2.2 Omvendte funksjoner

Maskinen som går baklengs

Hver gang du logger inn på nettbanken, skjer det en samtale i to retninger: meldingen din krypteres -- forvandles til uleselig kode -- og hos mottakeren dekrypteres den tilbake til klartekst. Dekrypteringen må angre krypteringen perfekt: hver eneste kodet melding må føre tilbake til nøyaktig den klarteksten den kom fra. Krypteringen er en funksjon; dekrypteringen er dens omvendte funksjon.

Tanken om å «angre» en funksjon dukker opp overalt. Termometeret regner celsius om til fahrenheit med $F = 1{,}8C + 32$; den omvendte funksjonen regner tilbake. Eksponentialfunksjonen $e^x$ pakker inn, logaritmen $\ln x$ pakker ut -- det var jo nettopp invers-sammenhengen fra kapittel 1.2. Kvadratet og kvadratroten, dobling og halvering: matematikken er full av operasjonspar som opphever hverandre.

Men legg merke til noe ved krypteringseksempelet: angringen er bare mulig fordi to ulike meldinger aldri får samme kode. Hadde både «JA» og «NEI» blitt kryptert til samme tegnstreng, ville dekrypteringen stått hjelpeløs -- hvilken melding var det? Dette er kapittelets dypeste poeng: en funksjon kan bare reverseres hvis den aldri sender to ulike innverdier til samme utverdi. Slike funksjoner kalles en-til-en.

I dette kapittelet lærer du å avgjøre når en omvendt funksjon finnes, å regne den ut, og å se det vakre geometriske båndet mellom en funksjon og dens omvendte: grafene deres er speilbilder om linjen $y = x$.

Når kan en funksjon angres?

Den omvendte funksjonen $f^{-1}$ er definert ved at den snur sammenhengen:

$$f^{-1}(y) = x \quad \Leftrightarrow \quad f(x) = y$$

Setter du de to sammen, opphever de hverandre: $f^{-1}(f(x)) = x$ og $f(f^{-1}(y)) = y$. En viktig advarsel om notasjonen med en gang: $f^{-1}$ betyr ikke $\displaystyle \frac{1}{f}$. Det er et navn på den omvendte funksjonen, ikke en potens.

Når finnes $f^{-1}$? Husk dekrypteringsproblemet: hvis to meldinger får samme kode, kan ingen angre. Kravet er at $f$ er en-til-en (injektiv): ulike innverdier gir alltid ulike utverdier, altså $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$. Grafisk har en-til-en en elegant test: hver horisontal linje skjærer grafen i høyst ett punkt. En horisontal linje samler jo alle punkter med samme $y$-verdi -- skjærer den grafen to ganger, finnes det to $x$-er med samme $y$, og angringen bryter sammen.

Test noen kandidater. $f(x) = 2x + 3$: hvis $2x_1 + 3 = 2x_2 + 3$, må $x_1 = x_2$ -- en-til-en, invers finnes. $h(x) = e^x$ er strengt voksende, så to ulike $x$-verdier gir alltid ulike funksjonsverdier -- en-til-en. Men $g(x) = x^2$ stryker på testen: $g(-2) = g(2) = 4$, to innverdier med samme utverdi. Parabelen skjæres to ganger av linjen $y = 4$.

Likevel er ikke alt håp ute for $x^2$. Begrenser vi definisjonsmengden til $x \geq 0$, beholder vi bare høyre halvdel av parabelen -- og den er strengt voksende og en-til-en. Det er nøyaktig derfor kvadratroten finnes: $\sqrt{x}$ er den omvendte av $x^2$ på $[0, \infty)$. Å skreddersy definisjonsmengden er et standardtriks for å gjøre funksjoner reversible.

Å regne ut den omvendte funksjonen

Når den omvendte funksjonen finnes, finner vi den med en fast oppskrift i tre steg: skriv $y = f(x)$, løs ligningen for $x$, og bytt om $x$ og $y$ til slutt (slik at den nye funksjonen også får hete «$y$ av $x$»).

Enkleste tilfelle først: $f(x) = 2x + 3$. Vi skriver $y = 2x + 3$, løser for $x$: $\displaystyle x = \frac{y-3}{2}$, og bytter navn: $\displaystyle f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$. Legg merke til logikken i svaret: $f$ ganger med to og legger til tre; $f^{-1}$ trekker fra tre og deler på to -- omvendte operasjoner i omvendt rekkefølge, akkurat som når du tar av deg skoene før sokkene.

Samme oppskrift takler tredjegrad: $g(x) = x^3 - 1$ gir $y + 1 = x^3$, så $x = \sqrt[3]{y+1}$ og $g^{-1}(x) = \sqrt[3]{x+1}$. Og den takler brøker, med litt mer fingerarbeid: for $\displaystyle h(x) = \frac{x+1}{x-2}$ ganger vi opp, $y(x-2) = x+1$, samler alle $x$-ledd på én side, $x(y-1) = 2y+1$, og får $\displaystyle h^{-1}(x) = \frac{2x+1}{x-1}$.

De mest lærerike eksemplene involverer eksponential- og logaritmefunksjoner, for der er «angringen» selve invers-sammenhengen fra kapittel 1.2. For $f(x) = e^{2x}$: ta $\ln$ på begge sider, $\ln y = 2x$, så $\displaystyle f^{-1}(x) = \frac{\ln x}{2}$ -- med definisjonsmengde $(0, \infty)$, siden bare positive tall har logaritme. For $g(x) = \ln(x-1) + 2$ går vi motsatt vei: $y - 2 = \ln(x-1)$ gir $e^{y-2} = x - 1$, så $g^{-1}(x) = e^{x-2} + 1$. Logaritmen løses opp med eksponentialfunksjonen, og omvendt -- de to familiene er hverandres omvendte funksjoner, i ordets presise forstand.

Speilbildet i linjen $y = x$

Det fineste ved omvendte funksjoner er geometrien deres. Hvis punktet $(a, b)$ ligger på grafen til $f$ -- altså $f(a) = b$ -- så sier definisjonen at $f^{-1}(b) = a$, så punktet $(b, a)$ ligger på grafen til $f^{-1}$. Hvert punkt får koordinatene sine byttet om. Og å bytte $x$- og $y$-koordinater er nøyaktig det samme som å speile punktet om linjen $y = x$, diagonalen i koordinatsystemet.

Dermed: grafen til $f^{-1}$ er speilbildet av grafen til $f$ om linjen $y = x$. Tegn $e^x$ og $\ln x$ i samme koordinatsystem, og du ser to kurver som bøyer seg mot hverandre i perfekt speilsymmetri om diagonalen. Det samme gjelder $x^2$ (for $x \geq 0$) og $\sqrt{x}$ -- høyrehalvdelen av parabelen og rotkurven er speiltvillinger.

Speilingen forklarer også hva som skjer med definisjonsmengde og verdimengde. Når alle punkter bytter koordinater, bytter de to mengdene rolle:

$$D_{f^{-1}} = V_f \qquad \text{og} \qquad V_{f^{-1}} = D_f$$

Innverdiene til den omvendte funksjonen er jo nettopp utverdiene til originalen -- dekrypteringen tar imot nøyaktig de kodene krypteringen produserer.

Et komplett eksempel samler trådene. La $f(x) = \sqrt{x}$ med $D_f = [0, \infty)$ og $V_f = [0, \infty)$. Oppskriften gir $y = \sqrt{x}$, altså $x = y^2$, så $f^{-1}(x) = x^2$ -- men bare på $D_{f^{-1}} = V_f = [0, \infty)$! Den omvendte er ikke hele parabelen, bare høyre halvdel. Begrensningen er ikke pedanteri; den er selve grunnen til at paret fungerer som funksjon og omvendt funksjon. Hver gang du oppgir en omvendt funksjon, hører definisjonsmengden med til svaret.

Fortellingen i et nøtteskall

Kryptering og dekryptering viste oss ideen: en omvendt funksjon $f^{-1}$ angrer $f$, presist uttrykt ved $f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y$, slik at $f^{-1}(f(x)) = x$. Og husk: $f^{-1}$ er et navn, ikke brøken $\displaystyle \frac{1}{f}$.

Angring krever entydighet. Bare en-til-en-funksjoner -- der ulike innverdier alltid gir ulike utverdier -- kan reverseres. Den grafiske testen er horisontale linjer: skjærer ingen av dem grafen mer enn én gang, er funksjonen en-til-en. Strengt voksende eller strengt avtagende funksjoner består alltid testen; $x^2$ stryker på hele $\mathbb{R}$, men består når vi begrenser til $x \geq 0$ -- og det er slik kvadratroten blir til.

Selve utregningen følger tre steg: skriv $y = f(x)$, løs for $x$, bytt om $x$ og $y$. Lineære funksjoner, tredjegradsuttrykk, brøker -- og ikke minst eksponential- og logaritmefunksjoner, som viser seg å være hverandres omvendte: $e^x$ og $\ln x$ pakker inn og pakker ut.

Geometrien binder alt sammen: grafene til $f$ og $f^{-1}$ er speilbilder om linjen $y = x$, fordi hvert punkt $(a, b)$ blir til $(b, a)$. Av samme grunn bytter mengdene plass: $D_{f^{-1}} = V_f$ og $V_{f^{-1}} = D_f$.

Omvendte funksjoner er mer enn et kapittel -- de er et tankemønster. Hver gang du «løser en ligning», kjører du i praksis en funksjon baklengs. Og i derivasjonskapitlene får speilingen om $y = x$ et overraskende etterspill for tangentene.