4.7 Trigonometriske funksjoner og grafer

To bølger blir én

Sett deg ved et lydmiksebord. To høyttalere spiller toner med nøyaktig samme frekvens, men de er ikke i takt — den ene følger en sinuskurve, den andre en cosinuskurve. Hva hører du? Ikke to lyder, men én tone: bølgene smelter sammen til en eneste ren svingning. Matematisk betyr det at et uttrykk på formen $a\sin x + b\cos x$ — som ser ut som en rotete sum av to forskjellige funksjoner — i virkeligheten alltid er én enkelt, ren sinusfunksjon i forkledning.

Dette er kapitlets store påstand: for alle tall $a$ og $b$ (ikke begge null) finnes det en amplitude $R$ og en faseforskyvning $\alpha$ slik at $a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \alpha)$. Og når forkledningen først er avslørt, blir vanskelige spørsmål plutselig enkle. Hva er maksimumsverdien til $f(x) = 3\sin x + 4\cos x$? Skrevet som $R\sin(x + \alpha)$ er svaret øyeblikkelig: $R$, siden sinus aldri overstiger $1$. Hvordan løser du likningen $\sin x + \cos x = 1$? Omskriv venstresiden til én sinus, og du står igjen med en helt vanlig sinuslikning.

I denne fortellingen utleder vi omskrivingsformelen fra addisjonsformelen for sinus, lærer å finne $R$ og $\alpha$ trygt — også når koeffisientene er negative — og bruker teknikken på ekstremverdier, likninger og fysikkens superposisjon av bølger.

Avsløringen: å finne R og alfa

Hvorfor skulle $a\sin x + b\cos x$ være en ren sinus? Nøkkelen er addisjonsformelen. Gang ut $R\sin(x + \alpha)$:

$$R\sin(x + \alpha) = R\cos\alpha \cdot \sin x + R\sin\alpha \cdot \cos x$$

Dette har nøyaktig samme form som $a\sin x + b\cos x$ — vi trenger bare at $a = R\cos\alpha$ og $b = R\sin\alpha$. Kvadrerer og adderer vi de to kravene, gir Pytagoras-identiteten $a^2 + b^2 = R^2$, altså

$$R = \sqrt{a^2 + b^2}$$

og vinkelen $\alpha$ bestemmes entydig i $[0, 2\pi)$ av $\displaystyle \cos\alpha = \frac{a}{R}$ og $\displaystyle \sin\alpha = \frac{b}{R}$. Du kan også bruke $\displaystyle \tan\alpha = \frac{b}{a}$, men da må du selv passe på riktig kvadrant ut fra fortegnene til $a$ og $b$: begge positive gir første kvadrant, $a < 0, b > 0$ andre, begge negative tredje, og $a > 0, b < 0$ fjerde.

La oss avsløre $3\sin x + 4\cos x$. Først $R = \sqrt{9 + 16} = 5$. Så $\displaystyle \cos\alpha = \frac{3}{5}$ og $\displaystyle \sin\alpha = \frac{4}{5}$ — begge positive, så $\alpha$ ligger i første kvadrant: $\displaystyle \alpha = \arctan\frac{4}{3} \approx 0{,}927$. Dermed er $3\sin x + 4\cos x = 5\sin(x + 0{,}927)$, en ren sinus med amplitude $5$.

Med negative koeffisienter er kvadranten alt. For $\sin x - \sqrt{3}\cos x$ er $R = \sqrt{1 + 3} = 2$, og $\displaystyle \cos\alpha = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ plasserer $\alpha$ i fjerde kvadrant: $\displaystyle \alpha = -\frac{\pi}{3}$. Altså $\displaystyle \sin x - \sqrt{3}\cos x = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ — og du kan alltid kontrollere ved å gange ut igjen med addisjonsformelen.

Uttrykket kan for øvrig også skrives på cosinusform, $R\cos(x - \beta)$ med $\displaystyle \sin\beta = \frac{a}{R}$ og $\displaystyle \cos\beta = \frac{b}{R}$ — samme $R$, bare en annen referansevinkel. Velg formen oppgaven ber om.

Ekstremverdier og likninger — gevinsten

Hva er gevinsten ved omskrivingen? Først og fremst ekstremverdier. Siden $-1 \leq \sin(x + \alpha) \leq 1$, er maksimumsverdien til $R\sin(x + \alpha)$ nøyaktig $R$ og minimumsverdien $-R$. Ta $f(x) = 5\sin x + 12\cos x$: med $R = \sqrt{25 + 144} = 13$ vet vi umiddelbart at $f$ svinger mellom $-13$ og $13$. Vil du vite hvor maksimum inntreffer, løser du $\sin(x + \alpha) = 1$, altså $\displaystyle x + \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, som med $\displaystyle \alpha = \arctan\frac{12}{5} \approx 1{,}176$ gir $x \approx 0{,}395 + 2\pi k$. Minimum følger tilsvarende fra $\sin(x + \alpha) = -1$.

Den andre gevinsten er likninger. Se på $\sin x + \cos x = 1$ for $x \in [0, 2\pi)$. Venstresiden er spesialtilfellet med like koeffisienter: $a = b = 1$ gir $R = \sqrt{2}$ og $\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{4}$, så likningen blir

$$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Nå er det en helt vanlig sinuslikning: $\displaystyle x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ eller $\displaystyle x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$, som gir $x = 0$ og $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$. Kontroll: $\sin 0 + \cos 0 = 1$ og $\displaystyle \sin\frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{2} = 1$ — begge stemmer.

Teknikken fungerer like godt med sammensatte argumenter. I $2\sin(3x) + 2\cos(3x)$ behandler du $3x$ som én variabel: $R = 2\sqrt{2}$ og $\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{4}$ gir $\displaystyle 2\sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right)$, en funksjon med amplitude $2\sqrt{2}$ og periode $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$. Verdt å huske er også snarveien for like koeffisienter: $\displaystyle A\sin x + A\cos x = A\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.

Superposisjon — fysikken bak mikseboret

Tilbake til miksebordet. Når to bølger med samme frekvens møtes, sier fysikken at utslagene adderes — prinsippet kalles superposisjon. La den ene bølgen være $y_1 = A_1\sin(\omega t)$ og den andre $y_2 = A_2\cos(\omega t)$, som bare er en sinus forskjøvet en kvart periode. Summen er

$$y = A_1\sin(\omega t) + A_2\cos(\omega t) = R\sin(\omega t + \alpha)$$

med resulterende amplitude $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$. Det er omskrivingsformelen vår, ord for ord — matematikken garanterer at to bølger med samme frekvens alltid gir én ny bølge med samme frekvens, bare med ny amplitude og fase.

Konkret: to lydbølger $y_1 = 3\sin(440t)$ og $y_2 = 4\cos(440t)$ gir $R = \sqrt{9 + 16} = 5$ og $\displaystyle \alpha = \arctan\frac{4}{3} \approx 0{,}927$, altså $y = 5\sin(440t + 0{,}927)$. Tre observasjoner er verdt å dvele ved. Amplituden ble $5$ — større enn begge de opprinnelige, men mindre enn summen $3 + 4 = 7$; hvor mye bølgene forsterker hverandre avhenger av faseforholdet. Frekvensen er uendret: øret hører samme tonehøyde, bare sterkere. Og faseforskyvningen $0{,}927$ forteller når bølgetoppene kommer i forhold til de opprinnelige bølgene.

Dette prinsippet bærer store deler av fysikken: lyd som interfererer, vekselstrømmer som adderes i kretser, lysbølger i interferensmønstre. Hver gang to svingninger med samme frekvens legges sammen, er det $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ som bestemmer resultatet — den lille formelen fra dette kapitlet er bokstavelig talt overalt i bølgenes verden.

Oppsummering

Fortellingen startet ved miksebordet, der to utakte bølger smeltet sammen til én ren tone. Matematikken bak er kapitlets hovedformel: $a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \alpha)$, der amplituden er $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ og fasevinkelen $\alpha$ bestemmes av $\displaystyle \cos\alpha = \frac{a}{R}$ og $\displaystyle \sin\alpha = \frac{b}{R}$. Utledningen var ren addisjonsformel: $R\sin(x + \alpha) = R\cos\alpha\sin x + R\sin\alpha\cos x$, og sammenligning av koeffisienter ga kravene $a = R\cos\alpha$ og $b = R\sin\alpha$, med Pytagoras som leverte $R$. Fortegnene til $a$ og $b$ peker ut riktig kvadrant for $\alpha$ — det er her du må være våken, slik $\displaystyle \sin x - \sqrt{3}\cos x = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ krevde en vinkel i fjerde kvadrant.

Gevinstene var umiddelbare. Ekstremverdier: maksimum er $R$ og minimum er $-R$, punktum — slik $5\sin x + 12\cos x$ måtte svinge mellom $\pm 13$. Likninger: $\sin x + \cos x = 1$ ble til en standard sinuslikning via spesialtilfellet $\displaystyle A\sin x + A\cos x = A\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. Og fysikken: superposisjon av to bølger med samme frekvens gir alltid én ny bølge med samme frekvens og amplitude $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$.

Det rotete uttrykket $a\sin x + b\cos x$ var altså aldri rotete — det var en ren sinus i forkledning, og nå vet du nøyaktig hvordan du tar av masken.