3.5 Eksponentialfunksjoner | Matematikk 1P

Lær om eksponentiell vekst og nedgang, vekstfaktor, doblings- og halveringstid.

55 min

7 oppgaver

EksponentialfunksjonVekstfaktorDoblingstidHalveringstid

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Frå lineær til eksponentiell vekst

Når ein størrelse veks med eit fast beløp per tidseining, har vi lineær vekst. Men i mange situasjonar veks størrelsen med ein fast prosent per tidseining. Da har vi eksponentiell vekst.

Tenk på skilnaden:
- Lineær vekst: Du set inn 500 kr på kontoen kvart år. Etter 10 år har du 5000 kr ekstra.
- Eksponentiell vekst: Pengane dine veks med 5% per år. Jo meir du har, jo meir veks det.

Eksponentiell vekst startar sakte, men akselererer raskt og kan bli svært stor.

Eksponentialfunksjon

f(x) = a \cdot b^x

Vekstfaktor som base

Vekstfaktoren $b$ heng direkte saman med den prosentvise endringa per tidseining:

- Auke med $p$ %: $\displaystyle b = 1 + \frac{p}{100}$
- Nedgang med $p$ %: $\displaystyle b = 1 - \frac{p}{100}$

For døme:
- 3% årleg vekst: $b = 1{,}03$
- 8% årleg nedgang: $b = 0{,}92$
- 12% vekst per periode: $b = 1{,}12$
- 50% nedgang: $b = 0{,}50$

✏️Døme 1: Sparekonto

Du set 10 000 kr i banken til 4% årleg rente. Lag ein modell for beløpet etter $x$ år, og finn beløpet etter 5 år.

Løysing:

Startverdi: $a = 10\,000$

Årleg vekstfaktor: $\displaystyle b = 1 + \frac{4}{100} = 1{,}04$

Modell: $f(x) = 10\,000 \cdot 1{,}04^x$

Etter 5 år:
$f(5) = 10\,000 \cdot 1{,}04^5 = 10\,000 \cdot 1{,}2167 \approx 12\,167$

Etter 5 år har du omtrent 12 167 kr på kontoen.

📝Oppgave 3.5.1

Finn vekstfaktoren $b$ og skriv opp funksjonsuttrykket $f(x) = a \cdot b^x$ :

Startverdi 200, 10% årleg vekst

Startverdi 5000, 3% årleg nedgang

Startverdi 800, 25% vekst per periode

Startverdi 1200, 15% nedgang per periode

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 2: Verdifall på bil

Ein ny bil kostar 350 000 kr. Bilen mistar 18% av verdien kvart år.

a) Set opp ein modell for bilens verdi etter $x$ år.
b) Kva er bilen verdt etter 3 år?
c) Kva er bilen verdt etter 8 år?

Løysing:

a) Startverdi $a = 350\,000$ kr. Årleg nedgang 18%, altso vekstfaktor $b = 1 - 0{,}18 = 0{,}82$ .

$V(x) = 350\,000 \cdot 0{,}82^x$

b) $V(3) = 350\,000 \cdot 0{,}82^3 = 350\,000 \cdot 0{,}5514 \approx 192\,976$ kr

Etter 3 år er bilen verdt ca. 193 000 kr.

c) $V(8) = 350\,000 \cdot 0{,}82^8 = 350\,000 \cdot 0{,}2044 \approx 71\,540$ kr

Etter 8 år er bilen verdt ca. 71 500 kr -- berre omtrent ein femtedel av nybilprisen.

📊Utforsk: Eksponentiell vekst og nedgang

Blå graf viser vekst med vekstfaktor $1{,}08$ (8 % auke per år), raud graf viser nedgang med vekstfaktor $0{,}85$ (15 % reduksjon per år), båe frå startverdien 1000. Prøv å endre vekstfaktorane og sjå kva som skjer.

Doblings- og halveingstid

Doblingstid er tida det tek for ein størrelse å bli dobbelt so stor ved eksponentiell vekst.

Halveingstid er tida det tek for ein størrelse å bli halverta ved eksponentiell nedgang.

I 1P finn vi doblings- og halveingstid ved å prøve oss fram, lese av frå graf, eller bruke digitale verktøy.

✏️Døme 3: Doblingstid

Ein bakteriekoloni startar med 500 bakteriar og veks med 15% per time. Finn doblingstida ved å prøve ulike verdiar for $x$ .

Løysing:

Modell: $f(x) = 500 \cdot 1{,}15^x$

Vi leiter etter $x$ der $f(x) = 1000$ (dobbelt av 500):

$500 \cdot 1{,}15^x = 1000$
$1{,}15^x = 2$

Vi prøver:
- $x = 3$ : $1{,}15^3 = 1{,}521$ (for lite)
- $x = 5$ : $1{,}15^5 = 2{,}011$ (svært nær 2!)
- $x = 4$ : $1{,}15^4 = 1{,}749$ (for lite)
- $x = 4{,}9$ : $1{,}15^{4{,}9} \approx 1{,}989$ (nesten)

Doblingstida er omtrent 5 timar.

Merk: Doblingstida er den same uansett startverdien. Anten vi startar med 500, 1000 eller 10 000 bakteriar, tek det ca. 5 timar å doble talet.

📝Oppgave 3.5.2

Løys oppgåvene om eksponentiell vekst og nedgang:

Eit land har 2 millionar innbyggjarar og befolkninga veks med 2% per år. Kor mange innbyggjarar er det etter 10 år?

Eit radioaktivt stoff har halveingstid 6 timar. Du startar med 80 gram. Kor mykje er att etter 18 timar?

Ein sparekonto gir 3,5% rente. Du set inn 25 000 kr. Kor mykje har du etter 7 år?

Løs oppgaven Tren

Lineær vs. eksponentiell vekst

Det er viktig å forstå skilnaden:

Eigenskap	Lineær vekst	Eksponentiell vekst
Formel	$f(x) = ax + b$	$f(x) = a \cdot b^x$
Endring per steg	Fast beløp ( $a$ )	Fast prosent
Graf	Rett linje	Bogen kurve
Døme	Fastløn per time	Rentesrente

Ved eksponentiell vekst med

b > 1

vil funksjonen alltid til slutt vekse raskare enn kvar som helst lineær funksjon, uansett kor bratt linja er.

✏️Døme 4: Samanlikne veksttypar

To vener sparar pengar:
- Sara set inn 1000 kr ekstra per år (lineær vekst).
- Jonas startar med 5000 kr og pengane vekst med 8% per år (eksponentiell vekst).

Begge startar med 5000 kr. Samanlikn beløpa etter 5, 10 og 20 år.

Løysing:

Sara (lineær): $S(x) = 1000x + 5000$
Jonas (eksponentiell): $J(x) = 5000 \cdot 1{,}08^x$

År ( $x$ )	Sara	Jonas
5	$1000 \cdot 5 + 5000 = 10\,000$	$5000 \cdot 1{,}08^5 \approx 7\,347$
10	$1000 \cdot 10 + 5000 = 15\,000$	$5000 \cdot 1{,}08^{10} \approx 10\,795$
20	$1000 \cdot 20 + 5000 = 25\,000$	$5000 \cdot 1{,}08^{20} \approx 23\,305$

Etter 5 og 10 år lieder Sara. Men den eksponentielle veksten til Jonas tek snart attende, og etter lang nok tid vil Jonas ha langt meir enn Sara.

📝Oppgave 3.5.3

Ein fabrikk produserte 12 000 einingar i 2020. Produksjonen aukar med 6% per år.

Set opp ein modell $P(x)$ for produksjonen $x$ år etter 2020.

Kor mange einingar produsersst i 2025?

Når vil produksjonen passere 20 000 einingar? Prøv ulike verdiar.

Løs oppgaven Tren

Ein praktisk tommelfingerregel kallast 72-regelen:

$\text{Doblingsstid} \approx \frac{72}{p}$

der $p$ er vekstraten i prosent.

Døme:
- 6% vekst: doblingsstid $\displaystyle \approx \frac{72}{6} = 12$ periodar
- 8% vekst: doblingsstid $\displaystyle \approx \frac{72}{8} = 9$ periodar
- 3% vekst: doblingsstid $\displaystyle \approx \frac{72}{3} = 24$ periodar

Detta er ei tilnærming, men han fungerer godt for overslågsrekning.

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Eksponentialfunksjon: $f(x) = a \cdot b^x$ , der $a$ er startverdien og $b$ er vekstfaktoren.
- Vekstfaktor: $b > 1$ gir vekst ( $b = 1{,}05$ er $5\%$ auke), $0 < b < 1$ gir nedgang ( $b = 0{,}88$ er $12\%$ nedgang).
- Doblingsstid: Tida det tek før verdien doblar — anslått med 72-regelen: $\displaystyle \approx \frac{72}{p}$ år ved $p\,\%$ vekst.
- Lineær vs. eksponentiell: Lineær vekst aukar med likt beløp per periode, eksponentiell med lik prosent.

Nøkkelbegrep

Omgrep	Forklaring
Startverdi	$a$ — verdien når $x = 0$
Vekstfaktor	$b$ — det verdien gongast med per periode
Doblingsstid	Tid før verdien er dobla
Halveringsstid	Tid før verdien er halva

Viktige formlar

f(x) = a \cdot b^x

- Doblingsstid

\displaystyle \approx \frac{72}{p}

år ved

p\,\%

årleg vekst

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.