12.2 Usikkerhet og feilkilder

Ingen måling er perfekt

Når du leser av en vekt eller en byrett, får du et tall. Men det tallet er aldri helt eksakt -- alle målinger inneholder en viss usikkerhet. Et ærlig vitenskapelig resultat sier ikke bare hva du målte, men også hvor sikker du er på det. To begreper er avgjørende, og de er ikke det samme.

Nøyaktighet sier hvor nær du er den sanne verdien. Høy nøyaktighet betyr at gjennomsnittet av målingene dine ligger tett opp mot fasiten. Presisjon sier hvor nær målingene er hverandre. Høy presisjon betyr at målingene er tett samlet, med liten spredning -- selv om de ikke nødvendigvis treffer riktig.

De fire kombinasjonene illustrerer poenget best med en blink. Tenk på nøyaktighet som hvor nær sentrum du treffer, og presisjon som hvor tett samlet pilene dine er. Treffer alle pilene tett rundt blinken, har du både høy nøyaktighet og høy presisjon -- idealet. Treffer de tett samlet, men i et hjørne langt fra blinken, har du høy presisjon men lav nøyaktighet -- et tegn på en systematisk feil. Er pilene spredt rundt blinken, har du lav presisjon men kanskje god nøyaktighet i snitt. Og er de både spredt og langt unna, er det verst tenkelig.

To slags feil

Feil i målinger kommer i to grunnleggende typer, og de oppfører seg helt ulikt. Systematiske feil gir en konsistent forskyvning i samme retning -- alltid for høyt eller alltid for lavt. De påvirker nøyaktigheten, og det gode er at de kan korrigeres. Eksempler: en vekt som viser 0,5 g når den skal vise 0 (alle veiinger blir 0,5 g for høye), et termometer kalibrert 2 °C for høyt, en reagens med urenheter, eller en parallaksefeil der du alltid leser av menisken fra feil vinkel. Du reduserer systematiske feil ved å kalibrere instrumentene mot en kjent standard, bruke rene reagenser, korrigere for kjente feil og sammenligne ulike metoder.

Tilfeldige feil varierer derimot tilfeldig i begge retninger -- noen ganger for høyt, noen ganger for lavt. De påvirker presisjonen ved å øke spredningen, og de kan ikke korrigeres direkte fordi de er uforutsigbare. Eksempler: små variasjoner i avlesning, temperatursvingninger, vibrasjoner og elektrisk støy. Men her finnes et flott triks: tilfeldige feil reduseres ved å gjenta målingen mange ganger og ta gjennomsnittet, fordi de tilfeldige avvikene da delvis opphever hverandre. Du kan også bruke mer presist utstyr, kontrollere miljøet og standardisere prosedyren.

Å tallfeste usikkerheten

Når vi vet at målinger har usikkerhet, må vi tallfeste den. Absolutt usikkerhet oppgis i samme enhet som målingen. Skriver vi $25{,}0 \pm 0{,}1$ g, betyr det at målingen er 25,0 g med en absolutt usikkerhet på 0,1 g, og at den sanne verdien ligger et sted mellom 24,9 og 25,1 g. Relativ usikkerhet oppgis derimot i prosent av målingen: $\displaystyle \text{relativ usikkerhet} = \frac{\text{absolutt usikkerhet}}{\text{måling}} \times 100\%$. For $25{,}0 \pm 0{,}1$ g blir det $\displaystyle \frac{0{,}1}{25{,}0} \times 100\% = 0{,}4\%$. Usikkerheten kommer fra instrumentets oppgitte usikkerhet, avlesningsusikkerhet (gjerne halve minste inndeling) og standardavviket fra gjentatte målinger.

Usikkerheten henger tett sammen med signifikante sifre, som indikerer hvor presis en måling er. Reglene for å telle dem: alle sifre unntatt innledende nuller teller (123 har 3), nuller mellom sifre teller (1003 har 4), nuller etter komma teller (1,200 har 4), innledende nuller teller ikke (0,0012 har 2), mens etterfølgende nuller uten komma er tvetydige (1200 har 2-4). I beregninger gjelder: ved addisjon og subtraksjon har svaret like mange desimaler som det minst presise tallet ($12{,}5 + 0{,}123 = 12{,}6$, ikke 12,623), og ved multiplikasjon og divisjon like mange signifikante sifre som det minst presise tallet ($12{,}5 \times 2{,}1 = 26$, ikke 26,25). Ved avrunding rundes under 5 ned, over 5 opp, og akkurat 5 til nærmeste partall.

Når feilene forplanter seg, og hvordan vi rapporterer

Når vi kombinerer flere målinger i en beregning, kombineres også usikkerhetene -- dette kalles feilfortplantning. Reglene avhenger av regneoperasjonen. Ved addisjon og subtraksjon legges de absolutte usikkerhetene sammen kvadratisk: $\Delta(A + B) = \sqrt{\Delta A^2 + \Delta B^2}$. Ved multiplikasjon og divisjon legges de relative usikkerhetene sammen kvadratisk: $\displaystyle \frac{\Delta(A \times B)}{A \times B} = \sqrt{(\frac{\Delta A}{A})^2 + (\frac{\Delta B}{B})^2}$. Det finnes også en enklere øvre-grense-regel: ved addisjon/subtraksjon legger du de absolutte usikkerhetene rett sammen ($\Delta A + \Delta B$), og ved multiplikasjon/divisjon de relative ($\displaystyle \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B}$).

Til slutt må resultatet rapporteres riktig, slik at andre forstår hvor sikkert det er. Standardformatet er $\text{Resultat} = (\text{verdi} \pm \text{usikkerhet})\ \text{enhet}$, for eksempel $m = (25{,}0 \pm 0{,}1)$ g. Tre regler gjelder: usikkerheten oppgis med 1-2 signifikante sifre (0,1 eller 0,14, ikke 0,14285), verdien skal ha like mange desimaler som usikkerheten (er usikkerheten 0,1, skriver vi 25,0, ikke 25,03), og usikkerheten settes i parentes. Usikkerheten kan også oppgis i prosent ($m = 25{,}0$ g $\pm 0{,}4\%$), og hvis det er relevant, angir vi konfidensnivået, for eksempel $m = (25{,}0 \pm 0{,}1)$ g (95 % konfidens). Slik blir et resultat ærlig: det forteller ikke bare hva du fant, men hvor godt du kjenner det.

Oppsummering

Alle målinger har usikkerhet. Nøyaktighet sier hvor nær den sanne verdien vi er, mens presisjon sier hvor tett samlet målingene er. Feil deles i systematiske (konsistent forskyvning, påvirker nøyaktighet, kan korrigeres ved kalibrering) og tilfeldige (varierer i begge retninger, påvirker presisjon, reduseres ved å gjenta målinger).

Vi tallfester usikkerhet som absolutt (samme enhet) eller relativ (prosent), og uttrykker presisjon med signifikante sifre som følger faste regler i beregninger. Ved feilfortplantning legges absolutte usikkerheter sammen ved addisjon/subtraksjon, og relative ved multiplikasjon/divisjon. Til slutt rapporterer vi ærlig på formen $(\text{verdi} \pm \text{usikkerhet})\ \text{enhet}$, der usikkerheten har 1-2 signifikante sifre og verdien like mange desimaler -- slik at resultatet forteller både hva vi fant og hvor sikre vi er.