5.3 Skalarproduktet

Å gange vektorer — og få et tall

To droner letter fra samme punkt og flyr i hver sin retning. Hvor stor er vinkelen mellom kursene deres? Står de vinkelrett på hverandre? Spørsmålet høres geometrisk ut — men svaret finner vi med ren regning, takket være en av vektorregningens mest geniale oppfinnelser: skalarproduktet.

Du har lært å addere vektorer og gange dem med tall. Men kan man gange to vektorer med hverandre? Det finnes faktisk to måter, og den første — skalarproduktet, også kalt prikkproduktet eller indreproduktet — har en overraskende egenskap: resultatet er ikke en vektor, men et tall (en skalar). Og dette ene tallet bærer på forbløffende mye informasjon: det avslører vinkelen mellom vektorene, det forteller umiddelbart om de står vinkelrett på hverandre, og det lar oss spalte en vektor i komponenter langs en annen.

Anvendelsene strekker seg langt utover dronenavigasjon: i fysikken er arbeid definert som skalarproduktet av kraft og forflytning, $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$; i datagrafikk bestemmer skalarprodukter hvordan lys treffer flater; i maskinlæring måler de likhet mellom datapunkter.

I denne fortellingen lærer vi først å regne ut skalarproduktet og reglene det følger. Deretter kobler vi det til geometrien gjennom formelen med cosinus, bruker det til å finne vinkler og til å teste ortogonalitet — og til slutt projiserer vi én vektor på en annen, som å finne skyggen en kurs kaster på en annen.

Definisjonen: gange parvis og legg sammen

Oppskriften er enkel. For $\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]$ og $\vec{b} = [b_1, b_2, b_3]$ er skalarproduktet

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

Gang komponentene parvis, og legg sammen. Resultatet er et tall — merk prikken i notasjonen $\vec{a} \cdot \vec{b}$, som har gitt produktet kallenavnet «prikkproduktet».

To kjappe eksempler: $[2, 3, 1] \cdot [4, -1, 2] = 8 - 3 + 2 = 7$, og $[1, 0, -2] \cdot [3, 5, 1] = 3 + 0 - 2 = 1$. Lettere regning finnes knapt — og likevel skal vi snart se hvor mye geometri som bor i disse tallene.

Skalarproduktet oppfører seg pent. Det er kommutativt, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$, og distributivt over addisjon, $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$. Skalarer kan flyttes fritt: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$. Og nullvektoren gir alltid null: $\vec{a} \cdot \vec{0} = 0$.

Den viktigste regelen av alle er kanskje den minste: hva skjer hvis du prikker en vektor med seg selv? Da blir produktet $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$ — og det er nøyaktig kvadratet av lengden:

$$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$$

Skalarproduktet inneholder altså lengdebegrepet som et spesialtilfelle. Det er første hint om at dette tallet vet mer om geometri enn det later som.

Vinkelen avsløres — og det vinkelrette tilfellet

Her kommer broen mellom regning og geometri. Skalarproduktet har nemlig en annen, ekvivalent formel: hvis $\theta$ er vinkelen mellom vektorene, så er

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\theta$$

Hvorfor stemmer det? Vektorene $\vec{a}$, $\vec{b}$ og $\vec{a} - \vec{b}$ danner en trekant. Cosinussetningen gir $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, mens regnereglene for skalarproduktet gir $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\,\vec{a} \cdot \vec{b}$. Sammenligner vi, står formelen der.

Samme tall, to oppskrifter — én med koordinater, én med lengder og vinkel. Og dét kan utnyttes: setter vi de to uttrykkene lik hverandre og løser for cosinus, får vi vinkelformelen

$$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}, \qquad 0 \leq \theta \leq \pi$$

La oss måle vinkelen mellom dronekursene $\vec{a} = [1, 2, 2]$ og $\vec{b} = [3, 0, 4]$. Skalarproduktet er $3 + 0 + 8 = 11$, lengdene er $|\vec{a}| = \sqrt{9} = 3$ og $|\vec{b}| = \sqrt{25} = 5$. Dermed er $\displaystyle \cos\theta = \frac{11}{15}$, og kalkulatoren gir $\theta \approx 42{,}8°$. Ingen gradskive, ingen tegning — bare aritmetikk.

Det aller fineste spesialtilfellet er $\theta = 90°$. Da er $\cos\theta = 0$, og hele produktet kollapser: to vektorer er ortogonale (vinkelrette), skrevet $\vec{a} \perp \vec{b}$, hvis og bare hvis

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

Vinkelretthet — et geometrisk begrep — er redusert til å sjekke om et tall er null. Vektorene $[2, 1, -1]$ og $[1, -3, -1]$ gir $2 - 3 + 1 = 0$: ortogonale. Testen kan også brukes baklengs: for hvilke $k$ er $\vec{u} = [2, k, 1]$ ortogonal på $\vec{v} = [3, -1, k]$? Produktet er $6 - k + k = 6$, som aldri blir null — ingen verdi av $k$ fungerer. Av og til er svaret at det ikke finnes noe svar.

Projeksjon — skyggen av en vektor

Siste verktøy i kassen: projeksjon. Se for deg at solen står rett over $\vec{b}$ sin retning, og at $\vec{a}$ kaster en skygge ned på linjen gjennom $\vec{b}$. Den skyggen — komponenten av $\vec{a}$ som ligger langs $\vec{b}$ — er projeksjonen av $\vec{a}$ på $\vec{b}$, og den dukker opp overalt: når en kraft skal spaltes i en del langs et skråplan og en del vinkelrett på det, når en dronekurs skal dekomponeres i «fremover» og «sideveis», når data skal komprimeres langs en hovedretning.

Projeksjonen kommer i to varianter. Den skalare projeksjonen er skyggens lengde (med fortegn):

$$a_{\vec{b}} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$$

Den vektorielle projeksjonen er selve skyggevektoren — den peker langs $\vec{b}$:

$$\vec{a}_{\vec{b}} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\,\vec{b}$$

Legg merke til strukturen i den siste: brøken er bare et tall, som forteller hvor mange ganger $\vec{b}$ skyggen er; nevner $|\vec{b}|^2$ kan like gjerne skrives $\vec{b} \cdot \vec{b}$.

Et gjennomsiktig eksempel: projiser $\vec{a} = [4, 3, 0]$ på $\vec{b} = [2, 0, 0]$, som peker langs $x$-aksen. Skalarproduktet er $8$, og $|\vec{b}|^2 = 4$. Den skalare projeksjonen blir $\displaystyle \frac{8}{2} = 4$, og vektorprojeksjonen $\displaystyle \frac{8}{4}[2, 0, 0] = [4, 0, 0]$ — nøyaktig $x$-komponenten av $\vec{a}$, slik intuisjonen tilsier: skyggen av $[4, 3, 0]$ på $x$-aksen er $[4, 0, 0]$.

Fortegnet i den skalare projeksjonen har mening: positivt når $\vec{a}$ heller samme vei som $\vec{b}$ (spiss vinkel), negativt når den heller motsatt (stump vinkel) — nok et eksempel på hvor mye informasjon skalarproduktet pakker inn i ett tall.

Oppsummering

To dronekurser og spørsmålet om vinkelen mellom dem ledet oss til skalarproduktet — den første måten å «gange» vektorer på, med et tall som svar. Regneoppskriften var enklest mulig: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$, gang parvis og legg sammen. Produktet er kommutativt og distributivt, skalarer flyttes fritt, og perlen blant reglene er $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ — lengden bor inne i skalarproduktet.

Broen til geometrien var den alternative formelen $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$. Ved å kombinere de to uttrykkene fikk vi vinkelformelen $\displaystyle \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$, som målte vinkelen mellom kursene våre til $42{,}8°$ med ren aritmetikk. Spesialtilfellet $\theta = 90°$ ga den elegante ortogonalitetstesten: $\vec{a} \perp \vec{b}$ hvis og bare hvis $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ — vinkelretthet redusert til et nullsjekk.

Til slutt kastet vi skygger: projeksjonen av $\vec{a}$ på $\vec{b}$ spalter ut komponenten langs $\vec{b}$, med skyggelengden $\displaystyle \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ og skyggevektoren $\displaystyle \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}$. Kraftspalting i fysikk, kursdekomponering i navigasjon, arbeid som $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$ — alt er samme idé.

Skalarproduktet ga oss et tall ut av to vektorer. I neste kapittel møter du tvillingen som gir en vektor ut av to vektorer: kryssproduktet.