Tilbake
3.4
Alle fag for Høyskole

3.4 t-regnestykket — fra varians til t

Den komplette regnesekvensen for togruppesammenligning — varians → SD → SE → SE(D) → t — slik den sto på eksamen 2018–2021, med tolkning av hva tallet betyr som mål, ikke formelpugging.

50 min
4 oppgaver
t-regnestykketfra varians til t
Din fremgang i kapitlet
0 / 4 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Dette kapitlet bygger på kap. 3.3 (standardfeil og slutningslogikk) og kap. 3.1 (varians og standardavvik).

Sist du var her (nøkkelformlene oppfrisket):

- s2=∑(x−xˉ)2n−1s^2 = \dfrac{\sum(x - \bar{x})^2}{n-1} og SD=s2SD = \sqrt{s^2} (fra 3.1).
- SE=SDnSE = \dfrac{SD}{\sqrt{n}} — standardfeilen til ett gjennomsnitt (fra 3.3).
- At SESE måler hvor presist et gjennomsnitt er bestemt (ikke spredningen mellom personer).

Dette kapitlet setter alt sammen til én kjede for å sammenligne to grupper. Ha formlene over friskt i minne.

Hverdagsanker. To undervisningsmetoder gir gjennomsnittsskårer på 24 og 21. Er de 3 poengene en ekte forskjell mellom metodene — eller kunne to tilfeldige grupper lett spriket så mye av seg selv? For å svare må vi måle forskjellen mot støyen: hvor stor er 3-poengsdifferansen sammenlignet med hvor mye slike gjennomsnitt normalt varierer? Det er akkurat det t-observatoren gjør.

t er ikke en formel å pugge, men en kjede av meningsbærende ledd: varians per gruppe → SD → SE per gruppe → SE for differansen SE(D) → t. Vi bygger den ledd for ledd, med et fullt gjennomregnet eksempel og en øvingsstige som ender på eksamensnivå. ~50 min.

Løkke 1 — Hva t «ser»: differanse målt i standardfeil (~15 min)

t-observatoren
t sammenligner den observerte forskjellen mellom to gruppegjennomsnitt med hvor mye slike forskjeller normalt varierer (standardfeilen for differansen):

t=xˉ1−xˉ2SE(D)t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{SE(D)}

t er altså differansen målt i standardfeil-enheter. En stor ∣t∣|t| betyr at forskjellen er stor relativt til støyen — usannsynlig hvis gruppene egentlig er like (H0H_0 sann). En liten ∣t∣|t| betyr at forskjellen lett kan skyldes tilfeldig utvalgsvariasjon.

Standardfeilen for differansen, SE(D)
Når vi sammenligner to grupper, trenger vi standardfeilen til forskjellen mellom gjennomsnittene:

SE(D)=Sp1n1+1n2SE(D) = S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}

der SpS_p er det samlede (poolede) standardavviket — en vektet sammenslåing av spredningen i begge gruppene. SE(D) spiller for differansen samme rolle som SE spilte for ett gjennomsnitt i kap. 3.3: den sier hvor mye differansen typisk varierer på grunn av tilfeldig utvalgsvariasjon.

Hvorfor store |t| gir små p

t og p henger sammen: jo lenger fra null t ligger (stor ∣t∣|t|), jo lenger ute i halen av utvalgsfordelingen ligger resultatet — og desto mindre er sannsynligheten (p) for å få noe så ekstremt hvis H0H_0 er sann.

- Stor ∣t∣|t| (f.eks. 3,2) ⟹ liten p (f.eks. 0,002) ⟹ forskjellen er vanskelig å forklare med tilfeldighet ⟹ vi forkaster H0H_0.
- Liten ∣t∣|t| (f.eks. 0,5) ⟹ stor p ⟹ forskjellen kan lett være tilfeldig ⟹ vi beholder H0H_0.

Selve p-tolkningen og hypotesene får full dybde i Del 4; her er poenget å se hvordan tallet bygges opp og at t og p peker motsatt vei.

Figuren under viser t-fordelingen: null i sentrum, halene ute på sidene. Små ∣t∣|t| ligger midt i (sannsynlig under H0H_0); store ∣t∣|t| havner i halen, der p er liten.

📝Oppgave 3.4.1
(Eksamenssjanger T3 — regne-/tolkningsoppgaven. Lett innstegsoppgave: bare siste ledd i kjeden.)

To grupper har gjennomsnitt xˉ1=15\bar{x}_1 = 15 og xˉ2=13\bar{x}_2 = 13, og standardfeilen for differansen er oppgitt: SE(D)=0,5SE(D) = 0{,}5. Bruk t=xˉ1−xˉ2SE(D)\displaystyle t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{SE(D)}.

a) Regn ut t.
b) Tolk hva tallet betyr, uten å regne p.

Løkke 2 — Hele kjeden fra rådata til t (~22 min)

— naturlig pausepunkt før den fulle sekvensen —

📜Hele t-kjeden (togruppe-sammenligning)

For to grupper regner du deg gjennom denne kjeden — hvert ledd oppgis som formel på eksamen:

1. Varians per gruppe: s2=∑(x−xˉ)2n−1s^2 = \dfrac{\sum(x-\bar{x})^2}{n-1}
2. SD per gruppe: SD=s2SD = \sqrt{s^2}
3. Samlet SD (poolet): Sp=(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2S_p = \sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}
4. SE for differansen: SE(D)=Sp1n1+1n2SE(D) = S_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}
5. t-observatoren: t=xˉ1−xˉ2SE(D)t = \dfrac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{SE(D)}

Til slutt sammenlignes oppgitt p mot signifikansnivået α\alpha (som regel 0,05). Rund først helt til slutt — avrunding underveis gir avrundingskaskader.

✏️Eksempel 1 — Full sekvens med margkommentar per steg

To undervisningsmetoder testes. Gruppe 1 (ny metode) og gruppe 2 (vanlig metode) får hver n=9n = 9 elever. Skårene (poeng) er:

- Gruppe 1: 5,5,6,7,7,7,8,9,95, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9
- Gruppe 2: 3,3,4,5,5,5,6,7,73, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7

Bruk formlene i kjeden over. Regn deg helt fram til t, og tolk resultatet. (Oppgitt p for denne t-verdien er 0,012.)

Steg 1 — gjennomsnitt. Gruppe 1: sum =63= 63, xˉ1=63/9=7,0\bar{x}_1 = 63/9 = 7{,}0. Gruppe 2: sum =45= 45, xˉ2=45/9=5,0\bar{x}_2 = 45/9 = 5{,}0. Margkommentar: differansen er 2 poeng — men er den stor nok?

Steg 2 — varians per gruppe. Avvik fra 7 i gruppe 1: −2,−2,−1,0,0,0,1,2,2-2,-2,-1,0,0,0,1,2,2; kvadrert: 4,4,1,0,0,0,1,4,44,4,1,0,0,0,1,4,4; sum =18= 18. s12=18/(9−1)=18/8=2,25s_1^2 = 18/(9-1) = 18/8 = 2{,}25. Gruppe 2 har nøyaktig samme avviksmønster (bare forskjøvet ned to poeng), så s22=2,25s_2^2 = 2{,}25 også. Margkommentar: del på n−1=8n-1 = 8, ikke 9 — utvalgsvarians.

Steg 3 — SD per gruppe. SD1=SD2=2,25=1,5SD_1 = SD_2 = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5. Margkommentar: tilbake til poeng-skala.

Steg 4 — samlet SD. Siden gruppene er like store og har lik varians:

Sp=(9−1)⋅2,25+(9−1)⋅2,259+9−2=18+1816=2,25=1,5S_p = \sqrt{\frac{(9-1)\cdot 2{,}25 + (9-1)\cdot 2{,}25}{9 + 9 - 2}} = \sqrt{\frac{18 + 18}{16}} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5

Steg 5 — SE for differansen.

SE(D)=1,519+19=1,529=1,5×0,4714≈0,707SE(D) = 1{,}5\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{9}} = 1{,}5\sqrt{\frac{2}{9}} = 1{,}5 \times 0{,}4714 \approx 0{,}707

Margkommentar: SE(D) er den typiske tilfeldige variasjonen i en slik differanse.

Steg 6 — t.

t=7,0−5,00,707=20,707≈2,83t = \frac{7{,}0 - 5{,}0}{0{,}707} = \frac{2}{0{,}707} \approx 2{,}83

Tolkning (siste ledd — alltid i ord): differansen på 2 poeng tilsvarer omtrent 2,83 standardfeil. Det er en betydelig forskjell relativt til den tilfeldige variasjonen. Oppgitt p=0,012p = 0{,}012, som er mindre enn α=0,05\alpha = 0{,}05 — vi forkaster H0H_0 og konkluderer at den nye metoden gir høyere skår i populasjonen. (Merk at ved et strengere α=0,01\alpha = 0{,}01 ville p=0,012p = 0{,}012 ikke nådd grensen — da beholdt vi H0H_0.)

📝Oppgave 3.4.2
(Eksamenssjanger T3 — regn t fra oppgitte varianser, gjenganger.)

To grupper med n1=n2=18n_1 = n_2 = 18 har xˉ1=15\bar{x}_1 = 15, xˉ2=13\bar{x}_2 = 13, og oppgitt varians s12=s22=4s_1^2 = s_2^2 = 4. Bruk Sp=(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2\displaystyle S_p = \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}, SE(D)=Sp1n1+1n2\displaystyle SE(D) = S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}} og t=xˉ1−xˉ2SE(D)\displaystyle t = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{SE(D)}.

a) Finn samlet SD SpS_p.
b) Regn SE(D).
c) Regn t og tolk. (Oppgitt p = 0,005.)

📝Oppgave 3.4.3
(Eksamenssjanger T3/T2 — full sekvens fra rådata på eksamensnivå. (krevende).)

To behandlingsgrupper med n1=n2=8n_1 = n_2 = 8 måles på et bedringsmål (høyere = bedre). Rådata:

- Gruppe A: 15,16,17,18,18,19,20,2115, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 21 (oppgitt xˉA=18\bar{x}_A = 18, sA2=4s_A^2 = 4)
- Gruppe B: 12,13,14,15,15,16,17,1812, 13, 14, 15, 15, 16, 17, 18 (oppgitt xˉB=15\bar{x}_B = 15, sB2=4s_B^2 = 4)

Bruk kjeden: Sp=(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2\displaystyle S_p = \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}, SE(D)=Sp1n1+1n2\displaystyle SE(D) = S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}, t=xˉ1−xˉ2SE(D)\displaystyle t = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{SE(D)}.

a) Regn samlet SD SpS_p.
b) Regn SE(D).
c) Regn t, og sammenlign oppgitt p = 0,009 mot både α = 0,05 og α = 0,01.

📝Oppgave 3.4.4
(Eksamenssjanger T2 — hva t ser og ikke ser. (krevende): tolkning, ikke bare regning.)

En studie med svært store grupper (n1=n2=5000n_1 = n_2 = 5000) finner xˉ1=50,2\bar{x}_1 = 50{,}2, xˉ2=50,0\bar{x}_2 = 50{,}0, og en t-verdi som gir oppgitt p = 0,001.

a) Er forskjellen statistisk signifikant ved α = 0,05?
b) Betyr det at forskjellen er viktig? Forklar hva t «ser» og ikke ser, og koble til SE(D).

Begrepsbank — t-kjeden

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget over gjelder kjernestoffet.

t = differanse ÷ standardfeil

t er et forholdstall: teller = observert forskjell mellom gjennomsnittene, nevner = standardfeilen for differansen (den tilfeldige variasjonen). t sier hvor mange standardfeil forskjellen utgjør. Stor ∣t∣|t| = stor forskjell relativt til støyen.

Samlet (poolet) standardavvik Sp
SpS_p slår sammen spredningen i begge grupper til ett felles anslag, vektet etter frihetsgradene: Sp=(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2\displaystyle S_p = \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}. Det brukes fordi t-testen antar at gruppene har lik populasjonsvarians. Ved like store grupper med lik varians blir SpS_p ganske enkelt s2\sqrt{s^2}.
SE(D) ↔ SE
SE (kap. 3.3) er standardfeilen til ett gjennomsnitt. SE(D) er standardfeilen til differansen mellom to gjennomsnitt. SE(D) er alltid større enn hver enkelt gruppes SE, fordi differansen arver usikkerhet fra begge grupper.
Stor |t| ↔ liten p

t og p peker motsatt vei: stor ∣t∣|t| (langt fra 0) ⟹ liten p (resultatet ligger ute i halen, usannsynlig under H0H_0) ⟹ forkast. Liten ∣t∣|t| (nær 0) ⟹ stor p ⟹ behold H0H_0. p leses fra t via utvalgsfordelingen (t-fordelingen).

Signifikans ≠ viktighet

En signifikant t (p<αp < \alpha) sier bare at forskjellen trolig er ekte, ikke at den er stor eller praktisk viktig. Med store utvalg blir SE(D) liten, og trivielle differanser gir signifikant t. Rapporter derfor alltid effektstørrelsen (differansens faktiske størrelse), ikke bare p.

Frihetsgrader i t-testen

For en togruppe-t er frihetsgradene n1+n2−2n_1 + n_2 - 2 (vi «bruker opp» ett gjennomsnitt per gruppe). Frihetsgradene bestemmer formen på t-fordelingen p leses fra: færre frihetsgrader ⟹ tykkere haler ⟹ det kreves større ∣t∣|t| for samme p.

Avrunding: rund bare til slutt

Hold flere desimaler gjennom hele t-kjeden og rund først i sluttsvaret. Runder du SpS_p, SE(D) og t hver for seg, akkumuleres avrundingsfeil (en «avrundingskaskade») som kan flytte t nok til å endre konklusjonen mot p.

Hva t ser og ikke ser

t ser forskjellen mellom gruppene relativt til støyen (SE(D)). t ser ikke om forskjellen er stor eller viktig i seg selv — bare om den er stor sammenlignet med tilfeldig variasjon. Derfor kan store utvalg gjøre trivielle forskjeller signifikante: forstå tallet, ikke bare regn det.

Signifikansnivået α
α\alpha er grensen p sammenlignes mot — vanligvis 0,05. Er oppgitt p≤αp \leq \alpha, forkaster vi H0H_0; er p>αp > \alpha, beholder vi den. Et strengere α\alpha (0,01) krever et mer ekstremt resultat (større ∣t∣|t|) for samme konklusjon. Å bytte α\alpha midt i en oppgave er et vanlig deloppgaveledd.
H0 og H1 i togruppe-t
H0H_0 (nullhypotesen): de to populasjonsgjennomsnittene er like (μ1=μ2\mu_1 = \mu_2), altså ingen ekte forskjell. H1H_1: de er ulike (μ1≠μ2\mu_1 \neq \mu_2). t-testen spør hvor usannsynlig den observerte differansen er hvis H0H_0 er sann. Merk: hypotesene handler om populasjonene (μ\mu), ikke om utvalgssnittene (dybde i Del 4).
Repetisjon — pensumkart for 3.4
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Innholdet er læringsstoff, ikke helse- eller medisinske råd. Les mer.