3.3 DRILL — Rekke-implementering med testfunksjon

(Midtveisnivå, sjanger A — kodesporing, altså «hva skriver dette programmet ut?».) Hva skriver programmet ut? Skriv utskriften nøyaktig, med mellomrom og linjeskift slik terminalen viser den.

s = 0
for k in range(1, 4):
    s += (-1)**k * k
    print(k, s, end='  ')
print()

$$e^{y} = \sum_{k=0}^{N} \frac{y^k}{k!}$$

med $y = -\lambda t$.

a) Skriv exp_rekke(y, N).

b) Skriv en testfunksjon for $y = -0{,}7$ med toleranse 1e-10, og velg $N$ selv.

c) Hvorfor er det uproblematisk at $y$ er negativ her, selv om alle leddene i formelen ser positive ut?

$$\ln(1+x) = \sum_{k=1}^{N} (-1)^{k+1}\frac{x^k}{k}$$

a) Skriv ln1p_rekke(x, N).

b) Vis at rekka konvergerer langsomt ved å regne den ut for $N = 3$, $10$ og $40$ med $x = 0{,}2$, og sammenlign med math.log(1.2).

c) Hvilken toleranse ville du valgt i en testfunksjon med $N = 10$?

$$\cosh x = \sum_{n=0}^{N} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

a) Skriv cosh_rekke(x, N).

b) Skriv en testfunksjon mot math.cosh for $x = 1{,}4$.

c) Hva gir funksjonen for $N = 0$, og hvorfor er det en god kontroll?

$$\operatorname{artanh} x = \sum_{n=0}^{N} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \qquad |x| < 1$$

a) Skriv atanh_rekke(x, N).

b) Skriv en testfunksjon for $x = 0{,}6$ som faktisk går gjennom. Du må velge $N$ og tol som henger sammen, og begrunne valget i en kommentar.

c) Forklar hvorfor tol = 1e-10 med $N = 10$ ville feilet, uten at koden er gal.

$$T_0(x) = 1, \qquad T_1(x) = x, \qquad T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)$$

a) Skriv chebyshev(n, x) med en løkke.

b) Skriv en testfunksjon som sjekker mot de kjente formlene $T_2(x) = 2x^2 - 1$ og $T_3(x) = 4x^3 - 3x$ for $x = 0{,}3$.

c) Hvorfor må den nye verdien regnes ut i en egen variabel før lagrene flyttes?

Programmet skal summere $\sum_{n=0}^{N} x^{2n+1}/(2n+1)!$ og teste mot math.sinh. Det har fire feil.

import sinh from math
from math import factorial

def sinh_rekke(x, N):
    s = 0
    for n in range(N):
        s += x**(2*n+1) / factorial(n)
        return s

def test_sinh_rekke(x, N):
    assert sinh_rekke(x, N) == sinh(x)

a) Nevn de fire feilene og si hva hver av dem fører til.

b) Skriv den rettede koden.

(Midtveisnivå, sjanger E — «hvilken linje mangler?». Sjanger E er flervalgstypen der ett kall eller én linje er fjernet fra et ellers riktig program.) Funksjonen skal summere $\sum_{k=0}^{N} x^k/k!$, men én linje er fjernet.

from math import factorial

def exp_rekke(x, N):
    # HER MANGLER ÉN LINJE
    for k in range(N+1):
        s += x**k / factorial(k)
    return s

Hvilken linje hører på plassen?

a) s = 1
b) s = 0
c) s = x
d) return s

I stedet for å oppgi antall ledd, ber oppgaven om at summeringen skal stoppe når leddet er blitt lite nok.

a) Skriv exp_tol(x, eps) som summerer rekka $\sum x^k/k!$ og stopper når absoluttverdien av det siste leddet er mindre enn eps. Funksjonen skal returnere både summen og antall ledd som ble brukt.

b) Kjør den for $x = 1{,}5$ med eps lik 1e-4 og 1e-10, og sammenlign med math.exp.

c) Hvorfor må ledd settes til en verdi større enn eps før løkka?

$$P_0(x) = 1, \qquad P_1(x) = x, \qquad P_{n+1}(x) = \frac{(2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)}{n+1}$$

Legg merke til at koeffisientene her avhenger av $n$, i motsetning til i Chebyshev-formelen.

a) Skriv legendre(n, x) med en løkke.

b) Skriv en testfunksjon mot de kjente formlene $P_3(x) = (5x^3 - 3x)/2$ og $P_4(x) = (35x^4 - 30x^2 + 3)/8$ for $x = 0{,}6$.

c) Hva må du passe ekstra på når koeffisientene avhenger av leddnummeret?

(Midtveisnivå, sjanger D — «hvilke av påstandene er riktige?». Sjanger D er matche-typen der du avgjør om hver påstand holder.) Funksjonen under skal summere $\sum_{k=0}^{N} x^k/k!$.

def rekke(x, N):
    s = 0
    for k in range(N+1):
        s += x**k / factorial(k)
    return s

Avgjør for hver påstand om den er riktig eller gal.

$$\sin x = \sum_{n=0}^{N} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

a) Skriv sin_rekke(x, N).

b) Skriv en testfunksjon som sjekker to punkter: ett der du kjenner svaret uten å regne, og ett der fasiten hentes fra math.sin.

c) Skriv koden som lager en tabell over $x$, sin_rekke(x, 5) og math.sin(x) for fem verdier av $x$ mellom 0 og 3, formatert med seks desimaler.

d) Hva ser du i tabellen når $x$ vokser, og hvorfor?