6.1 Matematisk argumentasjon

Resonnement:
Eit partal kan skrivast som $2k$ der $k$ er eit heilt tal.

Så vi kan skrive:
- $a = 2m$ for eit heilt tal $m$
- $b = 2n$ for eit heilt tal $n$

Summen blir:
$$a + b = 2m + 2n = 2(m + n)$$

Sidan $m + n$ er eit heilt tal, er $2(m + n)$ på forma $2k$, altså eit partal.

Konklusjon: Summen av to partal er alltid eit partal.

Resonnement:
Eit oddetal kan skrivast som $2k + 1$ der $k$ er eit heilt tal.

Så vi kan skrive:
- $a = 2m + 1$ for eit heilt tal $m$
- $b = 2n + 1$ for eit heilt tal $n$

Produktet blir:
$$a \cdot b = (2m + 1)(2n + 1)$$
$$= 4mn + 2m + 2n + 1$$
$$= 2(2mn + m + n) + 1$$

Dette er på forma $2k + 1$ der $k = 2mn + m + n$, altså eit oddetal.

Konklusjon: Produktet av to oddetal er alltid eit oddetal.

I staden for å vise "$n^2$ partal $\Rightarrow$ $n$ partal", viser vi det logisk ekvivalente utsegnet:

"$n$ oddetal $\Rightarrow$ $n^2$ oddetal"

Bevis:
La $n$ vere eit oddetal, altså $n = 2k + 1$ for eit heilt tal $k$.

$$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$$

Dette er på forma $2m + 1$, altså eit oddetal.

Konklusjon: Sidan $n$ oddetal gir $n^2$ oddetal, må det motsette også gjelde: $n^2$ partal gir $n$ partal.

Anta det motsette: Anta at $\sqrt{2}$ er rasjonalt.

Da kan $\displaystyle \sqrt{2} = \frac{p}{q}$ der $p$ og $q$ er heile tal utan felles faktorar.

$$\sqrt{2} = \frac{p}{q} \Rightarrow 2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2q^2$$

Så $p^2$ er partal, som betyr at $p$ er partal (vist i døme 3).

La $p = 2k$:
$$p^2 = 4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2$$

Så $q^2$ er partal, som betyr at $q$ er partal.

Sjølvmotseiing: Både $p$ og $q$ er partal, men vi antok at dei ikkje hadde felles faktorar!

Konklusjon: Antakinga var feil, så $\sqrt{2}$ må vere irrasjonalt.