5.6 Ligninger for plan

Å beskrive en flate med en ligning

En drone skal lande på et skrått solcelletak. Styringssystemet trenger en presis matematisk beskrivelse av takflaten: hvilke punkter $(x, y, z)$ hører til taket, og hvilke gjør det ikke? I planet kunne en linje beskrives med én ligning som $y = 2x + 1$. Men hvordan beskriver man en hel flate som svever skjevt i rommet?

Det finnes flere gode svar, og i dette kapitlet lærer du tre. Det første er parameterframstillingen: stå i et kjent punkt på taket, og beskriv alle andre punkter ved å gå passe langt i to retninger som ligger i flaten — som å rute opp taket med to sett parallelle linjer. Det andre er normalvektorformen: i stedet for å si hvilke retninger som ligger i planet, oppgir du den ene retningen som står vinkelrett på det. Det viser seg å gi en enkel, lineær ligning $ax + by + cz = d$, der koeffisientene rett og slett er normalvektorens komponenter. Det tredje er determinantformen, som lager planligningen direkte fra tre punkter.

Kryssproduktet fra tidligere kapitler blir limet mellom beskrivelsene: det forvandler to retningsvektorer i planet til normalvektoren, og dermed parameterframstillingen til ligning. Underveis lærer vi også å avlese normalvektorer direkte, avgjøre når to plan er parallelle, og teste om et punkt ligger i et plan — alt dronen trenger for å treffe taket, og alt du trenger for kapitlene om linjer og avstander som følger.

Parameterframstilling: et punkt og to retninger

Tenk deg at du står på ett kjent punkt på taket, $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$, og kjenner to retninger du kan bevege deg i uten å forlate flaten: $\vec{u}$ og $\vec{v}$ (de må ikke være parallelle, ellers spenner de bare ut en linje). Da kan du nå ethvert punkt på taket ved å gå $s$ skritt langs $\vec{u}$ og $t$ skritt langs $\vec{v}$:

$$\vec{r} = \vec{r}_0 + s\vec{u} + t\vec{v}$$

Dette er planets parameterframstilling, med to frie parametre $s$ og $t$ — ett parameter for hver dimensjon flaten har. På koordinatform blir det tre likninger: $x = x_0 + su_1 + tv_1$, $y = y_0 + su_2 + tv_2$ og $z = z_0 + su_3 + tv_3$.

Hvordan finner du framstillingen fra tre oppmålte punkter? Si at taket går gjennom $A = (1, 2, 3)$, $B = (4, 2, 1)$ og $C = (2, 5, 0)$. Velg $A$ som basispunkt, og bruk de to andre til å lage retningsvektorer i flaten: $\vec{u} = \overrightarrow{AB} = [3, 0, -2]$ og $\vec{v} = \overrightarrow{AC} = [1, 3, -3]$. Dermed:

$$\vec{r} = [1, 2, 3] + s[3, 0, -2] + t[1, 3, -3]$$

eller utskrevet: $x = 1 + 3s + t$, $y = 2 + 3t$, $z = 3 - 2s - 3t$. Setter du $s = t = 0$ står du i $A$; $s = 1, t = 0$ gir $B$; $s = 0, t = 1$ gir $C$ — og alle andre verdier fyller ut resten av flaten.

Merk at framstillingen ikke er entydig: et annet basispunkt eller andre (ikke-parallelle) retningsvektorer i samme plan gir en annen, men likeverdig beskrivelse.

Normalvektoren — flatens vinkelrette signatur

Parameterframstillingen er konstruktiv, men tungvint når du skal sjekke om et punkt ligger i planet. Da er det bedre å snu perspektivet: i stedet for to retninger i flaten, oppgi den ene retningen vinkelrett på den — normalvektoren $\vec{n}$. Og den har vi allerede verktøyet for: er $\vec{u}$ og $\vec{v}$ retningsvektorer i planet, gir kryssproduktet

$$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$$

Nå kommer den avgjørende observasjonen. Et punkt $P = (x, y, z)$ ligger i planet nøyaktig når vektoren fra $P_0$ til $P$ ligger i flaten — altså står vinkelrett på $\vec{n}$. Med skalarproduktet: $\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_0P} = 0$, som utskrevet med $\vec{n} = [a, b, c]$ gir normalformen

$$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$$

Ganger du ut og samler konstantene, får du standardformen $ax + by + cz = d$, der $d = ax_0 + by_0 + cz_0$.

Tilbake til taket gjennom $A = (1,2,3)$, $B$ og $C$: med $\vec{u} = [3, 0, -2]$ og $\vec{v} = [1, 3, -3]$ gir kryssproduktet $\vec{n} = [0 \cdot (-3) - (-2) \cdot 3, \; (-2) \cdot 1 - 3 \cdot (-3), \; 3 \cdot 3 - 0 \cdot 1] = [6, 7, 9]$. Normalformen med punktet $A$ blir $6(x-1) + 7(y-2) + 9(z-3) = 0$, som ryddet gir $6x + 7y + 9z = 47$ — hele takflaten fanget i én lineær ligning.

Har du normalvektor og punkt direkte, går det enda fortere: planet gjennom $P = (2, -1, 4)$ med $\vec{n} = [3, 1, -2]$ er $3(x-2) + (y+1) - 2(z-4) = 0$, altså $3x + y - 2z = -3$.

Avlesning, parallelle plan og punkttesten

Standardformen $ax + by + cz = d$ er en gullgruve av informasjon, og det viktigste kan leses rett ut: koeffisientene er normalvektoren, $\vec{n} = [a, b, c]$. Ingen regning nødvendig — ligningen bærer sin egen geometri.

Det gir en lynrask test for parallelle plan: to plan er parallelle nøyaktig når normalvektorene deres er parallelle. Ta $\alpha: 2x - 4y + 6z = 12$ og $\beta: x - 2y + 3z = 5$. Normalvektorene er $[2, -4, 6]$ og $[1, -2, 3]$, og den første er nøyaktig $2$ ganger den andre — planene er parallelle. Men er de samme plan? Sjekk med et punkt: $(0, 0, 2)$ ligger i $\alpha$ (siden $6 \cdot 2 = 12$), men innsatt i $\beta$ gir det $6 \neq 5$. Altså parallelle, men ikke sammenfallende — to etasjer i samme skrå retning.

Punkttesten generelt er like enkel: punktet $(x_0, y_0, z_0)$ ligger i planet $ax + by + cz = d$ hvis og bare hvis innsetting gir likhet, $ax_0 + by_0 + cz_0 = d$. Ligger $Q = (3, 5, 1)$ i planet $2x - y + 3z = 4$? Innsetting: $6 - 5 + 3 = 4$ — ja, punktet ligger i planet. Dette er hele styrken ved ligningsformen: medlemskap i flaten avgjøres med ett regnestykke.

For ordens skyld finnes også en tredje vei, determinantformen: planet gjennom tre punkter $P_1$, $P_2$, $P_3$ kan skrives som en $3 \times 3$-determinant satt lik null, med radene $[x - x_1, y - y_1, z - z_1]$, $\overrightarrow{P_1P_2}$ og $\overrightarrow{P_1P_3}$. Utvidet gir den samme lineære ligning som veien om kryssproduktet — tre punkter inn, planligning ut, i én operasjon.

Oppsummering

Dronen trengte en presis beskrivelse av det skrå solcelletaket, og vi fant tre. Parameterframstillingen $\vec{r} = \vec{r}_0 + s\vec{u} + t\vec{v}$ beskriver flaten konstruktivt: stå i et kjent punkt, og nå alle andre med to parametre langs to ikke-parallelle retningsvektorer — som vi hentet fra tre oppmålte punkter via «slutt minus start».

Normalvektorformen snudde perspektivet: kryssproduktet $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ ga retningen vinkelrett på flaten, og kravet $\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_0P} = 0$ ble til ligningen $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$, som ryddet gir standardformen $ax + by + cz = d$. Slik ble taket vårt til $6x + 7y + 9z = 47$. Nøkkelinnsikten går begge veier: koeffisientene i standardformen er normalvektoren, klar til avlesning.

Det ga raske svar på praktiske spørsmål: to plan er parallelle når normalvektorene er parallelle (og sammenfallende bare hvis de også deler et punkt), og et punkt ligger i planet hvis innsetting gir likhet — slik $Q = (3,5,1)$ besto testen $6 - 5 + 3 = 4$. Determinantformen ga som bonus planligningen direkte fra tre punkter.

Tre beskrivelser, ett plan — og fri omveksling mellom dem via kryssproduktet. I neste kapittel får planene selskap av linjer i rommet, og så kan vi begynne å spørre hvor ting skjærer hverandre, og hvor langt det er imellom.