4.6 Funksjonsdrøfting

Å lese et landskap uten å se det

Tenk deg at du skal beskrive en fjelltur for en venn – men du har bare kartet, ikke bildene. Hvor går stien oppover? Hvor er toppene og dalene? Hvor flater terrenget ut, og hvor stuper det mot stupkanten? En funksjon er et slikt landskap, og funksjonsdrøfting er kunsten å lese det – systematisk og uten å gjette.

I dette kapittelet samler vi alt derivasjonen kan fortelle oss om en graf. Vi undersøker definisjonsmengden (hvor finnes landskapet i det hele tatt?), nullpunktene (hvor krysser stien havnivå?), monotoniegenskapene (hvor går det opp og ned?), ekstremalpunktene (toppene og dalene), vendepunktene (hvor svinger krumningen?) og asymptotene (hvordan oppfører landskapet seg ved verdens ende?). Med alt dette på plass kan du tegne en presis skisse av en graf du aldri har sett.

Hovedverktøyene er de to deriverte: $f'$ forteller om retningen – opp eller ned – mens $f''$ forteller om krumningen – smiler grafen eller er den sur? Vi skal bygge opp hele apparatet steg for steg, og avslutte med en fullstendig drøfting av en funksjon med både asymptoter og ekstremalpunkter. Ta på fjellskoene.

Opp eller ned? Spør den deriverte

Det første spørsmålet om ethvert landskap er: hvor går det oppover? Monotoniteoremet gir svaret. La $f$ være deriverbar på et intervall $I$. Hvis $f'(x) > 0$ for alle $x$ i $I$, er $f$ strengt voksende der. Hvis $f'(x) < 0$, er $f$ strengt avtagende. Og hvis $f'(x) = 0$ overalt på intervallet, er $f$ konstant – flatmark.

Metoden for å kartlegge dette er alltid den samme: finn $f'(x)$, løs $f'(x) = 0$ for å finne de stasjonære punktene, sett opp et fortegnsskjema for $f'$, og les av hvor den deriverte er positiv og negativ.

La oss gjøre det for $f(x) = x^3 - 3x$. Den deriverte er $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$, med nullpunkter $x = -1$ og $x = 1$. Faktoriseringen gjør fortegnsanalysen enkel: for $x < -1$ er begge faktorene negative, så produktet er positivt – grafen stiger. Mellom $-1$ og $1$ har faktorene ulikt fortegn, så $f'(x) < 0$ – grafen synker. For $x > 1$ er begge positive igjen – grafen stiger.

Konklusjon: $f$ er strengt voksende på $(-\infty, -1)$ og $(1, \infty)$, og strengt avtagende på $(-1, 1)$. Uten å ha tegnet et eneste punkt vet vi allerede grovformen: opp, ned, opp – en klassisk tredjegradskurve med en topp og en dal. Hvor toppen og dalen ligger nøyaktig, er neste seksjons jobb.

Topper og daler

Et ekstremalpunkt er et punkt der funksjonen har en lokal maksimums- eller minimumsverdi – en fjelltopp eller en dalbunn. Kandidatene er de stasjonære punktene, der $f'(c) = 0$ og tangenten er horisontal. Men ikke alle kandidater er ekte topper: vi trenger en test.

Første derivasjonstest leser fortegnsskjemaet. Skifter $f'$ fra positiv til negativ i $x = c$ – altså opp, så ned – står du på et lokalt maksimum. Skifter den fra negativ til positiv, er du i et lokalt minimum. Og skifter ikke $f'$ fortegn i det hele tatt, har du et terrassepunkt: grafen flater ut, men fortsetter samme vei, som en avsats i en trapp.

Andre derivasjonstest spør krumningen til råds. Er $f''(c) < 0$ i et stasjonært punkt, krummer grafen nedover – lokalt maksimum. Er $f''(c) > 0$, krummer den oppover – lokalt minimum. Men er $f''(c) = 0$, gir testen ingen konklusjon, og du må tilbake til fortegnsskjemaet.

Tilbake til $f(x) = x^3 - 3x$ med stasjonære punkter $x = -1$ og $x = 1$. Fortegnsskjemaet sa: pluss, minus, pluss. Altså lokalt maksimum i $x = -1$ og lokalt minimum i $x = 1$. Med andre derivasjonstest: $f''(x) = 6x$, og $f''(-1) = -6 < 0$ bekrefter maksimum, mens $f''(1) = 6 > 0$ bekrefter minimum. Koordinatene finner vi ved innsetting: toppunktet er $(-1, f(-1)) = (-1, 2)$ og bunnpunktet $(1, f(1)) = (1, -2)$. To tester, samme svar – velg den som er raskest i situasjonen.

Når grafen skifter humør

Den deriverte fanger retningen – men en graf har også krumning. Tenk på forskjellen mellom innsiden av en skål og utsiden av en kuppel. Hvis $f''(x) > 0$, er grafen konveks: den buer oppover og «smiler». Hvis $f''(x) < 0$, er grafen konkav: den buer nedover og er «sur». Krumningen merkes godt selv om begge deler kan skje mens grafen stiger – tenk på forskjellen mellom en stadig brattere motbakke og en motbakke som slaker av.

Et vendepunkt er stedet der grafen skifter humør – fra konkav til konveks eller omvendt. Kravet er todelt: $f''(c) = 0$ og $f''$ må faktisk skifte fortegn i $x = c$. Det første alene er ikke nok, akkurat som $f'(c) = 0$ alene ikke garanterte ekstremalpunkt.

La oss finne vendepunktene til vår gamle kjenning $f(x) = x^3 - 3x$. Vi deriverer to ganger: $f'(x) = 3x^2 - 3$ og $f''(x) = 6x$. Likningen $f''(x) = 0$ gir $x = 0$. Så sjekker vi fortegnsskiftet: for $x < 0$ er $f''(x) = 6x < 0$ – konkav; for $x > 0$ er $f''(x) > 0$ – konveks. Fortegnet skifter, så $x = 0$ er et ekte vendepunkt. Koordinatene: $f(0) = 0$, altså vendepunkt i $(0, 0)$.

Det stemmer perfekt med bildet vi har bygget: grafen kommer opp til toppen i $(-1, 2)$, krummer surt nedover gjennom dalsøkket, snur krumningen i origo, og smiler seg ned til bunnen i $(1, -2)$ før den stiger mot uendelig. Vendepunktet er nøyaktig midt mellom topp og bunn – tredjegradsfunksjonens skjulte symmetri.

Ved verdens ende: asymptoter

Hva skjer med landskapet helt ute ved horisonten – og ved de stedene der funksjonen rett og slett ikke finnes? En asymptote er en rett linje som grafen legger seg tettere og tettere inntil, uten nødvendigvis å berøre den. Det finnes tre typer.

En vertikal asymptote $x = a$ oppstår der funksjonsverdiene løper mot $\pm\infty$ når $x$ nærmer seg $a$ – typisk der en nevner blir null. For $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-1}{x-2}$ blir nevneren null i $x = 2$, og siden telleren da er $3 \neq 0$, eksploderer brøken: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$. Vertikal asymptote: $x = 2$.

En horisontal asymptote $y = b$ finnes hvis $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$. Se på $\displaystyle f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$: deler vi teller og nevner på $x$, får vi $\displaystyle \frac{2 + 1/x}{1 - 1/x} \to \frac{2}{1} = 2$. Grafen flater ut mot linja $y = 2$ i begge retninger.

En skrå asymptote $y = ax + b$ (med $a \neq 0$) oppstår når grafen legger seg inntil en skrånende linje: $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$. Du kan finne den med grenseverdier – $\displaystyle a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ og deretter $b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - ax]$ – men for rasjonale funksjoner er polynomdivisjon raskest. For $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-1}{x-2}$ gir divisjonen $\displaystyle f(x) = x + 2 + \frac{3}{x-2}$. Når $x \to \pm\infty$, forsvinner resten $\displaystyle \frac{3}{x-2}$, og grafen klistrer seg til linja $y = x + 2$.

En nyttig tommelfingerregel for rasjonale funksjoner: er telleren av grad én høyere enn nevneren, får du skrå asymptote; er gradene like, blir asymptoten horisontal.

Den store ekspedisjonen

Nå setter vi sammen hele verktøykassa og drøfter $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ fra a til å. Sjekklisten er fast: definisjonsmengde, symmetri, nullpunkter, asymptoter, førstederivert med monotoni og ekstremalpunkter, andrederivert med vendepunkter – og til slutt skissen.

Definisjonsmengden er alt unntatt der nevneren er null: $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Symmetri: $\displaystyle f(-x) = \frac{x^2}{-x-1}$ er verken $f(x)$ eller $-f(x)$, så ingen symmetri. Nullpunkter: $x^2 = 0$ gir bare $x = 0$.

Asymptoter: nevneren gir vertikal asymptote $x = 1$. Polynomdivisjon gir $\displaystyle f(x) = x + 1 + \frac{1}{x-1}$, så skrå asymptote $y = x + 1$.

Førstederiverte krever kvotientregelen: $\displaystyle f'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$. Stasjonære punkter: $x = 0$ og $x = 2$. Nevneren er alltid positiv, så fortegnet styres av telleren $x(x-2)$: positiv for $x < 0$, negativ mellom 0 og 2 (unntatt i $x=1$ der funksjonen ikke finnes), positiv for $x > 2$. Dermed: lokalt maksimum i $(0, 0)$ og lokalt minimum i $(2, 4)$.

Legg merke til det pussige: maksimumsverdien 0 er lavere enn minimumsverdien 4! Det er den vertikale asymptoten som gjør det mulig – grafen består av to atskilte grener.

Andrederiverte: $\displaystyle f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}$, som aldri er null – ingen vendepunkter. Grenen til venstre for $x=1$ er konkav, grenen til høyre konveks.

Dermed kan vi tegne: en gren som stiger til toppen i origo og dykker mot asymptoten, og en gren som kommer ned fra $+\infty$, bunner ut i $(2,4)$ og legger seg langs $y = x + 1$.

Kartet er tegnet

Funksjonsdrøfting er detektivarbeid med fast metode, og nå har du hele verktøysettet. Monotonien leses av fortegnet til $f'$: positiv betyr voksende, negativ betyr avtagende, og fortegnsskjemaet er kartet. Ekstremalpunktene ligger blant de stasjonære punktene der $f'(c) = 0$, og klassifiseres enten med første derivasjonstest (fortegnsskifte i $f'$) eller andre derivasjonstest ($f''(c) < 0$ gir maksimum, $f''(c) > 0$ gir minimum, og $f''(c) = 0$ gir ingen konklusjon). Husk terrassepunktet – den falske toppen der $f'$ ikke skifter fortegn.

Krumningen styres av $f''$: positiv betyr konveks (smiler), negativ betyr konkav (sur), og et vendepunkt krever både $f''(c) = 0$ og fortegnsskifte. Asymptotene beskriver grensene: vertikale der nevneren kollapser, horisontale når $f(x)$ flater ut mot et tall i det uendelige, og skrå når grafen legger seg langs en linje $y = ax + b$ – som polynomdivisjon avslører på et blunk.

Den fullstendige drøftingen av $\displaystyle \frac{x^2}{x-1}$ viste hvordan brikkene faller på plass til et helt bilde – inkludert overraskelsen der et lokalt maksimum lå lavere enn et lokalt minimum. Det er nettopp derfor vi sier lokalt: hver topp gjelder bare sitt eget nabolag. I kapitlene som kommer, skal denne analysen settes i arbeid på praktiske optimeringsproblemer, der toppene og bunnene er kroner, kvadratmeter og sekunder.