5.4 Gassberegninger

Loven som styrer all gass

En gass er vanskelig å gripe. Du kan ikke veie den lett på en kjøkkenvekt, og volumet endrer seg så snart du varmer eller klemmer på den. Likevel finnes det en enkelt, vakker likning som binder sammen alt: den ideelle gassloven.
$$PV = nRT$$
Her er $P$ trykket (i Pa eller atm), $V$ volumet (i m³ eller L), $n$ stoffmengden (mol), $T$ temperaturen (i kelvin), og $R$ er gasskonstanten $= 8{,}314$ J/(mol·K). Denne ene likningen forteller alt om hvordan en gass oppfører seg.

Noen enheter må du holde styr på. For trykk er $1$ atm $= 101\,325$ Pa og $1$ bar $= 100\,000$ Pa. Temperatur må alltid være i kelvin: $T(\text{K}) = T(\degree\text{C}) + 273{,}15$. Og $1$ m³ $= 1000$ L. Likningen kan snus alt etter hva du søker: $\displaystyle n = \frac{PV}{RT}$, $\displaystyle V = \frac{nRT}{P}$, $\displaystyle P = \frac{nRT}{V}$.

La oss finne volumet til 2 mol nitrogen ved 25 °C og 1 atm. Først kelvin: $T = 25 + 273 = 298$ K. Trykket er $101\,325$ Pa. Da blir $\displaystyle V = \frac{nRT}{P} = \frac{2 \times 8{,}314 \times 298}{101\,325} = \frac{4955}{101\,325} = 0{,}0489$ m³ $= 48{,}9$ L. To mol nitrogengass fyller altså nesten 49 liter ved romtemperatur.

Den magiske tjuetotalleren

Gassloven er fleksibel, men noen ganger trenger vi ikke regne på den i det hele tatt. Det skyldes en bemerkelsesverdig regularitet ved standardforhold (STP), definert som 0 °C (altså 273 K) og 1 atm (101 325 Pa). Ved STP har 1 mol av en hvilken som helst ideell gass alltid det samme volumet:
$$V_\text{m} = 22{,}4 \text{ L/mol}$$
Dette tallet kalles molart volum, og det er en av kjemiens nyttigste konstanter. Det betyr at uansett om det er hydrogen, oksygen eller karbondioksid, fyller 1 mol gass 22,4 liter ved STP.

Formelen blir da forbløffende enkel: $V = n \times V_\text{m} = n \times 22{,}4$ L. To mol $\text{CO}_2$ ved STP fyller $2 \times 22{,}4 = 44{,}8$ L, og 0,5 mol $\text{N}_2$ fyller $0{,}5 \times 22{,}4 = 11{,}2$ L. Men husk en avgjørende advarsel: molart volum gjelder kun ved STP. Ved andre temperaturer og trykk må du tilbake til $PV = nRT$.

La oss kombinere med massen. Hvor stort volum har 88 g $\text{CO}_2$ ved STP? Med $M(\text{CO}_2) = 44$ g/mol blir $\displaystyle n = \frac{88}{44} = 2$ mol, og volumet $V = 2 \times 22{,}4 = 44{,}8$ L. Slik kan vi gå rett fra masse til gassvolum ved standardforhold.

Avogadros geniale innsikt

Hvorfor har alle gasser samme molare volum? Svaret ligger i en av kjemiens dypeste innsikter, Avogadros lov: like volumer av alle gasser inneholder samme antall molekyler, så lenge temperatur og trykk er like. Det spiller ingen rolle om molekylene er store eller små, lette eller tunge -- ett gassmolekyl tar i praksis like mye plass som ethvert annet.

Konsekvensen er forbausende praktisk: for gasser er volumforholdet lik molforholdet. Ta $2\text{H}_2(g) + \text{O}_2(g) \rightarrow 2\text{H}_2\text{O}(g)$. Molforholdet er 2 : 1 : 2, og dermed gjelder akkurat det samme for volumene ved samme temperatur og trykk: 2 liter hydrogen reagerer med 1 liter oksygen og gir 2 liter vanndamp. Skalerer du opp, blir det 10 L hydrogen med 5 L oksygen til 10 L vanndamp.

To viktige forbehold: dette gjelder bare for gasser, og bare ved samme temperatur og trykk. Og merk at $\text{H}_2\text{O}(g)$ betyr vanndamp, ikke flytende vann -- forholdet gjelder kun mens vannet er på gassform. La oss bruke loven på ammoniakk: $\text{N}_2(g) + 3\text{H}_2(g) \rightarrow 2\text{NH}_3(g)$. Siden 1 volum nitrogen gir 2 volum ammoniakk, gir 30 L nitrogen $\displaystyle 30 \times \frac{2}{1} = 60$ L ammoniakk ved samme forhold -- helt uten å regne med mol eller masse.

Gasser møter støkiometri

Nå kan vi knytte alt sammen: gassberegninger og støkiometri i ett. Oppskriften er enkel. Hvis reaksjonen skjer ved STP, bruker du molart volum: $V = n \times 22{,}4$ for å gå fra mol til volum, eller $\displaystyle n = \frac{V}{22{,}4}$ for å gå motsatt vei. Hvis det ikke er STP, bruker du den ideelle gassloven $PV = nRT$. Og så kombinerer du dette med molforholdet, akkurat som i vanlig støkiometri: masse → mol → volum for et gassprodukt, eller volum → mol → masse for et fast eller flytende produkt.

La oss prøve forbrenning av karbon ved STP: $\text{C} + \text{O}_2 \rightarrow \text{CO}_2$. Hvor mye $\text{CO}_2$ dannes fra 24 g karbon? Først $\displaystyle n(\text{C}) = \frac{24}{12} = 2$ mol. Molforholdet er 1 : 1, så $n(\text{CO}_2) = 2$ mol, og volumet blir $V = 2 \times 22{,}4 = 44{,}8$ L.

Et mer sammensatt eksempel: hvor mye oksygengass trengs ved STP for å brenne 32 g metan, gitt $\text{CH}_4 + 2\text{O}_2 \rightarrow \text{CO}_2 + 2\text{H}_2\text{O}$? Med $M(\text{CH}_4) = 16$ g/mol blir $\displaystyle n(\text{CH}_4) = \frac{32}{16} = 2$ mol. Molforholdet sier 1 mol metan trenger 2 mol oksygen, så $n(\text{O}_2) = 2 \times 2 = 4$ mol. Og volumet ved STP: $V(\text{O}_2) = 4 \times 22{,}4 = 89{,}6$ L. Du trenger nesten 90 liter oksygen.

Oppsummering

Den ideelle gassloven $PV = nRT$ knytter sammen trykk, volum, stoffmengde og temperatur, med $R = 8{,}314$ J/(mol·K) og temperaturen alltid i kelvin. Ved standardforhold (STP) -- 0 °C og 1 atm -- har 1 mol av enhver ideell gass det samme molare volumet, $V_\text{m} = 22{,}4$ L/mol, slik at $V = n \times 22{,}4$ L.

Bak dette ligger Avogadros lov: like volumer av alle gasser rommer like mange molekyler ved samme T og P, noe som gjør at volumforholdet er lik molforholdet for gasser. I gassberegninger i støkiometri kombinerer vi dette med molforholdet: bruk $V = n \times 22{,}4$ ved STP, ellers $PV = nRT$, og reis mellom masse, mol og volum -- slik kan vi måle og forutsi det som er for flyktig til å veies direkte.