Tilbake
5.1
Kombinatorikk

5.1 Kombinatorikk

Alle fag for 10. klasse

Telle gunstige utfall systematisk med kombinatorikk.

50 min
14 oppgaver
KombinatorikkMultiplikasjonsprinsippetPermutasjonerKombinasjoner
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 14 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Innleiing

Kombinatorikk handlar om å telje antall moglegheiter på ein systematisk måte. Dette er nyttig i mange samanhengar - frå å berekne antall moglege passord til å finne sannsynlegheiter i spel og lotteri.

I dette kapitlet skal vi lære tre viktige verktøy:
- Multiplikasjonsprinsippet - for trinnvise val
- Permutasjoner - når rekkjefølgja betyr noko
- Kombinasjonar - når rekkjefølgja ikkje betyr noko

Multiplikasjonsprinsippet
Viss ei handling kan gjerast på mm måtar, og ei annan uavhengig handling kan gjerast på nn måtar, kan begge handlingane saman gjerast på:

m⋅n ma˚tarm \cdot n \text{ måtar}

Dette kan utvikjast til fleire handlingar: m⋅n⋅p⋅...m \cdot n \cdot p \cdot ...

✏️Døme 1: Antrekk

Marie har 4 bukser og 5 t-skjorter. Kor mange ulike antrekk kan ho lage?

Løysing:

Vi bruker multiplikasjonsprinsippet:

- Val av bukse: 4 moglegheiter
- Val av t-skjorte: 5 moglegheiter

Totalt antall antrekk = 4⋅5=204 \cdot 5 = 20

Marie kan lage 20 ulike antrekk.

✏️Døme 2: PIN-kode

Ein PIN-kode består av 4 siffer (0-9). Kor mange ulike PIN-kodar finst?

Løysing:

Kvar siffer kan vere 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eller 9. Det gir 10 val per posisjon.

Antall PIN-kodar = 10⋅10⋅10⋅10=104=10 00010 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000

Det finst 10 000 ulike PIN-kodar.

📝Oppgave 1

Bruk multiplikasjonsprinsippet til å finne antall moglegheiter.

a

Ein restaurant tilbyr 3 forretter, 5 hovudretter og 4 dessertar. Kor mange ulike 3-rett-menyer kan setjast saman?

b

Eit bilskilt har 2 bokstavar (A-Z) fylgt av 5 siffer (0-9). Kor mange ulike skilt kan lagast?

c

Du skal velje brød (3 typar), pålegg (6 typar) og drikke (4 typar) til lunsj. Kor mange kombinasjonar?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 2

Løys oppgåvene med multiplikasjonsprinsippet.

a

Eit passord skal ha 3 bokstavar (a-z, 26 val) fylgt av 2 siffer (0-9). Kor mange passord er moglege?

b

Ein kafé tilbyr 5 kaffitypar og 8 kakestykker. Kor mange ulike kaffe-og-kake-val finst?

c

Eit flervalgstest har 10 spørsmål med 4 svaralternativ kvar. Kor mange ulike besvaringar er moglege?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave F1
Finn feilen! Amina skal finne antall moglege 3-sifra kodar der kvar siffer er 0-9. Ho skriv:

«Første siffer: 10 val. Andre siffer: 9 val (eitt er brukt). Tredje siffer: 8 val.

Antall kodar =10⋅9⋅8=720= 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720»

Finn feilen og skriv riktig utrekning.

Fakultet
Fakultet skrives n!n! (lesast "n fakultet") og definerast som:

n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅...⋅2⋅1n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1

Dømer:
- 5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120
- 4!=4⋅3⋅2⋅1=244! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24
- 1!=11! = 1
- 0!=10! = 1 (definert)

Permutasjoner
Ein permutasjon er ein ordna rekkjefølgje av element.

Antall permutasjonar av nn element:
Pn=n!P_n = n!

Antall permutasjonar av rr element valde frå nn element:
P(n,r)=n!(n−r)!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−r+1)P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-r+1)

Permutasjonar blir brukte når rekkjefølgja betyr noko.

✏️Døme 3: Rekkjefølgje i kø

På kor mange måter kan 6 personar stille seg på rekke?

Løysing:

Første plass: 6 val
Andre plass: 5 val (éin er allereie plassert)
Tredje plass: 4 val
... og så vidare

Antall måter = 6!=6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=7206! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720

Det er 720 måter å stille seg på rekke.

✏️Døme 4: Pallplassar

I eit løp med 10 deltakarar skal det delast ut gull, sølv og bronse. På kor mange måter kan dei tre første plassane fordelast?

Løysing:

Vi skal velje 3 frå 10, og rekkjefølgja betyr noko (gull ≠ sølv ≠ bronse).

P(10,3)=10!(10−3)!=10!7!=10⋅9⋅8=720P(10,3) = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720

Alternativt: Gull kan gå til 10 stk, sølv til 9 stk, bronse til 8 stk: 10⋅9⋅8=72010 \cdot 9 \cdot 8 = 720

Det er 720 måter å fordele pallplassane.

📝Oppgave 3

Rekn ut fakultet.

a

Rekn ut 5!5!

b

Rekn ut 7!7!

c

Forenkle 8!6!\displaystyle \frac{8!}{6!}

d

Forenkle 10!8!\displaystyle \frac{10!}{8!}

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 4

Løys oppgåver med permutasjonar.

a

På kor mange måter kan 5 bøker ordnast på ei hylle?

b

I ei klasse på 25 elevar skal det veljast president, visepresident og sekretær. Kor mange måter?

c

Kor mange 4-sifra tal kan lagast av sifra 1, 2, 3, 4, 5, 6 utan gjentaking?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 5

Finn antall permutasjonar.

a

Eit ord har 7 ulike bokstavar. På kor mange måter kan bokstavane ordnast?

b

Frå eit fotballlag på 11 spelarar skal det veljast kaptein og viskaptein. Antall måter?

c

8 løparar skal ha plass 1 til 4. Antall moglegheiter?

Løs oppgavenTren
Kombinasjonar
Ei kombinasjon er eit utval der rekkjefølgja ikkje betyr noko.

Antall måter å velje rr element frå nn element når rekkjefølgja ikkje betyr noko:

C(n,r)=(nr)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}

Lesest "nn over rr" eller "nn vel rr".

Døme: (52)=5!2!⋅3!=5⋅42⋅1=10\displaystyle \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10

✏️Døme 5: Velje utval

Ein komité på 4 personar skal veljast frå ein gruppe på 10. På kor mange måter kan dette gjerast?

Løysing:

Rekkjefølgja betyr ikkje noko (alle i komiteen er likestilte), så vi brukar kombinasjonar.

(104)=10!4!⋅6!=10⋅9⋅8⋅74⋅3⋅2⋅1=504024=210\binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5040}{24} = 210

Det er 210 måter å velje komiteen.

✏️Døme 6: Lotteri

I eit lotteri blir det trekt 6 tal frå tala 1-34. Kor mange ulike kombinasjonar finst?

Løysing:

Rekkjefølgja tala blir trekte i spelar ingen rolle (1, 5, 12, 20, 25, 34 er same som 34, 25, 20, 12, 5, 1).

(346)=34!6!⋅28!=34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅296!\binom{34}{6} = \frac{34!}{6! \cdot 28!} = \frac{34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29}{6!}

=968 330 880720=1 344 904= \frac{968\,330\,880}{720} = 1\,344\,904

Det finst 1 344 904 kombinasjonar.

📝Oppgave 6

Rekn ut kombinasjonar.

a

Rekn ut (62)\binom{6}{2}

b

Rekn ut (83)\binom{8}{3}

c

Rekn ut (104)\binom{10}{4}

d

Rekn ut (77)\binom{7}{7}

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 7

Løys kombinasjonsproblem.

a

På kor mange måtar kan 3 elevar veljast frå ei klasse på 15 til å representera klassen?

b

Eit handballag skal ha 7 spelarar på banen. Kor mange ulike lag kan setjast saman frå ei tropp på 12?

c

I poker får du 5 kort frå ein kortstokk på 52. Kor mange ulike hendar finst?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 8

Avgjer om det er permutasjon eller kombinasjon, og løys.

a

Velja 4 songar frå 20 til ei speljeliste (rekkjefølgja i speljelist betyr noko)

b

Velja 4 ingrediensar frå 10 til ein salat

c

Setja saman ein PIN-kode på 4 siffer (med gjentagelse)

Løs oppgavenTren

Samansette problem

Nokon gonger må vi kombinera fleire metodar for å løysa eit problem. Til dømes kan vi bruka:

- Totalt minus uønskte: Finn alle moglegheiter, trekk frå dei du ikkje vil ha
- Dela opp i tilfelle: Løys separat for kvar situasjon, summer
- Kombinera kombinatorikk: Bruk både permutasjonar og kombinasjonar i same oppgåva

✏️Døme 7: Minst-problem

Frå ei gruppe på 6 gutar og 5 jenter skal det veljast eit utval på 4 personar. På kor mange måtar kan dette gjerast dersom det skal vera minst 2 jenter?

Løysing:

"Minst 2 jenter" betyr 2, 3 eller 4 jenter. Vi delar opp i tilfelle:

2 jenter, 2 gutar:
(52)⋅(62)=10⋅15=150\binom{5}{2} \cdot \binom{6}{2} = 10 \cdot 15 = 150

3 jenter, 1 gut:
(53)⋅(61)=10⋅6=60\binom{5}{3} \cdot \binom{6}{1} = 10 \cdot 6 = 60

4 jenter, 0 gutar:
(54)⋅(60)=5⋅1=5\binom{5}{4} \cdot \binom{6}{0} = 5 \cdot 1 = 5

Totalt: 150+60+5=215150 + 60 + 5 = 215 måtar

📝Oppgave 9

Løys samansette kombinatoriske problem.

a

Frå 7 norskmanar og 4 svenskar skal det veljast eit lag på 5 med minst 2 svenskar. Kor mange måtar?

b

Eit passord på 4 tegn skal innehalda minst eitt siffer (0-9). Bokstavar er A-Z (26 stk). Tal moglegheiter?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 10

Løys kombinasjonsproblem med vilkår.

a

Ein komité på 5 skal veljast frå 10 personar. Éin bestemt person MÅ vere med. Kor mange måtar?

b

Same som over, men to bestemte personar KAN IKKJE begge vere med. Antal måtar?

c

Du har 8 ulike bøker og skal velje 3 til ferietur. Kor mange utval har med favorittpboka di?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 11

Løys oppgåver med kortspel.

a

Ein kortstokk har 52 kort (4 fargar, 13 verdiar). Kor mange måtar kan du få 5 kort av same farga (flush)?

b

Kor mange måtar kan du få 3 ess blant 5 kort?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 12

Bruk Pascals trekant.

a

Vis at (nr)=(nn−r)\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r} ved å rekne ut (62)\binom{6}{2} og (64)\binom{6}{4}

b

Rekn ut (50)+(51)+(52)+(53)+(54)+(55)\binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5}

c

Bruk at (nr)+(nr+1)=(n+1r+1)\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1} til å finne (83)\binom{8}{3} om du veit (72)=21\binom{7}{2} = 21 og (73)=35\binom{7}{3} = 35

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 13

Utfordringoppgåver i kombinatorikk.

a

Ein sjakkturnering har 8 deltakarar. Alle spelar mot alle éin gong. Kor mange partikelekampar spelast?

b

Eit sjakkset har 8 offiserarar (dronning, tårn, løpar, springer) på kvar side. Kor mange måtar kan kvite offiserarar plasserast på rad 1 (8 felt)?

c

Ein pizzarestaurant har 12 topp ingar. Du kan velje opptil 4. Kor mange pizzavariiantar finnes (inkludert utan topp ing)?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 14

Blanda øving - avgjer metode og løys.

a

Kor mange måtar kan bokstavane i ordet MATTE ordnast? (Merknad: to T-ar)

b

Eit treningspass skal innehalde 3 øvingar frå 8 moglege. Rekkjefølgja er viktig. Antal moglegheiter?

c

Lotto: 7 tal frå 1-34. Du kryssar av 7 tal. Sannsynet for 7 rette? (som brøk)

Løs oppgavenTren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Multiplikasjonsprinsippet: Viss ei handling kan gjørast på mm måtar og ei anna på nn måtar, kan begge gjørast på m⋅nm \cdot n måtar
- Fakultet: n!=n⋅(n−1)⋅...⋅2⋅1n! = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1, vert brukt til å telje ordna utval
- Permutasjonar: Ordna utval der rekkjefølgja tyder noko: P(n,r)=n!(n−r)!\displaystyle P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}
- Kombinasjonar: Utval der rekkjefølgja ikkje tyder noko: (nr)=n!r!(n−r)!\displaystyle \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
- Samansette problem: Kombinere metodar, dele opp i tilfelle, eller bruke «totalt minus uønskte»

Nøkkelbegrep


BegrepForklaring
MultiplikasjonsprinsippetGang antalet val for kvart trinn
Fakultet (n!n!)Produktet av alle tal frå nn ned til 1
PermutasjonOrdna utval (rekkjefølgja tyder noko)
KombinasjonUordna utval (rekkjefølgja tyder ikkje noko)

Viktige formlar


- n!=n⋅(n−1)⋅...⋅1n! = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 1
- P(n,r)=n!(n−r)!\displaystyle P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} (permutasjonar)
- (nr)=n!r!(n−r)!\displaystyle \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} (kombinasjonar)
Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.