9.2 Avsluttende øvingseksamen 1 — epidemi-innpakning

Tre kohorter i en smittesporing er lagt i en nøstet liste. Hva skriver programmet ut?

kohort = [[3, 5], [2], [7, 1, 4]]
total = 0
for gruppe in kohort:
    total += len(gruppe) * gruppe[-1]
print(total, len(kohort))

a) 24 3
b) 22 3
c) 24 6
d) 12 3

Hva skriver programmet ut?

class Teller:
    def __init__(self, start):
        self.n = start

    def __call__(self, okning):
        self.n = self.n + okning
        return self.n

t = Teller(4)
print(t(3), t(3), t.n)

a) 7 7 4
b) 7 10 10
c) 4 7 10
d) 7 10 4

Hva skriver programmet ut? Legg merke til at NumPy skriver arrayer uten komma.

import numpy as np

u = np.zeros(6)
u[0] = 100.0
for n in range(3):
    u[n + 1] = u[n] * 0.8
print(u[:4], u.size, u[-1])

a) [100. 80. 64. 51.2] 6 0.0
b) [100. 80. 64. 51.2] 4 51.2
c) [100. 80. 64.] 6 0.0
d) [80. 64. 51.2 41.0] 6 0.0

Gitt

uker = [10, 11, 12]
tall = [[41, 3], [58, 6], [73, 9]]

Par hvert uttrykk med verdien.

5. [73, 9]

6. 41
7. [3]
8. 12

Filen andel.py inneholder:

import sys

def andel(smittede, testede):
    assert testede > 0, 'ingen tester'
    return 100 * smittede / testede

verdier = {'u10': ['41', '500'], 'u11': ['58', '0'], 'u12': ['sju', '300']}
uke = sys.argv[1]
par = verdier[uke]
print(andel(int(par[0]), int(par[1])))

Par hver kommandolinje med det som skjer.

Programmet skal løse $u' = -0.2u$ fra $t = 0$ til $t = 10$ med 100 steg, med u(0) = 50, ved hjelp av det utleverte ODESolver-hierarkiet. Én linje er fjernet:

from ODESolver import RungeKutta4

def f(t, u):
    return -0.2 * u

solver = RungeKutta4(f)
# HER MANGLER ÉN LINJE
t, u = solver.solve((0, 10), 100)
print(u[-1])

Hvilken linje hører på plassen?

a) solver.u0 = 50.0
b) solver.set_initial_condition(50.0)
c) solver.solve(50.0)
d) solver = RungeKutta4(f, 50.0)

Cosinus kan skrives som en uendelig rekke:

$$\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}$$

a) Skriv en funksjon cos_rekke(x, N) som returnerer summen av leddene fra $k = 0$ til og med $k = N$. (4 poeng)

b) Skriv en testfunksjon test_cos_rekke() som sjekker at cos_rekke gir omtrent samme svar som math.cos for $x = 0.5$ med $N = 10$. Testfunksjonen skal ikke ta argumenter og ikke skrive ut noe. (2 poeng)

Skriv nøyaktig hva programmet skriver ut, med mellomrom og desimaler slik terminalen viser det.

tilfeller = {'u10': 41, 'u11': 58, 'u12': 73}
forrige = 0
for uke in tilfeller:
    if forrige == 0:
        vekst = 0.0
    else:
        vekst = (tilfeller[uke] - forrige) / forrige
    print(f'{uke:>4s}{tilfeller[uke]:5d}{vekst:7.2f}')
    forrige = tilfeller[uke]

Smitteraten i en luftveisinfeksjon varierer med årstiden. En vanlig modell er

$$\beta(t) = \beta_0 \left(1 + a \sin\!\left(\frac{2\pi t}{P}\right)\right)$$

der $t$ måles i døgn, $\beta_0$ er grunnraten, $a$ er svingningens relative størrelse og $P$ er perioden i døgn.

a) Skriv en klasse Smitterate som tar $\beta_0$, $a$ og $P$ i konstruktøren, og som gjør instansen kallbar, slik at beta(t) gir $\beta(t)$. (5 poeng)

b) Utvid klassen med to spesialmetoder: __str__, som returnerer en lesbar formel for raten, og __mul__, slik at beta * k gir en ny Smitterate der grunnraten er ganget med k — det er slik man modellerer et smitteverntiltak som reduserer kontaktraten. (5 poeng)

En kommune modellerer et utbrudd dag for dag. $S_n$ er antall mottakelige og $I_n$ antall smittsomme på dag $n$. Alle som smittes, settes i karantene og regnes som smittsomme; en fast andel $\gamma$ av de smittsomme friskmeldes hvert døgn:

$$S_{n+1} = S_n - \beta S_n I_n$$
$$I_{n+1} = I_n + (S_n - S_{n+1}) - \gamma I_n$$

Legg merke til at $I_{n+1}$ bruker $S_{n+1}$: antall nysmittede er nettopp nedgangen i $S$.

a) Skriv en funksjon karantene(S0, I0, beta, gamma, N) som regner ut $N$ steg og returnerer de to arrayene S og I. (6 poeng)

b) Skriv koden som plotter de to kurvene i samme figur med S0 = 5000, I0 = 10, beta = 2e-4, gamma = 0.25 og N = 60, med aksenavn og forklaring (legende). (3 poeng)

En befolkning på $N = 100\,000$ deles i fire grupper: mottakelige $S$, smittsomme $I$, immune $R$ og vaksinerte $V$. Modellen er

$$S' = -\beta \frac{SI}{N} - \nu S, \qquad I' = \beta \frac{SI}{N} - \gamma I, \qquad R' = \gamma I, \qquad V' = \nu S$$

med $\beta = 0.32$, $\gamma = 0.10$ og $\nu = 0.005$ (vaksinasjonsraten). Ved $t = 0$ er $I = 10$, $S = 99\,990$ og $R = V = 0$. Tiden måles i døgn.

Du har ODESolver-modulen med klassene ForwardEuler og RungeKutta4 tilgjengelig.

a) Skriv høyresiden som en funksjon f(t, u) som pakker ut tilstandsvektoren og returnerer de fire deriverte. (4 poeng)

b) Skriv koden som løser systemet fra $t = 0$ til $t = 180$ med 1800 steg ved hjelp av RungeKutta4, og som pakker ut de fire komponentene i egne variabler. (3 poeng)

c) Skriv koden som plotter de fire kurvene i samme figur med forklaring, og beskriv hva figuren viser. (3 poeng)

Filen smittetall.txt har én linje per bydel og uke, med semikolon som skilletegn og en overskriftslinje først:

bydel;uke;smittede;innlagte
Storhaug;10;41;3
Storhaug;11;58;6
Storhaug;12;73;9
Hillevag;10;22;1
Hillevag;11;19;2
Hillevag;12;31;4
Tasta;10;7;0
Tasta;11;12;1
Tasta;12;9;1

a) Skriv les_smittetall(filnavn) som returnerer en nøstet dictionary der ytre nøkkel er bydelsnavnet, indre nøkkel er ukenummeret som heltall, og verdien er en dictionary {'smittede': ..., 'innlagte': ...} med heltall. (5 poeng)

b) Skriv toppuke(data, bydel) som returnerer ukenummeret der bydelen hadde flest smittede. (3 poeng)

Bruk dictionaryen fra oppgave 12. Du kan løse denne oppgaven selv om du ikke fikk den forrige til å virke — du vet hvordan strukturen ser ut.

a) Skriv filtrer(data, grense) som returnerer en ny dictionary med bare de bydelene der summen av smittede over alle uker er minst grense. Argumentet data skal ikke endres. (3 poeng)

b) Skriv skriv_totaler(data, filnavn) som skriver en fil med overskriftslinja bydel;total og deretter én linje per bydel på formen navn;sum. (3 poeng)

Denne oppgaven bruker Smitterate-klassen fra oppgave 9. Du kan løse den selv om du ikke fikk klassen til å virke: du vet at beta(t) gir $\beta_0(1 + a\sin(2\pi t/P))$, og at beta * k gir en ny Smitterate med grunnraten ganget med k.

a) Skriv to testfunksjoner: test_smitterate(), som sjekker at raten er riktig i to punkter du kan regne ut for hånd, og test_mul(), som sjekker at beta * k gir riktig type og riktige verdier. (4 poeng)

b) Skriv koden som lager en Smitterate med $\beta_0 = 0.30$, $a = 0.25$, $P = 360$, lager et tiltak som reduserer grunnraten til 60 %, og skriver en tabell over begge ratene ved $t = 0, 90, 180, 270$. (2 poeng)