2.3 Sammensatte funksjoner

Samlebåndet av funksjoner

Tenk deg et bilderedigeringsprogram der du legger på filtre i rekkefølge: først beskjærer du bildet, så justerer du kontrasten, så legger du på svart-hvitt. Resultatet av ett steg mates rett inn i det neste. Programmerere kaller det en pipeline; matematikere kaller det komposisjon -- og det er nøyaktig det samme: utdata fra én funksjon blir inndata til den neste.

Og du har allerede sett det i naturfagene. Lufttrykket avhenger av høyden over havet, og høyden avhenger av hvor lenge ballongen har steget: trykket er dermed en funksjon av en funksjon av tiden. Energien i et jordskjelv bestemmer amplituden på seismografen, og Richter-tallet er logaritmen av amplituden: igjen en kjede. Naturen kobler årsaker i serie, og matematikken trenger et språk for slike kjeder.

Språket er kompakt: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, der $g$ jobber først og $f$ etterpå. Men kjeder er følsomme for rekkefølge -- det er ikke det samme å beskjære før du forstørrer som å forstørre før du beskjærer, og det er definitivt ikke det samme å kvadrere før du legger til tre som omvendt. Et hovedpoeng i kapittelet er nettopp at $f \circ g$ og $g \circ f$ som regel er to forskjellige funksjoner.

Hvorfor bry seg? Fordi nesten alle funksjoner du møter i praksis -- $(3x-2)^5$, $e^{x^2}$, $\sqrt{1-x^2}$ -- er kjeder i forkledning. Og når du i kapittel 3 skal derivere slike uttrykk, finnes det én regel som gjelder: kjerneregelen. Den krever at du ser kjeden. Dette kapittelet trener blikket.

Komposisjon: én funksjon inn i en annen

Komposisjonen av $f$ og $g$ skrives $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ og leses «$f$ av $g$ av $x$». Regnerekkefølgen leses innenfra og ut: først virker $g$ på $x$, så virker $f$ på resultatet. I uttrykket $f(g(x))$ kalles $g$ den indre funksjonen og $f$ den ytre funksjonen.

La oss regne med $f(x) = x^2$ og $g(x) = x + 3$. Komposisjonen $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$: her er «legg til 3» det indre steget og «kvadrer» det ytre. Snur vi kjeden, får vi $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 3$: nå kvadrerer vi først og legger til 3 etterpå.

Se nøye på de to svarene: $x^2 + 6x + 9$ mot $x^2 + 3$. Rekkefølgen betyr noe -- $f \circ g \neq g \circ f$ i alminnelighet. Det stemmer med pipeline-intuisjonen: «pluss 3, så kvadrer» og «kvadrer, så pluss 3» er to forskjellige maskiner. Sett inn $x = 2$ i begge og kjenn forskjellen: $(2+3)^2 = 25$, men $2^2 + 3 = 7$.

Skal du bare ha én funksjonsverdi, trenger du ikke utlede hele uttrykket. $(f \circ g)(2)$ regnes innenfra: $g(2) = 5$, deretter $f(5) = 25$.

Kjedene kan også bli lengre. Med tre funksjoner er $(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))$ -- fortsatt innenfra og ut. Med $f(x) = x^2$, $g(x) = x+1$ og $h(x) = 2x$ får vi: $h(x) = 2x$, så $g(2x) = 2x + 1$, så $f(2x+1) = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$. Tre små maskiner i serie bygger en ny, mer sammensatt maskin.

Å se kjeden: indre og ytre funksjon

Til nå har vi bygget sammensatte funksjoner. Den viktigere ferdigheten er den motsatte: å få servert et ferdig uttrykk og avsløre kjeden i det. Det er som å demontere maskinen og se hvilke deler den består av.

Spørsmålet som alltid leder deg riktig: *«Hva er det ytterste jeg gjør med $x$?» Tenk på hvordan du ville regnet ut verdien på kalkulator -- den siste operasjonen du utfører, er den ytre funksjonen.

Ta $h(x) = (3x-2)^5$. For å regne ut $h(4)$ ville du først funnet $3 \cdot 4 - 2 = 10$, og til slutt opphøyd i femte. Altså: indre funksjon $g(x) = 3x - 2$, ytre funksjon $f(u) = u^5$. Vi bruker gjerne en egen bokstav $u$ for variabelen i den ytre funksjonen, som en påminnelse om at den tar imot resultatet fra det indre steget.

Flere eksempler bygger mønstergjenkjenningen. I $k(x) = e^{x^2}$ er det siste du gjør å bruke $e$-funksjonen: indre $g(x) = x^2$, ytre $f(u) = e^u$. I $m(x) = \ln(\sin x)$ er logaritmen ytterst: indre $\sin x$, ytre $\ln u$. I $n(x) = \sqrt{1-x^2}$ er roten ytterst: indre $1 - x^2$, ytre $\sqrt{u}$.

Vær presis på forskjellen mellom nære slektninger: $\ln(\sin x)$ og $\sin(\ln x)$ inneholder de samme to funksjonene, men kjedene går hver sin vei -- og det er to helt forskjellige funksjoner. Komposisjon er som setningsbygning: ordene er like, men rekkefølgen avgjør meningen.

Denne demonteringen kan virke som et tørt ritual nå, men den er selve forarbeidet til derivasjon: kjerneregelen krever at du peker på indre og ytre funksjon før* du kan derivere. Trener du blikket nå, blir kapittel 3 en nedoverbakke.

Frampek: kjernen og kjerneregelen

Hvorfor har vi terpet på indre og ytre funksjon? Her er gevinsten. Når du i kapittel 3 skal derivere en sammensatt funksjon, gjelder kjerneregelen:

$$\left(f(g(x))\right)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Den indre funksjonen $g(x)$ kalles kjernen. Regelen sier: deriver den ytre funksjonen som om kjernen var en enkel variabel, sett kjernen inn igjen -- og gang til slutt med den deriverte av kjernen. Det siste leddet er det alle glemmer, så legg det på minnet allerede nå.

La oss ta en forsmak med $h(x) = (2x+1)^3$. Demonteringen først, slik vi har trent: kjerne $g(x) = 2x + 1$, ytre funksjon $f(u) = u^3$. Så deriverer vi hver del: $f'(u) = 3u^2$ og $g'(x) = 2$. Kjerneregelen setter sammen:

$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$$

Sammenlign med å gange ut $(2x+1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$ og derivere ledd for ledd: $24x^2 + 24x + 6 = 6(4x^2 + 4x + 1) = 6(2x+1)^2$. Samme svar -- men kjerneregelen skalerer. For $(2x+1)^{50}$ eller $e^{x^2}$ finnes ingen «gang ut»-utvei; der er kjerneregelen eneste farbare vei.

Den fullstendige behandlingen kommer i kapittel 3. Poenget her er at du nå ser strukturen som gjør regelen mulig: hver sammensatt funksjon har en kjerne, og det å identifisere den er ikke lenger noe mysterium -- det er håndverket du nettopp har lært.

Fortellingen i et nøtteskall

Bildefiltre i pipeline, trykk som avhenger av høyde som avhenger av tid: verden kobler funksjoner i serie, og matematikkens navn for det er komposisjon: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, der den indre funksjonen $g$ virker først og den ytre funksjonen $f$ tar over resultatet.

To innsikter bærer kapittelet. Den første: rekkefølgen betyr noe. $(f \circ g)$ og $(g \circ f)$ er som regel forskjellige funksjoner -- $(x+3)^2$ er ikke $x^2 + 3$. Kjeder leses alltid innenfra og ut, også når tre eller flere funksjoner står i serie.

Den andre: enhver sammensatt funksjon kan demonteres, og spørsmålet som åpner den er «hva er det ytterste jeg gjør med $x$?» I $(3x-2)^5$ er femtepotensen ytterst og $3x-2$ innerst; i $e^{x^2}$ er $e$-funksjonen ytterst; i $\ln(\sin x)$ er logaritmen ytterst. Den siste operasjonen på kalkulatoren er alltid den ytre funksjonen.

Og så frampeket som gir det hele retning: kjerneregelen $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$, der den indre funksjonen er kjernen. Deriver den ytre med kjernen urørt, og gang med kjernens deriverte. Forsmaken $h(x) = (2x+1)^3 \Rightarrow h'(x) = 6(2x+1)^2$ viste maskineriet i sving.

Komposisjon er limet i funksjonslæren: omvendte funksjoner er kjeder som opphever hverandre ($f^{-1}(f(x)) = x$), og derivasjonsreglene i kapittel 3 hviler på at du ser kjedene. Blikket er trent -- nå er du klar.