6.6 Kjernar og stjerner

Kjernar og stjerner

Atomkjernen inneheld enorme mengder energi. Denne energien driv stjerner, kan brukast i kraftverk, og skapte alle grunnstoff vi kjenner.

Atomkjernen (repetisjon)

I kapittel 6.5 såg vi at ein kjerne ${}^{A}_{Z}X$ har $Z$ proton og $N = A - Z$ nøytron, til saman $A$ nukleon, og at isotopar har same $Z$ og ulik $N$.

Døme:
- $^4_2$He: Helium (2 proton, 2 nøytron)
- $^{12}_6$C: Karbon-12 (6 proton, 6 nøytron)
- $^{235}_{92}$U: Uran-235 (92 proton, 143 nøytron)

Masser

Proton: $m_p = 1{,}6726 \times 10^{-27}$ kg $\approx 1$ u

Nøytron: $m_n = 1{,}6749 \times 10^{-27}$ kg $\approx 1$ u

Elektron: $m_e = 9{,}1094 \times 10^{-31}$ kg $\approx 0{,}0005$ u

Atomær masseeining (u):

$$1 \text{ u} = 1{,}6605 \times 10^{-27} \text{ kg}$$

Definert som $\displaystyle \frac{1}{12}$ av massen til $^{12}$C.

Bindingsenergi

Massedefekt

Dersom vi måler massen til ein atomkjerne, finn vi at han er mindre enn summen av massen til dei enkelte nukleona!

Massedefekt:

$$\Delta m = (Zm_p + Nm_n) - m_{\text{kjerne}}$$

Døme - helium ($^4_2$He):

Teoretisk masse (2 protoner + 2 nøytroner):

$$m_{\text{teoretisk}} = 2 \times 1{,}6726 + 2 \times 1{,}6749 = 6{,}6950 \times 10^{-27} \text{ kg}$$

Faktisk masse:

$$m_{\text{faktisk}} = 6{,}6447 \times 10^{-27} \text{ kg}$$

Massedefekt:

$$\Delta m = 6{,}6950 - 6{,}6447 = 0{,}0503 \times 10^{-27} \text{ kg}$$

Kvar vart massen av?

Bindingsenergi

Ifølgje relativitetsteorien til Einstein er masse og energi ekvivalente:

$$E = mc^2$$

Den "manglande" massen vart til bindingsenergi - energien som held kjernen saman.

Bindingsenergi:

$$E_b = \Delta m c^2$$

Døme - helium:

$$E_b = 0{,}0503 \times 10^{-27} \times (3{,}00 \times 10^8)^2 = 4{,}53 \times 10^{-12} \text{ J}$$

Konverter til MeV (1 MeV = $1{,}602 \times 10^{-13}$ J):

$$E_b = \frac{4{,}53 \times 10^{-12}}{1{,}602 \times 10^{-13}} = 28{,}3 \text{ MeV}$$

Praktisk formel:

$$E_b \text{ (MeV)} = \Delta m \text{ (u)} \times 931{,}5$$

Bindingsenergi per nukleon

Bindingsenergi per nukleon:

$$\frac{E_b}{A}$$

Dette er eit mål på kor sterkt bunde kjernen er.

Døme - helium:

$$\frac{E_b}{A} = \frac{28{,}3}{4} = 7{,}1 \text{ MeV/nukleon}$$

Bindingsenergikurva

Bindingsenergi per nukleon som funksjon av massetal $A$:

Observasjonar:
1. Låge $A$: Låg bindingsenergi (lett å dele opp)
2. $A \approx 60$ (jern): Maksimal bindingsenergi (~8,8 MeV/nukleon) - mest stabil
3. Høge $A$: Litt lågare bindingsenergi (kan dele seg - fisjon)

Betydning:
- Fusjon av lette kjerner (H → He) frigjer energi (høgare bindingsenergi)
- Fisjon av tunge kjerner (U → Ba + Kr) frigjer energi (høgare bindingsenergi)
- Jern ($^{56}$Fe) er det mest stabile grunnstoffet

Kjernefusjon

Kjernefusjon: To lette kjerner smeltar saman til ein tyngre kjerne.

Fusjon i Sola

Proton-proton-kjeda:

$$^1_1\text{H} + ^1_1\text{H} \to ^2_1\text{H} + e^+ + \nu_e$$

(positron og nøytrino blir sende ut)

$$^2_1\text{H} + ^1_1\text{H} \to ^3_2\text{He} + \gamma$$

(gammastråling blir sendt ut)

$$^3_2\text{He} + ^3_2\text{He} \to ^4_2\text{He} + 2 \times ^1_1\text{H}$$

Netto-reaksjon:

$$4 \times ^1_1\text{H} \to ^4_2\text{He} + 2e^+ + 2\nu_e + \text{energi}$$

Energi frigjort: 26,7 MeV per heliumkjerne

Vilkår for fusjon

Problem:
- Protoner har positiv ladning
- Frastøyter kvarandre (Coulomb-kraft)
- Må kome svært nær for at sterk kjernekraft skal verke

Løysing:
- Høg temperatur (10-15 millionar K i kjernen til Sola)
- Høg fart → overvinne Coulomb-barrieren
- Høgt trykk (250 milliardar atmosfærar)

Sola:
- Fusjonerer 600 millionar tonn hydrogen per sekund
- Produserer 4 × 10²⁶ W
- Har fusjonert i 4,6 milliardar år
- Har hydrogen for 5 milliardar år til

Fusjon på Jorda

Utfordring: Oppnå høg nok temperatur og trykk

Metodar:
- Magnetisk inneslutning: Plasma blir halde inne med magnetfelt (Tokamak, ITER)
- Treigleiksfusjon: Laser komprimerer ein pellet med deuterium-tritium

Fordelar:
- Nesten ubegrensa "drivstoff" (deuterium frå sjøvatn)
- Ingen klimagassar
- Lite radioaktivt avfall

Ulemper:
- Svært vanskeleg teknisk
- Har enno ikkje oppnådd netto energiproduksjon (Q > 1)

Gjennombrot 2022: National Ignition Facility (NIF) i USA oppnådde for første gong Q > 1 (energi ut > energi inn)!

Kjernespalting (fisjon)

Kjernespalting (fisjon): Ein tung kjerne deler seg i to lettare kjerner.

Fisjon av uran-235

Reaksjon:

$$^{235}_{92}\text{U} + ^1_0n \to ^{141}_{56}\text{Ba} + ^{92}_{36}\text{Kr} + 3 \times ^1_0n + \text{energi}$$

Energi frigjort: ~200 MeV per fisjon

Viktig: 3 nøytroner blir frigjorde → kjedereaksjon

Kjedereaksjon

1. Eitt nøytron treffer $^{235}$U
2. Fisjon → frigjer 3 nøytroner
3. 3 nøytroner treffer 3 andre $^{235}$U-kjerner
4. 9 nøytroner blir frigjorde
5. Osv.

Kritisk masse: Minimum masse for sjølvoppretthalden kjedereaksjon

Typar:
- Ukontrollert: Atombombe (eksponentiell vekst)
- Kontrollert: Kjernekraftverk (stabil reaksjon)

Kjernekraftverk

Kontroll:
- Kontrollstavar: Absorberer nøytroner (kadmium, bor)
- Senkar inn → færre nøytroner → lågare effekt
- Trekkjer ut → fleire nøytroner → høgare effekt

Moderator:
- Bremsar nøytroner (tungt vatn, grafitt)
- Langsame nøytroner har høgare sannsyn for fisjon

Kjøling:
- Vatn fjernar varme frå reaktoren
- Damp driv turbinar → elektrisitet

Fordelar:
- Ingen klimagassar
- Høg energitettleik (1 kg uran = millionar kg kol)
- Påliteleg baselastkraft

Ulemper:
- Radioaktivt avfall (lagring i 100 000 år)
- Risiko for ulukker (Tsjernobyl, Fukushima)
- Dyrt å byggje
- Spreiing av atomvåpen

Taldøme

1 kg uran-235:

Tal atom:

$$N = \frac{1000 \text{ g}}{235 \text{ g/mol}} \times 6{,}022 \times 10^{23} = 2{,}56 \times 10^{24}$$

Energi per fisjon: 200 MeV = $3{,}2 \times 10^{-11}$ J

Total energi:

$$E = 2{,}56 \times 10^{24} \times 3{,}2 \times 10^{-11} = 8{,}2 \times 10^{13} \text{ J}$$

Samanlikn med kol (30 MJ/kg):

$$\frac{8{,}2 \times 10^{13}}{3 \times 10^7} \approx 2{,}7 \times 10^6 \text{ kg}$$

1 kg uran = 2,7 millionar kg kol!

Stjerneutvikling og nukleosyntese

Nukleosyntese: Danning av grunnstoff

"Vi er laga av stjernestøv" - Carl Sagan

Alle grunnstoff tyngre enn helium er danna i stjerner!

Hydrogen og helium fanst allereie før dei første stjernene. Alt tyngre blir danna i stjerner!

Livssyklusen til stjerna

1. Protostjerne
- Gravitasjonskollaps av ei gass-sky
- Temperatur og trykk aukar
- Fusjon startar når $T \approx 10^7$ K

2. Hovudserien (som Sola, 90% av livet)
- Fusjonerer hydrogen til helium (proton-proton eller CNO-syklus)
- Stabil: Gravitasjon balanserer fusjonstrykket
- Sola: 10 milliardar år totalt (5 milliardar att)

3. Raud kjempe
- Hydrogen brukt opp i kjernen
- Kjernen kollapsar, temperaturen aukar
- Heliumbrenning: $3 \times ^4$He → $^{12}$C (trippel-alfa)
- Ytre lag ekspanderer → raud kjempe
- Fusjonerer òg: $^{12}$C + $^4$He → $^{16}$O

4A. Låg masse (< 8 solmasser) → Kvit dverg
- Fusjon stoppar ved karbon/oksygen
- Ytre lag blir kasta ut → planetarisk tåke
- Kjernen kollapsar til kvit dverg (Jord-storleik, svært tett)
- Kjølnar langsamt

4B. Høg masse (> 8 solmasser) → Supernova

a) Avansert fusjon:
- $^{12}$C → $^{16}$O → $^{20}$Ne → $^{24}$Mg → $^{28}$Si → ... → $^{56}$Fe
- Kjernen har lag som ein lauk (Fe i sentrum)

b) Jern-kjerne:
- Jern har høgast bindingsenergi
- Ingen fusjon av jern frigjer energi
- Fusjon stoppar
- Gravitasjonskollaps (1 sekund!)

c) Supernova:
- Kjernen kollapsar → nøytronstjerne eller svart hol
- Sjokkbølgje kastar ut ytre lag
- Lysstyrke: Lyser som ein heil galakse i nokre veker!

d) Grunnstoffdanning:
- s-prosess: Langsam nøytroninnfanging (under den raude kjempe-fasen)
- Grunnstoff opp til $^{209}$Bi
- r-prosess: Rask nøytroninnfanging (under supernova)
- Tyngre grunnstoff: uran, gull, platina
- Spreiing: Grunnstoff blir spreidde ut i rommet

e) Neste generasjon:
- Grunnstoff frå supernova dannar nye stjerner
- Sola er 3. generasjon ("Befolkning I")
- Inneheld grunnstoff frå tidlegare supernovaer

Opphavet til grunnstoffa

- Hydrogen, helium: fanst før dei første stjernene
- Karbon, oksygen, nitrogen: Raude kjemper (trippel-alfa, CNO)
- Silisium, magnesium, jern: Massive stjerner
- Gull, uran, platina: Supernovaer, kollisjonar mellom nøytronstjerner

Konklusjon: Alle atom i kroppen din (bortsett frå hydrogen) vart danna i ei stjerne!

HR-diagrammet

Eit HR-diagram (Hertzsprung–Russell-diagram) viser stjerner med overflatetemperaturen langs den vassrette aksen og den utstrålte effekten langs den loddrette. To ting ved aksane er uvanlege:

- Temperaturen aukar mot venstre.
- Begge aksane er logaritmiske. Kvart steg på effektaksen tyder ti gonger så mykje, fordi stjernene spenner over mange tiarpotensar.

Den utstrålte effekten til ei stjerne får symbolet $L$ og blir ofte oppgitt i forhold til sola, $L/L_\text{sol}$. Stefan–Boltzmanns lov (kapittel 5.3) med overflata $A = 4\pi R^2$ gjev $L = \sigma \cdot 4\pi R^2 \cdot T^4$. Deler vi på det same uttrykket for sola, fell $\sigma$ og $4\pi$ bort:

$$\frac{L}{L_\text{sol}} = \frac{\sigma \cdot 4\pi R^2 \cdot T^4}{\sigma \cdot 4\pi R_\text{sol}^2 \cdot T_\text{sol}^4} = \left(\frac{R}{R_\text{sol}}\right)^2 \cdot \left(\frac{T}{T_\text{sol}}\right)^4$$

Overflatetemperaturen til sola er $T_\text{sol} = 5772\ \mathrm{K}$.

Grupper i diagrammet

- Hovudserien er eit band frå øvst til venstre (varme, lyssterke stjerner med stor masse) til nedst til høgre (kalde, svake stjerner med lita masse). Her ligg stjernene medan dei fusjonerer hydrogen til helium i kjernen, omtrent 90 % av livet. Sola ligg på hovudserien.
- Kjemper og superkjemper ligg øvst til høgre. Dei er kalde på overflata, men strålar ut mykje fordi radien er svært stor. Hit kjem stjernene når hydrogenet i kjernen er brukt opp.
- Kvite dvergar ligg nedst til venstre. Dei er varme, men strålar ut lite fordi dei berre er omtrent like store som jorda.

Vegen til stjerna gjennom diagrammet

Ei stjerne flyttar seg i diagrammet når ho utviklar seg. Sola har lege på hovudserien i 4,6 milliardar år. Når hydrogenet i kjernen tek slutt, flyttar ho seg opp og til høgre og blir ei raud kjempe. Til slutt blir dei ytre laga kasta av, og kjernen som blir att, er ein kvit dverg nedst til venstre.

Kvar på hovudserien ei stjerne ligg, er bestemt av massen. Tunge stjerner ligg øvst til venstre og brukar opp brenselet raskt. Dei lever berre nokre millionar år og endar som supernovaer.

Oppsummering

- Atomkjerne: Består av $Z$ protoner og $N$ nøytroner, massetal $A = Z + N$, notasjon: $^A_ZX$
- Isotopar: Same grunnstoff (same $Z$), ulikt tal nøytroner (ulik $A$)
- Bindingsenergi: $E_b = \Delta m c^2$ der massedefekt $\Delta m = (Zm_p + Nm_n) - m_{\text{kjerne}}$
- Praktisk formel: $E_b$ (MeV) = $\Delta m$ (u) × 931,5, der 1 u = $1{,}6605 \times 10^{-27}$ kg
- Bindingsenergi per nukleon $\displaystyle \frac{E_b}{A}$ maksimal for jern (ca. 8,8 MeV/nukleon)
- Fusjon: Lette kjerner smeltar saman, frigjer energi (t.d. $4 \times ^1$H → $^4$He i Sola)
- Fisjon: Tung kjerne blir spalta (t.d. $^{235}$U), frigjer ca. 200 MeV og 2-3 nøytroner
- Nukleosyntese: H og He fanst før dei første stjernene, C-Fe i stjerner, tyngre grunnstoff i supernovaer
- Stjerneutvikling: Protostjerne → Hovudserien → Raud kjempe → Kvit dverg (låg masse) eller Supernova (høg masse)
- HR-diagrammet: temperatur (høg til venstre) mot utstrålt effekt $L/L_\text{sol} = (R/R_\text{sol})^2 \cdot (T/T_\text{sol})^4$; hovudserien, kjemper øvst til høgre og kvite dvergar nedst til venstre