2.4 Normalfordeling og usikkerhet

Normalfordeling og uvisse

I førre kapittel lærte vi å lage diagram for å visualisere data. Ei av dei vanlegaste formene vi ser i histogram med mange observasjonar, er den karakteristiske bjelleforma – normalfordelinga. Denne fordelinga er så viktig at ho blir kalla «ryggrada til statistikken».

Vi skal òg sjå på noko som er grunnleggjande i all naturvitskap: uvisse. Inga måling er perfekt, og det er avgjerande å forstå og kommunisere kor uvisse resultata våre er.

68–95–99,7-regelen (empirisk regel)

For normalfordelte data gjeld følgjande tommelfingerregel:

- Ca. 68 % av verdiane ligg innanfor 1 standardavvik frå gjennomsnittet ($\mu \pm 1\sigma$)
- Ca. 95 % av verdiane ligg innanfor 2 standardavvik frå gjennomsnittet ($\mu \pm 2\sigma$)
- Ca. 99,7 % av verdiane ligg innanfor 3 standardavvik frå gjennomsnittet ($\mu \pm 3\sigma$)

Denne regelen gjer det mogleg å raskt vurdere om ein observasjon er typisk eller uvanleg. Ein verdi som er meir enn 2 standardavvik frå gjennomsnittet, er uvanleg (berre 5 % av verdiane). Ein verdi meir enn 3 standardavvik frå gjennomsnittet er svært sjeldan (berre 0,3 %).

Eksempel på normalfordeling i verkelegheita

Mange naturfenomen og målingar er tilnærma normalfordelte:
- Høgd hos vaksne av same kjønn og etnisitet
- Fødselsvekt hos spedbarn
- Målefeil ved gjentekne målingar av same storleik
- IQ-score i ein populasjon (gjennomsnitt 100, standardavvik 15)
- Blodtrykk hos friske vaksne

Korleis redusere uvisse

Det finst fleire strategiar for å redusere uvisse i målingar:

1. Gjenta målinga: Ta mange målingar og berekn gjennomsnittet. Tilfeldige feil vil då jamne seg ut. Standardavviket til gjennomsnittet (standardfeilen) avtek med $\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, der $n$ er talet på målingar.

2. Bruk betre utstyr: Eit digitalt termometer med 0,1 °C presisjon gjev lågare uvisse enn eit analogt med 1 °C presisjon.

3. Kontroller forholda: Mål i stabile omgivnader utan forstyrrande faktorar.

4. Kalibrer utstyret: Sjekk utstyret mot ein kjend standard for å avdekkje systematiske feil.

5. Bruk rett teknikk: Avles rett, unngå parallaksefeil, følg prosedyrar nøyaktig.

Konfidensintervall

Eit konfidensintervall er eit intervall som med eit angitt sannsyn inneheld den sanne verdien av det vi måler. Det er ein formell måte å uttrykkje uvisse på.

95 % konfidensintervall tyder at dersom vi gjentek undersøkinga mange gonger, vil ca. 95 av 100 intervall innehalde den sanne verdien.

For normalfordelte data med kjent standardavvik blir 95 % konfidensintervall berekna slik:

$$\bar{x} \pm 1{,}96 \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

der $\bar{x}$ er gjennomsnittet, $s$ er standardavviket og $n$ er talet på observasjonar.

I praksis: Når du les at «gjennomsnittstemperaturen var $15{,}3 \pm 0{,}4$ °C (95 % konfidensintervall)», tyder det at vi med 95 % visse kan seie at den sanne gjennomsnittstemperaturen ligg mellom 14,9 og 15,7 °C.

Viktig: Konfidensintervallet blir smalare når:
- Vi aukar talet på observasjonar ($n$ blir større)
- Spreiinga i dataa er liten ($s$ er liten)
- Vi aksepterer lågare konfidensnivå (t.d. 90 % i staden for 95 %)

Oppsummering

- Normalfordelinga er ei symmetrisk, bjelleforma fordeling bestemt av gjennomsnitt ($\mu$) og standardavvik ($\sigma$).
- 68–95–99,7-regelen: Ca. 68 %, 95 % og 99,7 % av verdiane ligg innanfor høvesvis 1, 2 og 3 standardavvik frå gjennomsnittet.
- Måleuvisse finst i alle målingar. Vi skil mellom systematiske feil (konstante, korrigerbare) og tilfeldige feil (varierande, blir reduserte ved gjentekne målingar).
- Resultat bør oppgjevast som $\text{verdi} \pm \text{uvisse}$.
- Konfidensintervall angir eit intervall som med eit gitt sannsyn inneheld den sanne verdien.
- Uvissa blir redusert med fleire målingar ($\displaystyle \propto \frac{1}{\sqrt{n}}$), betre utstyr og kontrollerte forhold.