6.5 Modellering med reelle data

Lat $x$ vere talet på år etter 2010. Då har vi datapunkta:
$(0, 45.2), (2, 47.1), (4, 49.3), (6, 51.0), (8, 53.2), (10, 55.1)$

Ved å bruke GeoGebra/kalkulator får vi:
$$y = 0.99x + 45.2$$

b) Estimat for 2025

For 2025 er $x = 15$:
$$y = 0.99 \cdot 15 + 45.2 = 14.85 + 45.2 = 60.05$$

Folketalet i 2025 blir anslått til ca. 60 000.

Merk: Dette er ein ekstrapolasjon (utanfor måleområdet), så anslaget er usikkert.

Ved å bruke eksponentiell regresjon i GeoGebra får vi:
$$N = 1000 \cdot e^{0.2t}$$

eller tilsvarande $N = 1000 \cdot 1.221^t$

b) Doblingstid

Doblingstida finn vi ved $e^{kt_{1/2}} = 2$:
$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} = \frac{\ln 2}{0.2} \approx 3.47 \text{ timer}$$

c) Antall etter 12 timer

$$N(12) = 1000 \cdot e^{0.2 \cdot 12} = 1000 \cdot e^{2.4} \approx 11\,023$$

Etter 12 timar er det ca. 11 000 bakteriar.

Rørsle under tyngdekrafta følgjer: $\displaystyle h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$

Dette er ein andregradsfunksjon med negativ leiande koeffisient.

b) Regresjonsmodell

Ved andregradstilpassing i GeoGebra:
$$h(t) = -4.9t^2 + 9.8t + 1.5$$

c) Maksimal høgd

Toppunktet finn vi der $h'(t) = 0$:
$$h'(t) = -9.8t + 9.8 = 0$$
$$t = 1 \text{ sekund}$$

Maksimal høgd:
$$h(1) = -4.9 \cdot 1^2 + 9.8 \cdot 1 + 1.5 = 6.4 \text{ m}$$

Ballen når maksimal høgd 6.4 m etter 1 sekund.

Lat $x$ vere talet på år etter 1960.

Lineær: $y = 1.58x + 314.6$ ($R^2 = 0.987$)

Andregrads: $y = 0.012x^2 + 0.87x + 316.8$ ($R^2 = 0.999$)

b) Beste modell

Andregradstilpassinga har høgare $R^2$ og fangar opp at veksten akselererer. Ho er fysisk rimeleg fordi utsleppa har auka over tid.

c) Estimat for 2030

For $x = 70$ (år 2030):

Lineær: $y = 1.58 \cdot 70 + 314.6 = 425$ ppm

Andregrads: $y = 0.012 \cdot 70^2 + 0.87 \cdot 70 + 316.8 = 436$ ppm

Andregradsmodellen spår ca. 436 ppm i 2030.

$T(40) = -2.1 \cdot 40 + 78 = -6^\circ$C

b) Problemet

Modellen spår negativ temperatur, noko som er fysisk umogleg for ein kopp kaffi i romtemperatur!

Forklaring:

Avkjøling av kaffi følgjer Newtons avkjølingslov:
$$T(t) = T_{rom} + (T_0 - T_{rom}) \cdot e^{-kt}$$

Temperaturen nærmar seg romtemperaturen asymptotisk. Den lineære modellen er berre god for kort tid.

Dette illustrerer faren ved ekstrapolasjon langt utanfor måleområdet.

Lat $x$ vere talet på år etter 1980:
$$A = -0.095x + 7.6$$

($R^2 \approx 0.93$, god tilpassing)

b) Isfritt Arktis

Set $A = 0$:
$$0 = -0.095x + 7.6$$
$$x = 80$$

Dette tilsvarar året $1980 + 80 = 2060$.

Viktig atterhald: Dette er ein grov ekstrapolasjon. Klimasystem er komplekse, og modellen tek ikkje omsyn til tilbakekoblingsmekanismar eller tiltak mot klimaendringar.

Lineær modell: Ville spå over 100% etter kvart, noko som er umogleg.

Eksponentiell modell: Veksten avtek når marknaden blir metta. Eksponentiell vekst passar berre i byrjinga.

b) Betre modell: Logistisk vekst

Ein logistisk funksjon passar:
$$y = \frac{L}{1 + e^{-k(x-x_0)}}$$

der $L = 100$ (maksimalt 100%).

Ved logistisk regresjon får vi omtrent:
$$y = \frac{100}{1 + e^{-0.4(x-11)}}$$

der $x$ er talet på år etter 2000.

Logistisk vekst kjenneteiknast av:
- Sakte start
- Rask vekst i midtfasen
- Avtakande vekst når metninga nærmar seg

Lat $x$ vere talet på år etter 2000.

Lineær tilpassing: $BNP = 29x + 2480$

Eksponentiell tilpassing: $BNP = 2450 \cdot e^{0.011x}$

Begge gir $R^2 \approx 0.85$, men ingen fangar fallet i 2020.

b) Gjennomsnittleg vekstrate

Frå eksponentiell modell: ca. 1.1% per år

Eller direkte: $\displaystyle \left(\frac{3050}{2450}\right)^{1/20} - 1 \approx 1.1\%$

c) Diskusjon av 2020

BNP fall i 2020 på grunn av koronapandemien. Dette er eit eksempel på eit eksternt sjokk som modellen ikkje kan spå. Måledata frå kriseperiodar bør handsamast forsiktig i modellering.

Teorien seier at vindkraft følgjer:
$$P = \frac{1}{2}\rho A v^3 \cdot C_p$$

der $v$ er vindfarten. Vi ventar altså $P \propto v^3$.

b) Test med regresjon

Vi bruker potensregresjon $P = av^b$ eller tilpassar $\ln P = \ln a + b \cdot \ln v$.

Ved regresjon får vi:
$$P = 0.55 v^{3.02}$$

Eksponenten $b \approx 3$ stadfestar teorien!

Konklusjon: Dataa stemmer godt med den teoretiske kubiske samanhengen mellom vindfart og effekt.

1. Datakjelde
Data frå SSB for folketal i perioden 2010-2020.

2. Modellval
Lineær modell vald fordi dataa viser jamn vekst utan akselerasjon.

3. Modell
$$B(t) = 0.99t + 45.2$$
der $t$ er talet på år etter 2010 og $B$ er folketal i tusen.

4. Tilpassing
$R^2 = 0.999$, noko som indikerer svært god tilpassing.

5. Residualanalyse
Residualane viser ikkje noko systematisk mønster og er alle under 0.15 (tusen).

6. Gyldigheitsområde
Modellen er gyldig for interpolasjon i perioden 2010-2020. Ekstrapolasjon utover 5-10 år er usikker.

7. Konklusjon
Folketalet veks med ca. 1000 personar per år. Modellen kan brukast til kortsiktige prognosar.

Ved å plotte dataa og rekne, finn vi:
$r \approx 0.99$ (svært sterk positiv korrelasjon)

b) Kausalitet?

Nei! Dette er eit klassisk eksempel på spuriøs korrelasjon.

Begge variablane blir påverka av ein tredje faktor: varmt ver.
- Når det er varmt, et folk meir iskrem
- Når det er varmt, badar fleire menneske, og dermed skjer fleire drukningsulykker

Konklusjon: Korrelasjon inneber ikkje kausalitet. Sjølv ein perfekt matematisk samanheng tyder ikkje at den eine variabelen forårsakar den andre.

Total vassmengd er integralet av vassføringa over eitt år (12 månader):

$$V = \int_0^{12} Q(t) \, dt = \int_0^{12} \left(25 + 18\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right) dt$$

$$V = \left[25t - 18 \cdot \frac{6}{\pi}\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right]_0^{12}$$

$$V = \left(25 \cdot 12 - \frac{108}{\pi}\cos(2\pi)\right) - \left(0 - \frac{108}{\pi}\cos(0)\right)$$

$$V = 300 - \frac{108}{\pi} + \frac{108}{\pi} = 300 \text{ (i enheter maned} \cdot m^3/s\text{)}$$

For å få $m^3$: $V = 300 \cdot 30 \cdot 24 \cdot 3600 \approx 7.8 \cdot 10^8 \, m^3$

Konklusjon: Ca. 780 millionar kubikkmeter vatn renn forbi i løpet av året.

Lat $u = 1 + 9e^{-0.1t}$. Då er $P = 100u^{-1}$.

$$P'(t) = -100u^{-2} \cdot u' = -100 \cdot \frac{9 \cdot (-0.1)e^{-0.1t}}{(1 + 9e^{-0.1t})^2}$$

$$P'(t) = \frac{90e^{-0.1t}}{(1 + 9e^{-0.1t})^2}$$

Tolking: $P'(t)$ er vekstraten (talet på tusen nye innbyggjarar per år).

b) Maksimal vekst

For logistisk vekst er veksten maksimal når $\displaystyle P = \frac{L}{2}$, altså $P = 50$.

$$50 = \frac{100}{1 + 9e^{-0.1t}}$$
$$1 + 9e^{-0.1t} = 2$$
$$e^{-0.1t} = \frac{1}{9}$$
$$t = \frac{\ln 9}{0.1} \approx 22$$

Folketalsveksten er størst rundt år 2022.