6.2 Derivasjon av vektorfunksjoner

Instrumentpanelet

Se for deg skjermen til dronepiloten under flyging. Øverst: posisjonen, et punkt på kartet som flytter seg. Ved siden av: en liten pil som viser hvilken vei dronen beveger seg akkurat nå. Under den: et tall — farten i meter per sekund. Og nederst: tripptelleren, totalt tilbakelagt distanse. Fire instrumenter, fire størrelser — og i dette kapittelet skal du se at alle fire springer ut av én eneste matematisk operasjon: derivasjon av en vektorfunksjon.

En vektorfunksjon er parameterkurven fra forrige kapittel, skrevet som vektor:

$$\vec{r}(t) = [x(t), y(t)]$$

For hver $t$ peker $\vec{r}(t)$ fra origo til posisjonen, og når $t$ løper, tegner spissen opp banen. Sirkelen med radius $3$ er $\vec{r}(t) = [3\cos t, 3\sin t]$; en drone som starter i $(1, 2)$ og flyr rettlinjet langs $[3, 4]$ er $\vec{r}(t) = [1 + 3t, 2 + 4t]$.

Derivasjonen er der posisjonen blir til bevegelse. Den deriverte $\vec{r}\,'(t)$ gir pilen på skjermen — tangentvektoren som peker i bevegelsesretningen. Lengden av den gir tallet — farten. Og integrerer du farten over hele turen, får du tripptelleren — buelengden. Det som i forrige kapittel var en kurve å se på, blir nå en bevegelse å regne med: ballbaner i fysikk, biler gjennom svinger, animasjonsbaner i dataspill — alle styres av nøyaktig denne regningen.

Å derivere en vektor — komponentvis

Hvordan deriverer man en vektor? Svaret er befriende enkelt: komponentvis. Hver komponent er en vanlig funksjon av $t$, og vi deriverer dem hver for seg med reglene du allerede kan:

$$\vec{r}\,'(t) = [x'(t), y'(t)]$$

For $\vec{r}(t) = [t^2 + 1, t^3 - 2t]$ blir $\vec{r}\,'(t) = [2t, 3t^2 - 2]$. For sirkelen $\vec{r}(t) = [3\cos t, 3\sin t]$ blir $\vec{r}\,'(t) = [-3\sin t, 3\cos t]$. Ingen nye derivasjonsregler — bare to gamle om gangen.

Det geometriske innholdet er desto rikere: $\vec{r}\,'(t)$ er en tangentvektor til kurven i punktet $\vec{r}(t)$, og den peker i retningen kurven gjennomløpes når $t$ øker. Sjekk sirkelen ved $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$: posisjonen er $(0, 3)$, toppen av sirkelen, og tangentvektoren er $\displaystyle \vec{r}\,'(\frac{\pi}{2}) = [-3, 0]$ — rett mot venstre, nøyaktig dit bevegelsen mot klokka skal. Og skalarproduktet $\vec{r} \cdot \vec{r}\,' = (3\cos t)(-3\sin t) + (3\sin t)(3\cos t) = 0$ for alle $t$: tangenten står alltid vinkelrett på radien.

Trenger du bare retningen, normerer du: enhetstangentvektoren er $\displaystyle \hat{T}(t) = \frac{\vec{r}\,'(t)}{|\vec{r}\,'(t)|}$, definert der $\vec{r}\,'(t) \neq \vec{0}$.

Tangentvektoren gir også tangentlinjer på direkten. For parabelen $\vec{r}(t) = (t, t^2)$ i $t = 2$: punkt $(2, 4)$, tangentvektor $\vec{r}\,'(2) = (1, 4)$, stigningstall $\displaystyle \frac{4}{1} = 4$, og linjen $y - 4 = 4(x - 2)$, altså $y = 4x - 4$. Vil du heller ha tangentlinjen på parameterform, skriver du $\vec{\ell}(s) = (2, 4) + s(1, 4)$ — punkt pluss retning, som i kapittel 5.

Pilen og tallet: normal, hastighet og fart

Tangentvektoren har en tvilling. Snur du $(a, b)$ en kvart omdreining, får du normalvektoren $\vec{n} = (-b, a)$ (mot klokka) eller $(b, -a)$ (med klokka) — og kontrollen er ett skalarprodukt: $(a, b) \cdot (-b, a) = -ab + ab = 0$. For kurven $\vec{r}(t) = (t^2, t^3)$ i $t = 1$ er tangentvektoren $\vec{r}\,'(1) = (2, 3)$ og normalvektoren $(-3, 2)$, med $(2,3) \cdot (-3,2) = -6 + 6 = 0$ som kvittering. Normeres den, får vi enhetsnormalen $\displaystyle \hat{N} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$.

Når parameteren er tid, skifter tangentvektoren navn og blir fysikk: $\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)$ er hastighetsvektoren — pilen på instrumentpanelet. Den forteller både hvilken retning dronen flyr og hvor raskt. Farten er tallet under pilen: lengden

$$v(t) = |\vec{r}\,'(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}$$

Skillet er verdt å banke fast: hastighet er en vektor med retning, fart er et ikke-negativt tall. På engelsk: velocity og speed.

Regn på sirkelen $\vec{r}(t) = (3\cos t, 3\sin t)$: farten er $\sqrt{9\sin^2 t + 9\cos^2 t} = \sqrt{9} = 3$ — konstant! Punktet går rundt med jevn fart mens retningen endres hele tiden; det er sirkelbevegelsens signatur. På parabelbanen $\vec{r}(t) = (t, t^2)$ derimot er $v(t) = \sqrt{1 + 4t^2}$ — farten øker med tiden, fra $1$ ved start til $\sqrt{17} \approx 4{,}12$ ved $t = 2$.

Og deriverer du en gang til, får du akselerasjonsvektoren $\vec{a}(t) = \vec{r}\,''(t)$ — endringen i hastigheten. For $\vec{r}(t) = (t^2, t^3)$: $\vec{v}(t) = (2t, 3t^2)$ gir $\vec{v}(1) = (2, 3)$ med fart $\sqrt{13}$, og $\vec{a}(t) = (2, 6t)$ gir $\vec{a}(1) = (2, 6)$. Et kast med startfart $20$ m/s i $60°$ har $\vec{v}(t) = (10, 10\sqrt{3} - 10t)$ — konstant horisontalt, fallende vertikalt, og på toppen ($t = \sqrt{3}$) er bare den horisontale komponenten igjen.

Tripptelleren: buelengde

Ett instrument gjenstår: tripptelleren. Hvor langt har dronen fløyet — ikke luftlinjen fra start til mål, men selve den buktende banen?

Intuisjonen er hverdagslig: går du med konstant fart $v$ i tiden $T$, har du gått $v \cdot T$. Varierer farten, må vi summere små biter fart ganger tid — altså integrere. Buelengden av kurven $\vec{r}(t)$ fra $t = a$ til $t = b$ er

$$L = \int_a^b |\vec{r}\,'(t)|\, dt = \int_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\, dt$$

— integralet av farten over tid. Her møtes kapittelets derivasjon og fjorårets integrasjon i én formel.

Test den der fasiten er kjent. Sirkelen $\vec{r}(t) = (3\cos t, 3\sin t)$, $t \in [0, 2\pi]$: farten er konstant $3$, så $L = \int_0^{2\pi} 3\, dt = 6\pi$ — og omkretsformelen $2\pi r = 6\pi$ nikker bekreftende. Linjestykket fra $(1, 2)$ til $(4, 6)$, parametrisert $\vec{r}(t) = (1 + 3t, 2 + 4t)$ for $t \in [0, 1]$: farten er $\sqrt{9 + 16} = 5$, så $L = 5$ — nøyaktig hva avstandsformelen sier.

Så en bane uten fasit: $\displaystyle \vec{r}(t) = (t, \frac{2}{3}t^{3/2})$ for $t \in [0, 3]$. Derivasjon gir $\vec{r}\,'(t) = (1, \sqrt{t})$ og fart $\sqrt{1 + t}$ — og med substitusjonen $u = 1 + t$:

$$L = \int_0^3 \sqrt{1 + t}\, dt = \left[\frac{2}{3}(1+t)^{3/2}\right]_0^3 = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3} \approx 4{,}67$$

Slik regnes lengden av enhver bane: deriver, ta lengden, integrer. Integralet kan bli stridt — for bilen langs $\vec{r}(t) = (t^2, 2t)$ må $\int 2\sqrt{t^2 + 1}\, dt$ slås opp eller tas numerisk — men oppskriften svikter aldri. Fart er buelengdens derivert; buelengde er fartens integral. Instrumentpanelet er komplett.

Oppsummering

Instrumentpanelets fire visere viste seg å være én regneoperasjon i fire forkledninger. Vektorfunksjonen $\vec{r}(t) = [x(t), y(t)]$ er posisjonen; derives den komponentvis, $\vec{r}\,'(t) = [x'(t), y'(t)]$, får vi pilen — tangentvektoren som peker i bevegelsesretningen, vinkelrett på radien når banen er en sirkel, og klar til å normeres til enhetstangenten $\displaystyle \hat{T} = \frac{\vec{r}\,'}{|\vec{r}\,'|}$ eller dreies $90°$ til normalvektoren $(a, b) \to (-b, a)$.

Med tid som parameter ble tangentvektoren til hastighetsvektoren $\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)$, og lengden ble farten $v(t) = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}$ — vektor med retning mot tall uten: sirkelen $(3\cos t, 3\sin t)$ holdt konstant fart $3$ med stadig ny retning, parabelbanen $(t, t^2)$ akselererte med $v(t) = \sqrt{1 + 4t^2}$. Enda en derivasjon ga akselerasjonsvektoren $\vec{a}(t) = \vec{r}\,''(t)$.

Og tripptelleren: buelengden $L = \int_a^b |\vec{r}\,'(t)|\,dt$, fartens integral. Sirkelen ga $6\pi = 2\pi r$, linjestykket ga $5$ i samsvar med avstandsformelen, og $\displaystyle \int_0^3 \sqrt{1+t}\,dt = \frac{14}{3}$ viste oppskriften på nye baner: deriver, ta lengden, integrer.

Tangentlinjer fikk vi gratis underveis — punkt, tangentvektor, stigningstall $\displaystyle \frac{y'}{x'}$.

I neste kapittel tar fysikken over rattet for alvor: posisjon, hastighet og akselerasjon i kast, karuseller og satellittbaner — Newtons verden, regnet med vektorfunksjoner.