengden er proporsjonal med kvadratet av farten, $s(v) = kv^2$. Ett datapunkt kalibrerer: $12$ m ved $50$ km/t gir $\displaystyle k = \frac{12}{2500} = 0{,}0048$. Så leverer modellen: ved $80$ km/t er bremselengden $0{,}0048 \cdot 6400 \approx 31$ m — over dobbelt så lang, for $60\%$ høyere fart. Potenslover styrer geometri (areal $\sim r^2$, volum $\sim r^3$) og fysikk; selv himmelmekanikken: Keplers tredje lov $T^2 \propto r^3$ gir $T = r^{3/2}$ med jordens data som kalibrering, og Mars med $r = 1{,}52$ AU får omløpstid $1{,}52^{3/2} \approx 1{,}87$ år — fasit fra astronomene: $1{,}88$. Modellen treffer.

Prosentvis endring: eksponentiell og logistisk

Mikrobiologen kommer inn med en kultur som dobler seg hver tredje time. Dobling er ikke jevn vekst — det er prosentvis vekst, samme faktor per tidsenhet, og det er den eksponentielle modellens kjennemerke: $f(t) = a \cdot b^t$, eller på $e$-form $a \cdot e^{kt}$. Kjennetegnet i analysens språk: $f'(t) = k \cdot f(t)$ — veksten er proporsjonal med bestanden selv. Med $1000$ bakterier ved start blir modellen $N(t) = 1000 \cdot 2^{t/3}$, som etter et halvt døgn gir $1000 \cdot 2^4 = 16\,000$, og millionspørsmålet løses med logaritmer: $2^{t/3} = 1000$ gir $t = 3\log_2 1000 \approx 30$ timer.

Samme matematikk baklengs daterer arkeologens bein. Karbon-14 halveres hvert $5730$. år, og beinet har $25\%$ igjen — det er $\displaystyle \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$, altså nøyaktig to halveringstider: $11\,460$ år.

Eksponentiell tilnærming mot en likevekt møter du i Newtons avkjølingslov $T(t) = T_\infty + (T_0 - T_\infty)e^{-kt}$: kaffen på $90°$C i et rom på $20°$C følger $T(t) = 20 + 70e^{-kt}$, og målingen $T(10) = 70$ kalibrerer $k \approx 0{,}034$. Modellen melder $45{,}5°$C etter en halvtime — og temperaturen kryper asymptotisk mot romtemperaturen, aldri under.

Men her må modellbyggeren være ærlig: ekte eksponentiell vekst er alltid midlertidig. Bakteriene går tom for næring; ingenting dobler seg evig. Da trengs hyllas sjette verktøy, den logistiske modellen $\displaystyle f(t) = \frac{K}{1 + Ce^{-rt}}$, der veksten starter eksponentielt, men flater ut mot bæreevnen $K$. Epidemimodellen $\displaystyle I(t) = \frac{50\,000}{1 + 999e^{-0{,}3t}}$ viser forløpet: $50$ smittede ved start, rask vekst i midtfasen, og halve byen nådd etter $\displaystyle t = \frac{\ln 999}{0{,}3} \approx 23$ dager — på vei mot metning, ikke uendelighet.

Det som svinger: trigonometriske modeller

Havnekontoret og meteorologen har samme matematiske problem: fenomener som går i ring. Temperaturen gjennom året, tidevannet gjennom døgnet, vekselstrøm, gangen i en svingende fjær — alt periodisk hører hjemme i den trigonometriske modellen

$$f(t) = A\sin(\omega t + \varphi) + D$$

De fire parametrene leses nesten rett ut av virkeligheten. Midtlinjen $D$ er gjennomsnittet av maksimum og minimum; amplituden $A$ er halve avstanden mellom dem; $\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{T}$ kodes av perioden $T$; og faseforskyvningen $\varphi$ skyver kurven sideveis så toppene treffer riktig tidspunkt.

Byen med januarkulde på $-5°$C og julivarme på $+15°$C får dermed $\displaystyle D = \frac{-5 + 15}{2} = 5$, $\displaystyle A = \frac{15 - (-5)}{2} = 10$, og med periode $12$ måneder $\displaystyle \omega = \frac{\pi}{6}$. Minimum i januar ($t = 1$) bestemmer fasen: $\displaystyle \frac{\pi}{6} + \varphi = -\frac{\pi}{2}$ gir $\displaystyle \varphi = -\frac{2\pi}{3}$, og modellen $\displaystyle T(t) = 10\sin\left(\frac{\pi t}{6} - \frac{2\pi}{3}\right) + 5$ melder $5°$C i april — midt mellom ytterpunktene, som seg hør og bør om våren.

Havnekontorets tidevann svinger mellom $0{,}5$ og $3{,}5$ m med periode $12{,}4$ timer og høyvann kl. 03: $h(t) = 1{,}5\cos(0{,}507(t - 3)) + 2$. Nå kan kontoret svare på alt: lavvann en halv periode etter høyvann, ca. kl. 09:12, og båten som trenger $2$ m dybde — altså $h(t) \geq 2$, som betyr $\cos \geq 0$ — kan seile inn fra midnatt til ca. kl. 06.

Og noen klienter trenger flere verktøy samtidig. CO$_2$-målingene fra Mauna Loa viser både jevn stigning og årstidssvingning — modellen blir en sum: en trend pluss et cosinusledd, $\displaystyle C(t) = 317 + 1{,}62t + 3\cos(2\pi(t - \frac{1}{3}))$. Virkeligheten bryr seg ikke om kapittelinndelinger; gode modeller kombinerer.

Den ærlige modellbyggeren: validering og begrensninger

Modellen er valgt og parametrene bestemt — fra data, slik biologen gjorde det: plantetellinger ga $N_0 = 100$ ved start, og punktet $(4, 320)$ kalibrerte vekstraten via $e^{4k} = 3{,}2$, altså $k \approx 0{,}29$. Men er modellen god? Det er femte steg, og det skiller håndverkeren fra amatøren.

Validering betyr å konfrontere modellen med virkeligheten. Beregn modellverdier for kjente datapunkter og se på avvikene — residualene. Biologens modell melder $N(6) \approx 570$ mot målt $580$: godkjent. Tegn gjerne modell og data i samme diagram og se etter systematiske avvik — tilfeldig spredning er greit, et mønster i feilene er et varsku. Tallfest gjerne kvaliteten med $R^2$, andelen av variasjonen modellen forklarer: en lineær modell med $R^2 = 0{,}96$ forklarer $96\%$ av variasjonen i dataene. Og sjekk grenseverdiene: gir modellen mening når $x \to 0$ og $x \to \infty$?

Like viktig er det å kjenne begrensningene. Hver modell har et gyldighetsområde — og synden over alle synder er ukritisk ekstrapolering, å bruke modellen langt utenfor dataene den ble bygget på. Bakteriemodellen $N(t) = 1000e^{0{,}1t}$ er utmerket de første timene, men ved $t = 200$ melder den $485$ milliarder bakterier — næringen, plassen og fysikken sier nei for lengst, og en logistisk modell med bæreevne må overta. Husk også forenklingene (luftmotstanden vi droppet, friksjonen vi glemte), antakelsene (eksponentiell vekst forutsetter ubegrensede ressurser), måleusikkerheten i dataene — og at verden endrer seg, så modellen må vedlikeholdes.

En modell er aldri sann. Den er nyttig — innenfor sitt område, til sitt formål, med sine forbehold oppgitt. Det er den ærlige modellbyggerens leveregel.

Oppsummering

Verkstedet stengte med alle klientene betjent — og oppskriften de fikk, var alltid den samme femstegsprosessen: identifiser problemet, velg modelltype, bestem parametrene fra data, valider, og anvend med forbehold.

Valget av funksjonsfamilie styres av endringens kjennemerke. Konstant endringsrate ga den lineære modellen $ax + b$ — taxien til $170$ kr. Konstant akselerasjon og buede sammenhenger ga polynomene — ballens $20t - 4{,}9t^2$ med topp på $20{,}4$ m. Skaleringslover ga potensmodellen $ax^n$ — bremselengdens $kv^2$ og Keplers $T = r^{3/2}$. Prosentvis endring ga den eksponentielle $a \cdot e^{kt}$ — bakterienes dobling, C-14-dateringens $11\,460$ år, kaffens sig mot romtemperaturen. Vekst mot et tak ga den logistiske $\displaystyle \frac{K}{1 + Ce^{-rt}}$ med bæreevnen $K$. Og alt som svinger, ga den trigonometriske $A\sin(\omega t + \varphi) + D$, der $D$ er midtverdien, $A$ halve svingebredden, $\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{T}$ og fasen plasserer toppene — temperaturåret og tidevannet i havna. Sammensatte fenomener fikk sammensatte modeller, som CO$_2$-kurvens trend pluss svingning.

Og så ærligheten: validér mot data med residualer og $R^2$, sjekk grenseverdier, oppgi gyldighetsområdet — og ekstrapolér med ytterste varsomhet. En modell er en forenkling med formål, aldri en fasit.

I neste kapittel slipper vi teorien løs på ekte, rotete måledata — der regresjon, residualanalyse og dømmekraft må samarbeide.