5.2 Hypotesetesting | Matematikk S2

Teste hypotesar om forventingsverdi og del.

65 min

26 oppgaver

HypotesetestNullhypoteseAlternativ hypotesep-verdiSignifikansnivå

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 26 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Estimering

Brukes videre i

5.3Feiltyper og teststyrke

Kva er hypotesetesting?

Hypotesetesting er ein systematisk metode for å avgjere om data gir nok bevis til å forkaste ein påstand om populasjonen.

Døme på spørsmål:
- Har ein ny medisin betre effekt enn placebo?
- Er det skilnad i gjennomsnittsinntekt mellom to grupper?
- Har eit politisk parti meir enn 10 % oppslutning?

Vi startar med ein føresetnad (hypotese) og undersøkjer om dataa er foreinlege med denne føresetnaden.

Nullhypotese og alternativ hypotese

H_0

Situasjon	$H_0$	$H_1$
Er gjennomsnittet lik 50?	$\mu = 50$	$\mu \neq 50$
Er andelen over 0,30?	$p = 0{,}30$	$p > 0{,}30$
Er gjennomsnittet lågare enn 100?	$\mu = 100$	$\mu < 100$

Testobservator og p-verdi

Ein testobservator (teststatistikk) er ein verdi vi reknar ut frå utvalsdata for å måle kor langt unna $H_0$ resultatet er.

For testing av $\mu$ (kjend $\sigma$ eller stor $n$ ):
$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$

For testing av andel $p$ :
$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}}}$

der $\mu_0$ og $p_0$ er verdiane frå nullhypotesen.

P-verdi

H_0

Signifikansnivå

\alpha

\alpha

Framgangsmåte for hypotesetest

Formuler hypotesane $H_0$ og $H_1$ .

Vel signifikansnivå $\alpha$ (vanlegvis 0,05).

Rekn ut testobservatoren $z$ .

Finn p-verdien.

Konkluder: Forkast eller ikkje forkast $H_0$ .

Tolk resultatet i kontekst.

✏️Tosidig z-test for gjennomsnitt

Ein produsent hevdar at gjennomsnittsvekta er $\mu = 500$ g. Eit utval på $n = 64$ gir $\bar{x} = 497{,}5$ g og $s = 8$ g. Test påstanden med $\alpha = 0{,}05$ .

H_0: \mu = 500

mot

H_1: \mu \neq 500

(tosidig)

$\alpha = 0{,}05$

Testobservator:
$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{497{,}5 - 500}{8/\sqrt{64}} = \frac{-2{,}5}{1} = -2{,}50$

P-verdi (tosidig):
$p\text{-verdi} = 2 \cdot P(Z > 2{,}50) = 2 \cdot 0{,}0062 = 0{,}0124$

Sidan $p\text{-verdi} = 0{,}0124 < 0{,}05 = \alpha$ , forkastar vi $H_0$ .

Svar: Det er statistisk signifikant bevis for at gjennomsnittsvekta er ulik 500 g. Dataa tyder på at produkta er lettare enn oppgitt.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Forkastingsområde i ein hypotesetest

Standard normalfordeling med forkastingsområdet (raudt) for ein einsidig test på 5 %-nivå: vi forkastar

H_0

dersom testobservatoren er større enn

1{,}645

. Det raude arealet er nøyaktig

0{,}05

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = Normal(0, 1, x, false)
a = Integral(f, 1.645, 4)
SetColor(f, "Blue")
SetColor(a, "Red")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Einsidig z-test for andel

Eit parti hevdar dei har minst 15 % oppslutning. I ei undersøking svarte 52 av 400 at dei ville stemt på partiet. Test om oppslutninga er lågare enn 15 % med $\alpha = 0{,}05$ .

H_0: p = 0{,}15

mot

H_1: p < 0{,}15

(einsidig, venstre)

$\alpha = 0{,}05$

$\displaystyle \hat{p} = \frac{52}{400} = 0{,}13$

$\begin{aligned} z &= \frac{0{,}13 - 0{,}15}{\sqrt{\frac{0{,}15 \cdot 0{,}85}{400}}} \\ &= \frac{-0{,}02}{\sqrt{0{,}00031875}} \\ &\approx \frac{-0{,}02}{0{,}01786} \\ &\approx -1{,}12 \end{aligned}$

P-verdi (einsidig, venstre):
$p\text{-verdi} = P(Z < -1{,}12) \approx 0{,}131$

Sidan $p\text{-verdi} = 0{,}131 > 0{,}05 = \alpha$ , forkastar vi ikkje $H_0$ .

Svar: Vi har ikkje statistisk grunnlag for å hevde at oppslutninga er lågare enn 15 %. Resultatet er ikkje signifikant.

Einsidig vs. tosidig test

Type	$H_1$	P-verdi	Blir brukt når
Tosidig	$\mu \neq \mu_0$	$2P(Z > \|z\|)$	Vi undersøkjer om det er skilnad, uavhengig av retning
Einsidig høgre	$\mu > \mu_0$	$P(Z > z)$	Vi undersøkjer om verdien er større enn antatt
Einsidig venstre	$\mu < \mu_0$	$P(Z < z)$	Vi undersøkjer om verdien er mindre enn antatt

Viktig: Valet mellom einsidig og tosidig test blir gjort før ein ser på dataa. Ein einsidig test er meir «kraftfull» (lettare å forkaste

H_0

), men ein kan berre oppdage avvik i éi retning.

✏️Einsidig z-test for gjennomsnitt

Ein ny undervisningsmetode blir hevda å gi betre resultat. Tradisjonell metode gir $\mu_0 = 72$ poeng. Eit utval på 50 elevar med ny metode gir $\bar{x} = 74{,}8$ og $s = 9{,}5$ . Test om ny metode gir betre resultat med $\alpha = 0{,}05$ .

H_0: \mu = 72

mot

H_1: \mu > 72

(einsidig, høgre)

$\alpha = 0{,}05$

$z = \frac{74{,}8 - 72}{9{,}5/\sqrt{50}} \approx \frac{2{,}8}{1{,}3435} \approx 2{,}08$

P-verdi (einsidig, høgre):
$p\text{-verdi} = P(Z > 2{,}08) \approx 0{,}019$

Sidan $0{,}019 < 0{,}05$ , forkastar vi $H_0$ .

Svar: Det er statistisk signifikant bevis for at den nye undervisningsmetoden gir betre resultat enn den tradisjonelle (på 5 % signifikansnivå).

Konklusjon og tolking

Når vi formulerer konklusjonen, bør vi:

1. Vise til signifikansnivået: «På 5 % signifikansnivå...»
2. Bruke rett språk: «forkastar/forkastar ikkje $H_0$ »
3. Tolke i kontekst: Set om statistisk resultat til praktisk betydning

Forkasting av $H_0$ : «Det er statistisk signifikant bevis for at [alternativhypotesen].»

Ikkje forkasting: «Det er ikkje tilstrekkeleg bevis for å hevde at [alternativhypotesen]. Vi held på $H_0$ .»

Hugs at eit ikkje-signifikant resultat betyr ikkje at $H_0$ er sann - berre at dataa ikkje gir nok bevis til å forkaste han.

Test i binomisk modell

Når observasjonen er eit tal suksessar $X$ i $n$ uavhengige forsøk med same sannsyn $p$ , er $X$ binomisk fordelt. Under $H_0: p = p_0$ reknar vi p-verdien direkte i den binomiske fordelinga:

$H_1$	p-verdi
$p > p_0$	$P(X \geq k)$
$p < p_0$	$P(X \leq k)$

der

k

er det observerte talet, og sannsyna blir rekna med

p = p_0

. I GeoGebra gir Binomisk(n, p, k, true) sannsynet

P(X \leq k)

. Fordi

P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)

, blir

P(X \geq k)

rekna med 1 - Binomisk(n, p, k - 1, true). Sannsynskalkulatoren gir dei same tala.
Det kritiske talet er grensa for når vi forkastar

H_0

. For

H_1: p > p_0

er det den minste

k

slik at

P(X \geq k) \leq \alpha

. For

H_1: p < p_0

er det den største

k

slik at

P(X \leq k) \leq \alpha

✏️Test i binomisk modell

Siri mistenkjer at ein terning gir seks oftare enn han skal. Ho kastar terningen 20 gonger og får 8 seksarar.

a) Set opp hypotesar og test påstanden med signifikansnivå 5 %.

b) Finn det kritiske talet på seksarar.

a)
$X$ = talet på seksarar i 20 kast. Under $H_0$ er $X$ binomisk fordelt med $n = 20$ og $p = \dfrac{1}{6}$ .
$H_0: p = \dfrac{1}{6}$
$H_1: p > \dfrac{1}{6}$

1 - Binomisk(20, 1/6, 7, true) gir
$P(X \geq 8) \approx 0{,}0113$

$0{,}0113 < 0{,}05$ , så vi forkastar $H_0$ .

Svar: p-verdien er 0,0113. Det er grunnlag for å påstå at terningen gir seks oftare enn kvart sjette kast.

$k$	$6$	$7$	$8$
$P(X \geq k)$	$0{,}1018$	$0{,}0371$	$0{,}0113$

P(X \geq 6) > 0{,}05

P(X \geq 7) \leq 0{,}05

Svar: Det kritiske talet er 7 seksarar. Med 7 eller fleire seksarar i 20 kast forkastar vi

H_0

📝Oppgave 1

Løys oppgåvene:

Formuler $H_0$ og $H_1$ for: «Er gjennomsnittshøgda til norske menn ulik 180 cm?»

Formuler $H_0$ og $H_1$ for: «Har meir enn 40 % av elevane bestått?»

📝Oppgave 2

Løys oppgåvene:

Er $H_1: \mu < 100$ ein einsidig eller tosidig test?

Er $H_1: p \neq 0{,}5$ ein einsidig eller tosidig test?

📝Oppgave 3

Løys oppgåvene:

Ein test gir $z = 1{,}85$ og du gjennomfører ein tosidig test. Kva er p-verdien? (Bruk at $P(Z > 1{,}85) \approx 0{,}032$ )

Ville du forkasta $H_0$ på 5 % nivå? På 10 % nivå?

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene:

Kva betyr det at eit resultat er «statistisk signifikant på 5 % nivå»?

📝Oppgave 5

Løys oppgåvene:

Ein mynt blir kasta 200 gonger og viser kron 115 gonger. Test om mynten er rettferdig ( $p = 0{,}5$ ) med $\alpha = 0{,}05$ .

📝Oppgave 6

Løys oppgåvene:

Gjennomsnittleg reaksjonstid er normalt $\mu_0 = 250$ ms. Etter trening gir 40 deltakarar $\bar{x} = 243$ ms og $s = 22$ ms. Test om treninga reduserer reaksjonstida ( $\alpha = 0{,}05$ ).

📝Oppgave 7

Løys oppgåvene:

Ein nettbutikk hevdar at leveringstida er 3 dagar i gjennomsnitt. Du testar 100 leveransar og finn $\bar{x} = 3{,}4$ dagar og $s = 1{,}5$ dagar. Test påstanden med tosidig test og $\alpha = 0{,}05$ .

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene:

Av 500 spurde personar svarte 285 at dei støttar eit forslag. Test om meir enn halvparten støttar forslaget ( $\alpha = 0{,}05$ ).

📝Oppgave 9

Løys oppgåvene:

Forklar samanhengen mellom konfidensintervall og hypotesetesting (tosidig). Hint: Når forkastar vi $H_0: \mu = \mu_0$ ?

📝Oppgave 10

Løys oppgåvene:

Kvifor seier vi «forkastar ikkje $H_0$ » i staden for «aksepterer $H_0$ »?

📝Oppgave 11

Løys oppgåvene:

I ein kvalitetskontroll skal gjennomsnittslengda på boltar vere 50 mm. Eit utval på 80 boltar gir $\bar{x} = 50{,}3$ mm og $s = 1{,}2$ mm. Test med $\alpha = 0{,}01$ (tosidig). Er avviket bekymringsverdig?

📝Oppgave 12

Løys oppgåvene:

Eit legemiddelfirma hevdar at medisinen verkar for meir enn 60 % av pasientane. I ein studie vart 78 av 120 pasientar friske. Test påstanden med $\alpha = 0{,}05$ .

📝Oppgave 13

Løys oppgåvene:

Ei maskin skal fylle flasker med nøyaktig 330 ml. Testdata: $n = 50$ , $\bar{x} = 328{,}5$ ml, $s = 5$ ml. Gjennomfør ein fullstendig hypotesetest med $\alpha = 0{,}05$ og formuler ei praktisk tilråding.

📝Oppgave 14

Løys oppgåvene:

Gjennomfør same test som i førre oppgåve, men no med $n = 10$ (og same $\bar{x}$ og $s$ ). Kva blir resultatet? Kva betyr utvalsstorleiken for teststyrken?

📝Oppgave 15

Løys oppgåvene:

Temperaturmålingar i eit drivhus over 36 dagar gir $\bar{x} = 22{,}8°$ C og $s = 3{,}0°$ C. Målet er 22°C. Test om faktisk temperatur avvik frå målet med $\alpha = 0{,}10$ .

📝Oppgave 16

Løys oppgåvene:

Ei nettside hevdar konverteringsraten er 5 %. Etter ein redesign konverterer 68 av 1000 besøkjande. Test om redesignet har auka konverteringsraten ( $\alpha = 0{,}05$ ).

📝Oppgave 17

Løys oppgåvene:

Gjennomsnittleg score på ein nasjonal prøve er normalt 500 poeng. Ein skule med 45 elevar fekk $\bar{x} = 518$ og $s = 65$ . Test om skulen gjer det betre enn gjennomsnittet med $\alpha = 0{,}01$ .

📝Oppgave 18

Løys oppgåvene:

Ein forskar finn p-verdi $= 0{,}048$ i ein test med $\alpha = 0{,}05$ . Kollegaen bruker $\alpha = 0{,}01$ . Dei får ulik konklusjon. Korleis er dette mogleg, og kven har «rett»?

📝Oppgave 19

Ola påstår at han kan smake skilnad på to brusmerke. I ein blindtest får han 25 glas, og merket i kvart glas er valt tilfeldig. Han svarer rett på 18 glas.

Set opp hypotesar og test påstanden med signifikansnivå 5 %.

Finn det kritiske talet på rette svar.

Løs oppgaven

📝Oppgave 20

Ein fabrikk har hatt 10 % defekte komponentar. Etter eit tiltak testar dei 50 tilfeldige komponentar og finn 1 defekt.

Test med signifikansnivå 5 % om delen defekte har gått ned.

Kor mange defekte kunne dei høgst ha funne for å få same konklusjon?

Løs oppgaven

📝Oppgave 21

Med standardbehandling blir 65 % av pasientane betre. Ei ny behandling blir prøvd på 12 pasientar, og 11 blir betre.

Test med signifikansnivå 5 % om den nye behandlinga er betre.

Kva blir konklusjonen med signifikansnivå 1 %?

Kor mange av dei 12 måtte ha blitt betre for å forkaste $H_0$ på 1 %-nivået?

Løs oppgaven

Oppsummering

Læringspunkt:
- Ein hypotesetest stiller nullhypotesen $H_0$ (ingen effekt/endring) mot alternativhypotesen $H_1$ .
- Testobservatoren $\displaystyle z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$ (eller $\displaystyle z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$ ) måler avviket frå $H_0$ i standardfeil.
- P-verdien er sannsynlegheita, gitt at $H_0$ er sann, for eit minst like ekstremt resultat som det observerte.
- Er p-verdien mindre enn signifikansnivået $\alpha$ , blir $H_0$ forkasta; elles held vi på han (vi «aksepterer» han ikkje).
- Einsidig test ( $H_1: \mu > \mu_0$ ) ser på éin hale; tosidig test ( $H_1: \mu \neq \mu_0$ ) doblar halesannsynlegheita.
- Er observasjonen eit tal på suksessar, reknar vi p-verdien i den binomiske fordelinga: $P(X \geq k)$ når $H_1: p > p_0$ og $P(X \leq k)$ når $H_1: p < p_0$ .

Nøkkelomgrep	Forklaring
$H_0$ / $H_1$	Nullhypotese / alternativ hypotese
Testobservator	Standardisert avvik frå $H_0$
P-verdi	Sannsynlegheit for minst like ekstremt utfall under $H_0$
Signifikansnivå $\alpha$	Grensa for å forkaste $H_0$ (ofte 5 %)
Einsidig/tosidig	Retninga på alternativhypotesen

Viktige formlar:

z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}, \qquad z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}

\text{Forkast } H_0 \iff \text{p-verdi} \leq \alpha

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.