7.3 Lineær regresjon | Matematikk 1P

Lær å finne den best tilpassede rette linjen til et datasett, tolke korrelasjonskoeffisienten og bruke modellen til å gjøre prediksjoner.

55 min

6 oppgaver

Lineær regresjonKorrelasjonskoeffisientPrediksjonDigitale verktøy

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Kva er regresjon?

I mange situasjonar samlar vi inn data og ønskjer å beskrive samanhengen mellom to storleikar med eit funksjonsuttrykk. Denne prosessen kallast regresjon.

For eksempel kan vi måle temperaturen ute til ulike tidspunkt, registrere pris og etterspørnad for ei vare, eller sjå på samanhengen mellom treningsstundar og løpstid. Når vi har eit sett med datapunkt, prøver vi å finne ei funksjon som passar best mogleg til dataene.

Det finst ulike typar regresjon avhengig av kva funksjonstype vi tilpassar:
- Lineær regresjon – ei rett linje
- Eksponentiell regresjon – ei eksponentialfunksjon
- Polynomregresjon – eit polynom av ei gjeven grad

I dette kapitlet ser vi på lineær regresjon.

Spredningsdiagram

Før vi gjer regresjon, plottar vi datapunkta i eit spredningsdiagram (også kalla punktdiagram). Dette gir oss eit visuelt bilete av dataene og hjelper oss å vurdere om ein lineær modell er fornuftig.

Kvert datapunkt har ein $x$ -verdi og ein $y$ -verdi, og vi plottar dei som punkt i eit koordinatsystem.

Slik lagar du eit spredningsdiagram:
1. Vel kva variabel som er den uavhengig ( $x$ ) og kva som er den avhengig ( $y$ ).
2. Teikn eit koordinatsystem med passande aksar.
3. Plott alle datapunkta.
4. Vurder visuelt om punkta ser ut til å følgje ei rett linje, ei kurve, eller om det ikkje er nokon tydleg samanheng.

✏️Døme 1: Lage spredningsdiagram

Ein bonde registrerer kor mykje gjødsel (kg per dekar) han bruker, og avlinga (kg per dekar) han får:

Gjødsel (kg/daa)	10	15	20	25	30	35	40
Avling (kg/daa)	320	370	450	480	530	560	610

a) Plott dataene i eit spredningsdiagram.
b) Ser det ut til å vere ei lineær samanheng?

Løysing:

a) Vi set gjødsel på $x$ -aksen og avling på $y$ -aksen, og plottar punkta:
$(10,\, 320)$ , $(15,\, 370)$ , $(20,\, 450)$ , $(25,\, 480)$ , $(30,\, 530)$ , $(35,\, 560)$ , $(40,\, 610)$ .

b) Når vi ser på spredningsdiagrammet, ligg punkta tilnærma langs ei rett linje som stig frå venstre mot høgre. Det ser altso ut til å vere ei lineær samanheng: meir gjødsel gir større avling.

Lineær regresjon

y = ax + b

✏️Døme 2: Finne regresjonslinjen

Bruk dataene frå døme 1 (gjødsel og avling) og eit digitalt verktøy til å finne regresjonslinjen.

Gjødsel ( $x$ )	10	15	20	25	30	35	40
Avling ( $y$ )	320	370	450	480	530	560	610

Løysing:

Vi legg inn dataene i GeoGebra eller eit rekneark og bruker funksjonen for lineær regresjon.

Regresjonslinjen blir:

$y = 9{,}5x + 237$

Her betyr:
- $a = 9{,}5$ : for kvar ekstra kg gjødsel per dekar aukar avlinga med ca. $9{,}5$ kg per dekar.
- $b = 237$ : modellen anslo ei avling på $237$ kg/daa utan gjødsel.

Kontroll: For $x = 20$ : $y = 9{,}5 \cdot 20 + 237 = 190 + 237 = 427$ . Den faktiske verdien var $450$ , så avviket er $23$ kg.

📊Utforsk: Lineær regresjon med RegLin

Datapunkta ligg nesten på ei rett linje. Kommandoen RegLin finn linja som passar best til punkta (regresjonslinjen, raud). Prøv å dra i eit av punkta og sjå korleis linja justerer seg.

Korrelasjon

Korrelasjon beskriver styrken og retninga av den lineære samanhengen mellom to variablar.

Det finst tre hovudtypar:

- Positiv korrelasjon: Når $x$ aukar, aukar også $y$ . Punkta i spredningsdiagrammet stig mot høgre. Døme: Høgare temperatur → meir issalg.
- Negativ korrelasjon: Når $x$ aukar, minkkar $y$ . Punkta fell mot høgre. Døme: Fleire treningsstundar → lågare kvilepuls.
- Ingen korrelasjon: Det er ingen tydleg lineær samanheng mellom variablane. Punkta er spreidd utan mønster. Døme: Skostørrelse og karakterar i matematikk.

Korrelasjonskoeffisienten r

r

$\|r\|$	Styrke
$0{,}9 - 1{,}0$	Svært sterk
$0{,}7 - 0{,}9$	Sterk
$0{,}4 - 0{,}7$	Moderat
$0{,}2 - 0{,}4$	Svak
$0{,}0 - 0{,}2$	Svært svak / ingen

✏️Døme 3: Tolke korrelasjonskoeffisienten

For gjødsel-avling-dataene finn vi $r = 0{,}992$ med eit digitalt verktøy.

a) Er korrelasjonen positiv eller negativ?
b) Kor sterk er den lineære samanhengen?
c) Kva betyr dette i praksis?

Løysing:

a) $r = 0{,}992 > 0$ , så korrelasjonen er positiv. Det betyr at meir gjødsel heng saman med høgare avling.

b) $|r| = 0{,}992$ er svært nær $1$ , noko som betyr ein svært sterk lineær samanheng.

c) I praksis betyr dette at det er ei nesten perfekt lineær samanheng mellom gjødselmengde og avling i dette området. Regresjonslinjen gir svært gode estimat.

📝Oppgave 7.6

Avgjerd om korrelasjonen er positiv, negativ eller ingen:

Antal stundar plugging og poengsum på ei prøve

Bilens alder og salgspris

Hårfarge og kroppshøyde

Utetemperatur og straumforbruk til oppvarming

Løs oppgaven Tren

Bruke regresjonsmodellen til prediksjon

Når vi har funne regresjonslinjen $y = ax + b$ , kan vi bruke ho til å forutsjå (predikere) $y$ -verdiar for nye $x$ -verdiar.

Døme: Hvis regresjonslinjen for gjødsel og avling er $y = 9{,}5x + 237$ , kan vi anslo avlinga ved $45$ kg gjødsel per dekar:

$y = 9{,}5 \cdot 45 + 237 = 427{,}5 + 237 = 664{,}5 \text{ kg/daa}$

Men vi må vere forsiktige med å bruke modellen utanfor datasettet vi har brukt til å lage ho.

Interpolering og ekstrapolering

- Interpolering: Vi bruker modellen til å anslo verdiar innanfor området til dataene vi har. Dette gir vanlegvis pålitelege resultat.
- Ekstrapolering: Vi bruker modellen til å anslo verdiar utanfor det kjende dataområdet. Dette er meir usikkert fordi vi ikkje veit om samanhengen fortsett på same måte.

Døme: Gjødseldataene våre går frå $x = 10$ til $x = 40$ .
- Å berekne avling for $x = 22$ er interpolering (innanfor intervallet).
- Å berekne avling for $x = 80$ er ekstrapolering (utanfor intervallet). Kanskje for mykje gjødsel skadar plantene — då stemmer ikkje ein lineær modell lenger.

Korrelasjon betyr ikkje årsak

At to storleikar korrelerer, betyr ikkje nødvendigvis at den eine forårsaker den andre.

Døme: Det er ein sterk positiv korrelasjon mellom issalg og antal drukningsulykker i løpet av eit år. Men det er ikkje isen som forårsaker drukning — begge delar skyldt ein felles bakanforliggande faktor: varmt vêr.

Ver alltid kritisk og tenk over om samanhengen gir meining i konteksten.

✏️Døme 4: Regresjon med digitale verktøy

Ein bedrift sel varmepumper. Tabellen viser gjennomsnittleg utetemperatur i januar ( $x$ , i $°C$ ) og antal selde varmepumper den månaden ( $y$ ) over åtte år:

Temperatur ( $°C$ )	$-12$	$-8$	$-5$	$-3$	$0$	$2$	$-10$	$-6$
Antal solgt	84	65	52	40	28	18	75	58

a) Bruk eit digitalt verktøy til å finne regresjonslinjen.
b) Kva er korrelasjonskoeffisienten? Tolk svaret.

c) Bruk modellen til å anslo salet hvis januartemperaturen er $-7\,°C$ .
d) Ville det vore fornuftig å bruke modellen til å anslo salet ved $25\,°C$ ?

Løysing:

a) Vi legg inn dataene i GeoGebra eller eit rekneark og gjer lineær regresjon. Regresjonslinjen blir:

$y = -4{,}7x + 28$

b) Korrelasjonskoeffisienten er $r \approx -1{,}00$ .

- Korrelasjonen er negativ: lågare temperatur gir fleire selde varmepumper.
- $|r| \approx 1{,}00$ betyr ein svært sterk lineær samanheng.

c) For $x = -7$ :
$y = -4{,}7 \cdot (-7) + 28 = 32{,}9 + 28 = 60{,}9$
Modellen anslo ca. $61$ selde varmepumper.

Detta er interpolering (innanfor dataområdet $-12$ til $2$ ), så estimatet er rimelegleg.

d) $25\,°C$ er langt utanfor dataområdet. Dette er ekstrapolering:
$y = -4{,}7 \cdot 25 + 28 = -117{,}5 + 28 = -89{,}5$

Eit negativt antal gir ingen meining. Modellen bryt ned utanfor dataområdet, og ekstrapolering er ikkje fornuftig her.

📝Oppgave 7.7

Ein sportskjede har registrert samanhengen mellom annonsekostnader ( $x$ , i tusen kroner) og omsetning ( $y$ , i tusen kroner) over seks månader:

Annonsekostnader ( $x$ )	5	10	15	20	25	30
Omsetning ( $y$ )	120	180	230	310	350	420

Bruk eit digitalt verktøy til å finne regresjonslinjen.

Finn korrelasjonskoeffisienten og tolk ho.

Bruk modellen til å anslå omsetningen dersom bedrifta bruker 18 000 kr på annonser.

Er det fornuftig å bruke modellen til å anslå omsetningen ved annonsekostnader på 100 000 kr? Grunngiv svaret.

I GeoGebra:
1. Skriv inn datapunkta som ei liste, t.d.

\{(10, 320), (15, 370), \ldots\}

2. Bruk kommandoen RegLin(<Liste>) for å finne regresjonslinjen.
3. GeoGebra viser også korrelasjonskoeffisienten.

I rekneark (Excel/Google Sheets):
1. Legg inn $x$ -verdiane i éin kolonne og $y$ -verdiane i ei anna.
2. Marker dataa og set inn eit spredningsdiagram.
3. Høgreklikk på datapunkta og vel "Legg til trendlinje" → Lineær.
4. Kryss av for "Vis ligning" og "Vis $R^2$ -verdi". Merknote: $R^2 = r^2$ .

📝Oppgave 7.8

Ein forskar undersøkjer samanhangen mellom dagleg skjermtid ( $x$ , i timar) og søvnkvalitet ( $y$ , skala $1$ – $10$ ) hjå ei gruppe ungdommar:

Skjermtid (timar)	1	2	3	4	5	6	7	8
Søvnkvalitet	8,5	8,0	7,2	6,8	6,0	5,5	4,8	4,2

Finn regresjonslinjen og korrelasjonskoeffisienten.

Tolk stigningstalet og konstantleddet i modellen.

Kan vi konkludere med at skjermtid forårsaker dårlegare søvn? Grunngiv.

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Spredningsdiagram: Plott av datapunkta som viser samanhangen mellom to storleikar.
- Lineær regresjon: Å finne den rette linja $y = ax + b$ som passar best til datapunkta — dette gjer ein digitalt.
- Korrelasjonskoeffisienten $r$ : Tal mellom $-1$ og $1$ som måler kor sterk den lineære samanhangen er.
- Interpolering (innanfor dataområdet) er tryggare enn ekstrapolering (utanfor).
- Korrelasjon er ikkje årsak: At to storleikar samvarierast, beviser ikkje at den eine forårsaker den andre.

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Regresjonslinje	Linja som passar dataa best
Korrelasjon	Samvariasjoner mellom to storleikar
Interpolering	Bruke modellen innanfor datapunkta
Ekstrapolering	Bruke modellen utanfor datapunkta

Hugs

r

nær

1

eller

-1

: sterk lineær samanheng.

r

nær

0

: svak samanheng

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 3 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.