6.5 Modellering med reelle data

Lineær regresjon i GeoGebra (RegLin) gir $y = 0{,}993x + 45{,}19$, altså
$$y \approx 0{,}99x + 45{,}2$$

b) For 2025 er $x = 15$:
$$y = 0{,}99 \cdot 15 + 45{,}2 = 14{,}85 + 45{,}2 = 60{,}05$$

Dette er ein ekstrapolasjon (utanfor måleområdet), så overslaget er usikkert.

Svar: a) $y = 0{,}99x + 45{,}2$ b) Folkemengda i 2025 vert rekna til om lag 60 000.

Sidan $e^{0{,}1958} \approx 1{,}216$, kan modellen òg skrivast $N = 1000 \cdot 1{,}216^t$.

b) Doblingstida finn ein ved $e^{kt} = 2$:
$$t = \frac{\ln 2}{k} = \frac{\ln 2}{0{,}196} \approx 3{,}54 \text{ timar}$$

c)
$$N(12) = 1000 \cdot e^{0{,}196 \cdot 12} = 1000 \cdot e^{2{,}352} \approx 10\,500$$

Svar: a) $N = 1000 \cdot e^{0{,}196t}$ b) Doblingstida er om lag 3,5 timar. c) Etter 12 timar er det om lag 10 500 bakteriar.

Dette er ein andregradsfunksjon med negativt andregradsledd.

b) Andregradsregresjon i GeoGebra (RegPoly(A1:B6, 2)) gir
$$h(t) = -4{,}0t^2 + 11{,}6t + 1{,}5$$
med $R^2 = 1$: alle målepunkta ligg på parabelen.

c) Toppunktet finn ein der $h'(t) = 0$:
$$h'(t) = -8{,}0t + 11{,}6 = 0$$
$$t = 1{,}45 \text{ s}$$
$$h(1{,}45) = -4{,}0 \cdot 1{,}45^2 + 11{,}6 \cdot 1{,}45 + 1{,}5 \approx 9{,}9 \text{ m}$$

Svar: a) Høgda under fritt fall er ein andregradsfunksjon av tida. b) $h(t) = -4{,}0t^2 + 11{,}6t + 1{,}5$ c) Ballen når maksimal høgd om lag 9,9 m etter 1,45 s.

Lineær (RegLin): $y = 1{,}607x + 310{,}4$ ($R^2 = 0{,}979$)

Andregrads (RegPoly(A1:B7, 2)): $y = 0{,}0133x^2 + 0{,}807x + 317{,}0$ ($R^2 = 0{,}9997$)

b) Andregradstilpassinga har høgare $R^2$ og fangar opp at veksten akselererer. Ho er fysisk rimelege fordi utsleppa har auka over tid.

c) For $x = 70$ (år 2030):

Lineær: $y = 1{,}607 \cdot 70 + 310{,}4 \approx 423$ ppm

Andregrads: $y = 0{,}0133 \cdot 70^2 + 0{,}807 \cdot 70 + 317{,}0 \approx 439$ ppm

Svar: a) $y = 1{,}607x + 310{,}4$ og $y = 0{,}0133x^2 + 0{,}807x + 317{,}0$ b) Andregradsmodellen passar best. c) Andregradsmodellen gir om lag 439 ppm i 2030 (den lineære om lag 423 ppm).

b) Modellen gir negativ temperatur. Det er umogeleg for ein kopp kaffi som står i romtemperatur.

Avkjøling av kaffi følgjer Newtons avkjølingslag:
$$T(t) = T_{rom} + (T_0 - T_{rom}) \cdot e^{-kt}$$

Temperaturen nærmar seg romtemperaturen og kjem aldri under han. Den lineære modellen er berre god for kort tid.

Dette illustrerer faren ved ekstrapolasjon langt utanfor måleområdet.

Svar: a) $-6\,^\circ$C b) Spådommen er fysisk umogeleg: kaffien kan ikkje bli kaldare enn rommet. Den lineære modellen gjeld berre innanfor måleområdet.

b) Set $A = 0$:
$$0 = -0{,}0891x + 7{,}65$$
$$x \approx 85{,}9$$

Dette tilsvarar året $1980 + 86 = 2066$.

Dette er ein grov ekstrapolasjon. Klimasystem er komplekse, og modellen tek ikkje omsyn til tilbakekoblingsmekanismar eller tiltak mot klimaendringar.

Svar: a) $A = -0{,}0891x + 7{,}65$ b) Modellen gir isfritt Arktis rundt 2066.

Lineær modell: Ville spå over 100 % etter kvart, noko som er umogeleg.

Eksponensiell modell: Veksten avtek når marknaden vert metta. Eksponensiell vekst passar berre i byrjinga.

b) Betre modell: Logistisk vekst

Ein logistisk funksjon flatar ut mot ei øvre grense:
$$y = \frac{L}{1 + b \cdot e^{-kx}}$$

La $x$ vere tal år etter 2000. Logistisk regresjon i GeoGebra (RegLogist) gir
$$y = \frac{95{,}3}{1 + 333 \cdot e^{-0{,}507x}}$$
($R^2 = 0{,}998$)

Den øvre grensa er om lag 95 %. Modellen gir 31, 54, 75, 87, 92 og 94 % for åra i tabellen.

Logistisk vekst kjenneteiknar seg ved:
- Sakte start
- Rask vekst i midtfasen
- Avtakande vekst når metting nærmar seg

Svar: a) Ein lineær modell passerer 100 %, og ein eksponensiell modell veks stadig raskare, medan dataa flatar ut. b) Ein logistisk modell, til dømes $y = \dfrac{95{,}3}{1 + 333 \cdot e^{-0{,}507x}}$.

Lineær tilpassing (RegLin): $BNP = 31x + 2540$ ($R^2 = 0{,}874$)

Eksponensiell tilpassing (RegEksp): $BNP = 2540 \cdot e^{0{,}0112x}$ ($R^2 = 0{,}851$)

Ingen av modellane fangar opp fallet i 2020.

b) Frå den eksponentielle modellen: $e^{0{,}0112} - 1 \approx 0{,}011$, altså om lag 1,1 % per år.

Direkte frå første og siste måling:
$$\left(\frac{3050}{2450}\right)^{1/20} - 1 \approx 0{,}011 = 1{,}1\,\%$$

c) BNP fall i 2020 på grunn av koronapandemien. Dette er eit døme på eit eksternt sjokk som modellen ikkje kan føreseie. Måledata frå kriseperiodar bør behandlast varsamt i modellering.

Svar: a) $BNP = 31x + 2540$ (eller $2540 \cdot e^{0{,}0112x}$) b) om lag 1,1 % per år c) Koronapandemien, eit ytre sjokk som ingen av modellane fangar opp.

Teorien seier at vindkraft følgjer:
$$P = \frac{1}{2}\rho A v^3 \cdot C_p$$

der $v$ er vindhastigheita. Vi forventar altså $P \propto v^3$.

b) Test med regresjon

Vi bruker potensregresjon $P = av^b$ eller tilpassar $\ln P = \ln a + b \cdot \ln v$.

Potensregresjon i GeoGebra (RegPot) gir
$$P = 0{,}568 \cdot v^{2{,}986} \approx 0{,}57 \cdot v^{2{,}99}$$

Eksponenten $b \approx 3$ stadfestar teorien.

Svar: a) Vi forventar $P \propto v^3$. b) Regresjonen gir $P \approx 0{,}57 \cdot v^{2{,}99}$, så dataa stemmer godt med at effekten er proporsjonal med $v^3$.

Data
Folketal (i tusen) for byen i perioden 2010–2020, frå Eksempel 1.

Modellval
Lineær modell, fordi dataa viser jamn vekst utan akselerasjon.

Modell
$$B(t) = 0{,}99t + 45{,}2$$
der $t$ er tal på år etter 2010 og $B$ er folket i tusen.

Tilpassing
$R^2 = 0{,}999$, svært god tilpassing.

Residualanalyse
Residuala viser ikkje noko systematisk mønster og er alle under 0,15 (tusen).

Gyldigheitsområde
Modellen er gyldig for interpolasjon i perioden 2010–2020. Ekstrapolasjon meir enn 5–10 år fram er usikker.

Konklusjon
Folketalet veks med ca. 1000 personar per år. Modellen kan brukast til kortsiktige prognosar.

Svar: Rapporten over: lineær modell $B(t) = 0{,}99t + 45{,}2$ med $R^2 = 0{,}999$ og små residualar utan mønster, gyldig for 2010–2020 og berre for korte prognosar utanfor perioden.

KorrelasjonsKoeffisient(A1:B5) i GeoGebra gir
$r \approx 0{,}997$ (svært sterk positiv korrelasjon)

b) Kausalitet?

Nei! Dette er eit klassisk eksempel på spuriøs korrelasjon.

Begge variablane vert påverka av ein tredje faktor: varmt vêr.
- Når det er varmt, et folk meir iskrem
- Når det er varmt, badar fleire menneske, og dermed skjer fleire drukningsulykker

Korrelasjon inneber ikkje kausalitet. Sjølv ein perfekt matematisk samanheng betyr ikkje at den eine variabelen forårsaker den andre.

Svar: a) $r \approx 0{,}997$ b) Nei. Begge variablane vert styrte av ein tredje faktor, varmt vêr.

Total vassmengd er integralet av vassføringa over eitt år (12 månadar):

$$V = \int_0^{12} Q(t) \, dt = \int_0^{12} \left(25 + 18\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right) dt$$

$$V = \left[25t - 18 \cdot \frac{6}{\pi}\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right]_0^{12}$$

$$V = \left(25 \cdot 12 - \frac{108}{\pi}\cos(2\pi)\right) - \left(0 - \frac{108}{\pi}\cos(0)\right)$$

$$V = 300 - \frac{108}{\pi} + \frac{108}{\pi} = 300 \text{ månadar} \cdot \text{m}^3/\text{s}$$

For å få $m^3$: $V = 300 \cdot 30 \cdot 24 \cdot 3600 \approx 7{,}8 \cdot 10^8 \, m^3$

Svar: Ca. 780 millionar kubikkmeter vatn renn forbi i løpet av året.

La $u = 1 + 9e^{-0{,}1t}$. Då er $P = 100u^{-1}$.

$$P'(t) = -100u^{-2} \cdot u' = -100 \cdot \frac{9 \cdot (-0{,}1)e^{-0{,}1t}}{(1 + 9e^{-0{,}1t})^2}$$

$$P'(t) = \frac{90e^{-0{,}1t}}{(1 + 9e^{-0{,}1t})^2}$$

Tolking: $P'(t)$ er vekstraten (tal på tusen nye innbyggjarar per år).

b) Maksimal vekst

For logistisk vekst er veksten maksimal når $\displaystyle P = \frac{L}{2}$, altså $P = 50$.

$$50 = \frac{100}{1 + 9e^{-0{,}1t}}$$
$$1 + 9e^{-0{,}1t} = 2$$
$$e^{-0{,}1t} = \frac{1}{9}$$
$$t = \frac{\ln 9}{0{,}1} \approx 22$$

Svar: a) $P'(t) = \dfrac{90e^{-0{,}1t}}{(1 + 9e^{-0{,}1t})^2}$, vekstfarten i tusen innbyggjarar per år. b) Folkeveksten er størst rundt år 2022.