9.3 Funksjonar i Python

Definere og kalle eigne funksjonar, lage verditabellar, handtere verdiar som ikkje er definerte og rekne ut vekstfart.

55 min

13 oppgaver

Eigne funksjonarVerditabellarNulldivisjonVekstfartStørste og minste verdi

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

9.2Løkker og betingelser

Brukes videre i

9.4Numeriske metoder og simulering

Funksjonar i matematikk og i Python

Ein matematisk funksjon gir éin verdi $f(x)$ for kvar $x$ . I Python lagar vi det same med def:

def f(x):
    return x ** 2 - 2 * x - 3

- def f(x): definerer ein funksjon med namn f og parameter x.
- return sender verdien tilbake til staden der funksjonen vart kalla.
- f(4) kallar funksjonen med $x = 4$ og gir $f(4) = 5$ .

Funksjonen blir ikkje køyrd før han blir kalla. Ein funksjon kan ha fleire parametrar, til dømes def vekstfart(a, b):.

✏️Døme 1: Verditabell

Lag ein verditabell for $f(x) = x^2 - 2x - 3$ for heiltal frå $-2$ til $4$ , og bruk tabellen til å finne nullpunkta.

def f(x):
    return x ** 2 - 2 * x - 3

for x in range(-2, 5):
    print(x, f(x))

$f(-1) = 0$ og $f(3) = 0$

Kontroll: $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$

Svar: Nullpunkta er $x = -1$ og $x = 3$ .

print viser ein verdi på skjermen. return gir verdien tilbake slik at programmet kan rekne vidare med han, til dømes y = f(3) + 1. Ein funksjon som berre skriv ut, kan ikkje brukast i nye utrekningar.

📝Oppgave 1

Kva skriv programmet ut?

def g(x):
    return 3 * x - 5

print(g(4), g(0), g(-2))

📝Oppgave 2

Kva skriv programmet ut?

def h(x):
    return x ** 2

y = h(3) + 1
print(y)

📝Oppgave 3

Kva skriv programmet ut?

def f(x):
    return 2 * x + 1

def g(x):
    return f(x) ** 2

print(g(3))

📝Oppgave 4

Lag ein funksjon areal_sirkel(r) som returnerer arealet av ein sirkel med radius $r$ . Bruk funksjonen til å finne arealet når $r = 5$ , avrunda til to desimalar.

📝Oppgave 5

Lag eit program som skriv ut ein verditabell for $f(x) = x^3 - 4x$ for heiltal frå $-3$ til $3$ . Kva for nullpunkt kan du lese av?

Verdiar som ikkje er definerte

Ein rasjonal funksjon er ikkje definert der nemnaren er null. Når eit program prøver å rekne ut ein slik verdi, stoppar det med feilmeldinga ZeroDivisionError. Vi unngår feilen med eit vilkår som hoppar over denne $x$ -verdien.

✏️Døme 2: Feilmelding i verditabellen

Programmet nedanfor skal lage ein verditabell for $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 1}$ .

def f(x):
    return (2 * x + 1) / (x + 1)

x = 3
while x >= -3:
    print(x, f(x))
    x = x - 1

a) Kvifor stoppar programmet med ei feilmelding?

b) Endre programmet slik at det ikkje stoppar.

3 1.75
2 1.6666666666666667
1 1.5
0 1.0
ZeroDivisionError: division by zero

Etter $x = 0$ blir $x = -1$ , og då er nemnaren $x + 1 = 0$ .

Svar: $f(-1)$ er ikkje definert fordi vi då deler på null.

def f(x):
    return (2 * x + 1) / (x + 1)

x = 3
while x >= -3:
    if x != -1:
        print(x, f(x))
    else:
        print(x, "ikkje definert")
    x = x - 1

3 1.75
2 1.6666666666666667
1 1.5
0 1.0
-1 ikkje definert
-2 3.0
-3 2.5

Svar: Vi legg inn vilkåret if x != -1: framfor utrekninga.

📝Oppgave 6

Programmet skal lage ein verditabell for $f(x) = \dfrac{x + 4}{x - 3}$ .

def f(x):
    return (x + 4) / (x - 3)

for x in range(0, 7):
    print(x, f(x))

Programmet skriv ut tre linjer og stoppar så med ei feilmelding. Forklar kvifor.

Endre programmet slik at det skriv ut verdiane for alle dei andre $x$ -verdiane.

Kva for ein vertikal asymptote har grafen til $f$ ?

Vekstfart med ein funksjon

Gjennomsnittleg vekstfart frå $x = a$ til $x = b$ er

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Den momentane vekstfarten i $x = a$ kan vi tilnærme ved å velje $b$ svært nær $a$ , til dømes $b = a + 0{,}0001$ .

✏️Døme 3: Gjennomsnittleg og momentan vekstfart

Kva skriv programmet ut, og kva fortel verdiane?

def f(x):
    return 0.5 * x ** 2 + x

def vekstfart(a, b):
    return (f(b) - f(a)) / (b - a)

print(vekstfart(0, 4))
print(vekstfart(2, 2.0001))

f(x) = 0{,}5x^2 + x

$f(4) = 0{,}5 \cdot 16 + 4 = 12$ , $f(0) = 0$

$\dfrac{12 - 0}{4 - 0} = 3$

3.0
3.000049999999696

Kontroll av den andre verdien: $f'(x) = x + 1$ , så $f'(2) = 3$ .

Svar: Den gjennomsnittlege vekstfarten frå $x = 0$ til $x = 4$ er 3. Den andre verdien er svært nær 3 og er ei tilnærming til den momentane vekstfarten $f'(2) = 3$ .

📝Oppgave 7

Ada har laga programmet nedanfor. Kva for ein verdi blir skriven ut, og kva fortel verdien?

def f(x):
    return 2 * x ** 2 - x

a = 1
b = 4
v = (f(b) - f(a)) / (b - a)
print(v)

📝Oppgave 8

Programmet nedanfor er gitt.

def f(x):
    return x ** 3

def stigning(a):
    h = 0.001
    return (f(a + h) - f(a)) / h

print(stigning(2))

Kva reknar funksjonen stigning ut?

Samanlikn utskrifta med $f'(2)$ .

Søkje etter største og minste verdi

For å finne den minste verdien av $f$ blant mange $x$ -verdiar lèt vi ein variabel halde den minste verdien vi har sett så langt. I kvar runde samanliknar vi med neste funksjonsverdi og byter dersom han er mindre.

✏️Døme 4: Minste verdi

Kva finn programmet ut?

def f(x):
    return x ** 2 - 6 * x + 4

minst = f(-2)
x_min = -2
for x in range(-1, 9):
    if f(x) < minst:
        minst = f(x)
        x_min = x
print(x_min, minst)

Programmet startar med $f(-2) = 20$ og går gjennom heiltala frå $-1$ til $8$ . minst og x_min blir oppdaterte kvar gong $f(x)$ er mindre enn den minste verdien så langt.

3 -5

Kontroll: $f(x) = (x - 3)^2 - 5$ har botnpunkt i $(3, -5)$ .

Svar: Blant heiltala frå $-2$ til $8$ har $f$ den minste verdien sin $-5$ for $x = 3$ .

📝Oppgave 9

Siri har laga programmet nedanfor.

def f(x):
    return x ** 2 - 4 * x - 5

x = -3
minst = f(x)
while x < 6:
    x = x + 1
    if f(x) < minst:
        minst = f(x)
print(minst)

Kva finn Siri ut når ho køyrer programmet? Kva for ein verdi blir skriven ut?

Endre programmet slik at det også skriv ut $x$ -verdien der den minste verdien er.

✏️Døme 5: Fakultet

n!

(

n

fakultet) er produktet

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n

. Lag ein funksjon som reknar ut

n!

, og bruk han til å finne

5!

10!

Eit produkt blir bygd opp som ein sum, men startverdien er 1.

def fakultet(n):
    produkt = 1
    for k in range(1, n + 1):
        produkt = produkt * k
    return produkt

print(fakultet(5))
print(fakultet(10))

120
3628800

Svar: $5! = 120$ og $10! = 3\,628\,800$

Oppgåver i eksamensform

📝Oppgave 10

Programmet nedanfor er gitt.

def S(n):
    s = 0
    for k in range(1, n + 1):
        s = s + k
    return s

n = 1
while S(n) <= 1000:
    n = n + 1
print(n, S(n))

Kva skriv programmet ut, og kva har programmet funne?

📝Oppgave 11

Programmet nedanfor undersøkjer $f(x) = -x^2 + 5x + 2$ .

def f(x):
    return -x ** 2 + 5 * x + 2

storst = f(0)
x_maks = 0
for i in range(0, 51):
    x = i / 10
    if f(x) > storst:
        storst = f(x)
        x_maks = x
print(x_maks, storst)

Kva for $x$ -verdiar blir undersøkte?

Kva skriv programmet ut, og kva fortel verdiane?

Vis ved rekning at programmet har funne toppunktet til grafen.

📝Oppgave 12

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n

Lag eit program som reknar ut $n!$ . Bruk det til å finne $8!$ og $30!$ .

30!

sluttar på 7 nullar. Gjer greie for kva for faktorar som gir desse nullane.

Løs oppgaven

📝Oppgave 13

Lars har laga programmet nedanfor.

def g(x):
    return 4 / (x ** 2 - 4)

for x in range(-3, 4):
    print(x, g(x))

Programmet skriv ut éi linje og stoppar så med ei feilmelding.

Kva vil Lars bruke programmet til, og kvifor får han ei feilmelding?

Foreslå ei endring som gjer at programmet skriv ut alle verdiane som finst.

Bestem asymptotane til grafen til $g$ .

Oppsummering

- def f(x): med return lagar ein funksjon; f(3) kallar han.
- Ei løkke som kallar funksjonen, gir ein verditabell.
- Der ein funksjon ikkje er definert, stoppar programmet med ZeroDivisionError; eit vilkår (if x != …) hoppar over verdien.
- (f(b) - f(a)) / (b - a) er gjennomsnittleg vekstfart; med $b$ svært nær $a$ blir det ei tilnærming til $f'(a)$ .
- Største eller minste verdi finn vi ved å samanlikne med den beste verdien så langt.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.