3.5 Figurtall og geometriske mønstre | Matematikk 8. klasse

Finne formler for figurtall og geometriske mønstre.

45 min

12 oppgaver

FigurtallGeometriske mønstreTrekanttallKvadrattall

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.4Tallmønstre og tallfølger

Brukes videre i

3.6Generalisering med variabler og formler

Figurtal og geometriske mønster

Nokre talfølgjer kan vi sjå for oss som figurar. Tenk deg at du byggjer figurar med brikker, kuler eller prikkar. For kvar ny figur legg du til fleire brikker etter eit bestemt mønster. Tala som fortel kor mange brikker du treng, kallar vi figurtal.

Figurtal har vorte studerte av matematikarar i over 2500 år! Allereie i det gamle Hellas oppdaga Pythagoras og venene hans at ein kunne ordne prikkar i trekantar, firkantar og andre former.

I dette kapittelet skal du:
- Lære om trekanttal og kvadrattal
- Teikne figurar og telje brikker
- Finne mønsteret i korleis figurane veks
- Bruke tabellar til å halde oversikt

Figurtal

n

Figurnummer ( $n$ )	Figur	Tal på prikkar
$1$	Figur 1 (liten)	$a_1$
$2$	Figur 2 (større)	$a_2$
$3$	Figur 3 (enda større)	$a_3$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

Trekanttal

1 + 2 = 3

Kvadrattal

1 \times 1 = 1

✏️Døme 1: Trekanttal

a) Finn det 5. og 6. trekanttalet.
b) Emilie stablar hermetikkboksar i ein pyramide. Nedste rad har 6 boksar, neste har 5, og så vidare opp til 1 boks øvst. Kor mange boksar bruker ho totalt?

a) Det 5. og 6. trekanttalet:

$T_5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$

eller med formelen: $\displaystyle T_5 = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15$

$T_6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$

eller med formelen: $\displaystyle T_6 = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21$

b) Pyramiden til Emilie:

Talet på boksar er $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6$ . Dette er trekanttal nr. 6:

$T_6 = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21$

Emilie bruker 21 boksar totalt.

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

Det 4. trekanttalet er $8$ .

✏️Døme 2: Figurar med fyrstikker

Oliver byggjer figurar med fyrstikker:

- Figur 1: Ein enkel trekant (3 fyrstikker)
- Figur 2: To trekantar ved sida av kvarandre (5 fyrstikker)
- Figur 3: Tre trekantar ved sida av kvarandre (7 fyrstikker)

a) Teikn figur 4 og tel talet på fyrstikker.
b) Lag ein tabell for figur 1 til 5.
c) Kva er mønsteret?

a) Figur 4:

Figur 4 har fire trekantar ved sida av kvarandre. Dei deler sider, så vi treng:

$3 + 2 + 2 + 2 = 9$ fyrstikker

b) Tabell:

Figur $n$	Tal på fyrstikker
$1$	$3$
$2$	$5$
$3$	$7$
$4$	$9$
$5$	$11$

c) Mønsteret:
Vi legg til

2

fyrstikker for kvar ny figur. Dette er ei aritmetisk følgje med

d = 2

.
Den første trekanten treng

3

fyrstikker. Kvar ny trekant deler ei side med den førre, så vi treng berre

2

nye fyrstikker for kvar ny trekant.

✏️Døme 3: L-form

Sjå på figurar bygde av ruter i L-form:

- Figur 1: 3 ruter (ein L med 2 nedover og 2 bortover, der hjørneruta blir delt)
- Figur 2: 5 ruter
- Figur 3: 7 ruter
- Figur 4: 9 ruter

a) Finn mønsteret.
b) Kor mange ruter har figur 10?
c) Kva for ein figur har 31 ruter?

a) Mønsteret:

Vi ser på differansane: $5 - 3 = 2$ , $7 - 5 = 2$ , $9 - 7 = 2$ .

Differansen er konstant $d = 2$ . Det er ei aritmetisk følgje som startar på $3$ .

Mønsteret med ord: Figur 1 har 3 ruter, og vi legg til 2 ruter for kvar ny figur.

b) Figur 10:

Vi startar på $3$ og legg til $2$ ni gonger (frå figur 1 til figur 10):

$3 + 9 \cdot 2 = 3 + 18 = 21$

Figur 10 har 21 ruter.

c) Kva for ein figur har 31 ruter?

Vi treng å finne $n$ slik at $3 + (n - 1) \cdot 2 = 31$ .

$3 + 2n - 2 = 31$
$2n + 1 = 31$
$2n = 30$
$n = 15$

Figur 15 har 31 ruter.

Når du jobbar med figurtal, kan det hjelpe å:

1. Teikn figurane. Teikn dei 3--4 første figurane og studer dei.
2. Lag ein tabell. Skriv figurnummer og tal på brikker i ein tabell.
3. Sjå på differansane. Rekn ut skilnaden mellom nabotala.
4. Skildre veksten. Forklar med ord kva som blir lagt til for kvart steg.
5. Sjå etter kjende tal. Er tala trekanttal? Kvadrattal? Oddetal?

📝Oppgave 1

Rekn ut trekanttala.

Finn $T_4$ .

Finn $T_7$ .

Finn $T_{10}$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Skriv opp dei 6 første kvadrattala. Rekn ut differansane mellom nabotala. Kva legg du merke til?

📝Oppgave 3

Ein figur blir bygd med fyrstikker slik at figur 1 er ein firkant (4 fyrstikker), figur 2 er to firkantar ved sida av kvarandre (7 fyrstikker), og figur 3 er tre firkantar (10 fyrstikker).

Kor mange fyrstikker trengst til figur 4?

Kor mange fyrstikker trengst til figur 7?

Forklar med ord kvifor vi legg til nøyaktig 3 fyrstikker for kvar ny firkant.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Nora lagar figurar med prikkar:

Figur 1 har 1 prikk, figur 2 har 4 prikkar, figur 3 har 9 prikkar, figur 4 har 16 prikkar. Kva slags figurtal er dette?

Kor mange prikkar har figur 8?

Kva for ein figur har 100 prikkar?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Sjå på denne talfølgja av figurtal: $2, 6, 12, 20, 30, \ldots$

Finn differansane mellom nabotala. Kva legg du merke til?

Finn det neste leddet i følgja.

Samanlikn tala med trekanttala $1, 3, 6, 10, 15, \ldots$ . Kva oppdagar du?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Vis at summen av dei 5 første oddetala er lik $5^2 = 25$ . Rekn deretter ut summen av dei 8 første oddetala, og sjekk at svaret er $8^2$ .

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: To trekanttal lagde saman gjev alltid eit kvadrattal. Undersøk om denne påstanden stemmer. Prøv med fleire døme og forsøk å forklare kvifor (eller kvifor ikkje) det er slik.

Oppsummering

Figurtal

- Eit figurtal er eit tal vi finn ved å telje prikkar i ein geometrisk figur
- Vi byggjer figurane steg for steg og leitar etter mønsteret

Trekanttal

- Prikkar ordna i ein trekant
-

\displaystyle T_n = \frac{n(n+1)}{2}

- Dei første:

1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots

Kvadrattal

- Prikkar ordna i eit kvadrat
-

K_n = n^2

- Dei første:

1, 4, 9, 16, 25, 36, \ldots

- Summen av dei

n

første oddetala er

n^2

Tips

- Teikn figurane og lag tabellar for å finne mønsteret
- Sjå på differansane -- dei fortel deg mykje om mønsteret
- Konstante differansar tyder at det er ei aritmetisk følgje
- Differansar som aukar jamt kan tyde trekanttal eller kvadrattal

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.