2.5 Analysens fundamentalsetning

Broen mellom to verdener

På 1600-tallet arbeidet to menn — Isaac Newton i England og Gottfried Leibniz i Tyskland — uavhengig av hverandre med to tilsynelatende ubeslektede problemer. Det ene var tangentproblemet: hvor bratt er en kurve i et punkt? Det andre var arealproblemet: hvor stort er området under en kurve? Det første hadde blitt til derivasjonen, det andre — som vi så hos Arkimedes og Riemann — til møysommelige grenseverdier av rektangelsummer.

Så kom oppdagelsen som forandret alt: de to problemene er samme problem, speilvendt. Derivasjon og integrasjon opphever hverandre, som pluss og minus, som å pakke inn og pakke ut. Denne innsikten kalles analysens fundamentalsetning, og «fundamental» er ingen overdrivelse: den gjør at arealer som krevde sider med Riemann-regning, kan beregnes på én linje med en antiderivert.

Husker du slitet med $\int_0^3 x^2\,dx = 9$ i forrige kapittel? I dette kapittelet får du se hvorfor $\displaystyle \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3}$ gir nøyaktig samme svar — og hvorfor det må være slik.

Del 1: Arealet vokser i takt med funksjonen

Fundamentalsetningens første del handler om en spesiell funksjon: arealfunksjonen. La $f$ være kontinuerlig på $[a,b]$, og definer

$$F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$$

— arealet under grafen til $f$ fra $a$ og frem til en bevegelig høyre vegg $x$. (Vi bruker $t$ som integrasjonsvariabel for å ikke blande den med grensen $x$.)

Setningen sier: $F$ er deriverbar, og

$$F'(x) = f(x)$$

Hvorfor? Tenk på hva som skjer når veggen flyttes et lite stykke $\Delta x$ mot høyre. Arealet øker med en smal stripe som er omtrent et rektangel: høyde $f(x)$, bredde $\Delta x$, areal $\approx f(x) \cdot \Delta x$. Endringsraten til arealet er dermed

$$F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x + \Delta x) - F(x)}{\Delta x} = f(x)$$

Arealet vokser nøyaktig i takt med funksjonsverdien — er grafen høy der veggen står, vokser arealet fort; er den lav, vokser det sakte.

Dette gir en forbløffende snarvei. Skal du derivere $F(x) = \int_1^x (t^2 + 1)\,dt$, trenger du ikke regne ut integralet: svaret er rett og slett $F'(x) = x^2 + 1$ — integranden med $t$ byttet ut med $x$. Derivasjonen pakker opp det integrasjonen pakket inn.

Del 2: Snarveien som endret matematikken

Del 1 sa at arealfunksjonen er en antiderivert til $f$. Del 2 høster gevinsten: la $F$ være hvilken som helst antiderivert til $f$. Da er

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

Hele Riemann-maskineriet — inndelinger, rektangler, summeformler, grenseverdier — erstattes av to innsettinger og en subtraksjon. For evalueringen finnes en egen notasjon, gjerne kalt Newton–Leibniz-notasjonen:

$$\left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)$$

La oss kjenne på kraften. Først $\int_1^4 2x\,dx$: antideriverten er $x^2$, så

$$\int_1^4 2x \, dx = \left[x^2\right]_1^4 = 16 - 1 = 15$$

Så gjelden fra forrige kapittel — arealet under parabelen:

$$\int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} - 0 = 9$$

Samme svar som sidene med Riemann-regning ga, nå på én linje. Et eksempel med flere ledd: $\int_1^2 (3x^2 - 4x + 1)\,dx = \left[x^3 - 2x^2 + x\right]_1^2 = (8 - 8 + 2) - (1 - 2 + 1) = 2$.

Og legg merke til en detalj: integrasjonskonstanten $C$ er borte. Det er ikke slurv — den kansellerer seg selv: $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. I bestemte integraler spiller valget av antiderivert ingen rolle.

Verktøyet i arbeid — og fellene langs veien

Med fundamentalsetningen i hånden blir arealberegning konkret håndverk. Arealet under $f(x) = x^2$ fra $0$ til $3$ fant vi til $9$; samme oppskrift fungerer for alle de antideriverte vi har samlet:

Oppsummering: broen står

Newton og Leibniz' oppdagelse er nå din: derivasjon og integrasjon er to retninger over samme bro. Del 1 sier at arealfunksjonen $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ er deriverbar med $F'(x) = f(x)$ — arealet vokser i takt med funksjonsverdien, fordi hver ny stripe er omtrent et rektangel med høyde $f(x)$. Del 2 høster gevinsten: for en vilkårlig antiderivert $F$ er

$$\int_a^b f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)$$

Riemann-summenes slit erstattes av to innsettinger og en subtraksjon, og konstanten $C$ kansellerer av seg selv. Dermed ga $\displaystyle \frac{x^3}{3}$ oss $\int_0^3 x^2\,dx = 9$ på én linje — samme svar som rektanglene, uendelig mye raskere. Huskereglene: øvre minus nedre, eksponenten opp ved integrasjon, og pass fortegnene ved innsetting.

Fra nå av er fundamentalsetningen standardverktøyet hver gang vi møter $\int_a^b$. Og det skal vi gjøre ofte: i de neste kapitlene setter vi den i arbeid på arealer under og mellom grafer — også der grafene stikker under $x$-aksen og fortegnene begynner å spille oss puss.