7.5 Bohrs atommodell

Atomet som sender ut sitt eget strekkodemønster

I 1913, tolv år før kvantemekanikken var ferdig utviklet, foreslo dansken Niels Bohr en modell for hydrogenatomet som endelig klarte å forklare atomets spektrum. Bakgrunnen var en krise. Rutherfords planetmodell (1911) plasserte elektronet i bane rundt kjernen som en planet rundt sola — men et elektron i sirkelbane akselererer, og etter klassisk elektromagnetisme skal en akselererende ladning stråle ut energi. Elektronet ville spiralt inn i kjernen på rundt $10^{-11}$ sekunder, og atomet kollapse! I tillegg ville strålingen hatt alle frekvenser, mens hydrogen faktisk sender ut et skarpt linjespektrum — bare bestemte bølgelengder. Bohr løste begge problemene med tre dristige postulater.

Bohrs postulater og energinivåene

Bohr postulerte for det første at elektronet bare kan befinne seg i bestemte, tillatte baner — stasjonære tilstander — der det ikke stråler, til tross for at det akselererer. For det andre at elektronets dreieimpuls er kvantisert: $L = n\hbar$, der $n = 1, 2, 3, \ldots$. For det tredje at atomet sender ut eller absorberer et foton bare når elektronet hopper mellom to tilstander.

Kombinerer vi disse postulatene med Coulombs lov ($ke^2/r^2 = mv^2/r$) og kvantiseringsbetingelsen ($mvr = n\hbar$), kan vi utlede baneradiene og energinivåene. Baneradien blir $r_n = n^2 a_0$, der $a_0 = 0{,}0529$ nm er Bohr-radius, radien til den innerste banen. Og energien til den $n$-te tilstanden er

$$E_n = -\frac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$$

Det negative fortegnet betyr at elektronet er bundet til kjernen. Grunntilstanden ($n = 1$) har lavest energi, $E_1 = -13{,}6$ eV, og elektronet sitter tettest på kjernen. Eksiterte tilstander ($n = 2, 3, \ldots$) har høyere (mindre negativ) energi: $E_2 = -3{,}40$ eV, $E_3 = -1{,}51$ eV, og så videre mot $E_\infty = 0$. Skal vi rive elektronet helt løs fra grunntilstanden — ionisere atomet — trengs $13{,}6$ eV.

Kvantesprang og spektralserier

Når elektronet hopper fra et høyere nivå $n_i$ til et lavere $n_f$, sendes det ut et foton med nøyaktig den energien som tilsvarer forskjellen mellom nivåene — et kvantesprang:

$$E_{\text{foton}} = E_{n_i} - E_{n_f} = 13{,}6\,\text{eV}\left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)$$

Omvendt absorberes et foton bare hvis det har nøyaktig riktig energi til å løfte elektronet opp et nivå. Det er denne kvantiseringen som gir hydrogen sitt karakteristiske linjespektrum. Bølgelengden følger Rydbergs formel:

$$\frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)$$

der $R_H = 1{,}097\times 10^7$ m⁻¹ er Rydbergkonstanten. Overganger til samme sluttnivå danner en spektralserie: til $n_f = 1$ får vi Lyman-serien (ultrafiolett), til $n_f = 2$ Balmer-serien (synlig lys) og til $n_f = 3$ Paschen-serien (infrarødt). De synlige hydrogenlinjene tilhører altså Balmer-serien. La oss regne H$\alpha$-linjen, overgangen $3 \to 2$: $1/\lambda = 1{,}097\times 10^7(1/4 - 1/9) = 1{,}097\times 10^7\cdot 0{,}1389 = 1{,}524\times 10^6$ m⁻¹, så $\lambda = 656$ nm — den røde linjen vi ser i hydrogenglimt og i stjerner. Vanlige feil å unngå: å glemme at energinivåene er negative, og å bytte om $n_f$ og $n_i$ i Rydbergs formel.

Suksess og begrensninger

Bohrs modell var en enorm triumf. Den forklarte hydrogenets linjespektrum eksakt, ga de riktige energinivåene, og innførte kvantiseringen som senere skulle bli grunnsteinen i hele atomfysikken. Den fungerer fortsatt utmerket som pedagogisk verktøy og gir korrekte energinivåer for hydrogen-lignende ioner med ett elektron, som He⁺ og Li²⁺.

Men modellen har klare begrensninger. Den fungerer bare for hydrogen — for atomer med flere elektroner stemmer den ikke, fordi den ignorerer elektron-elektron-vekselvirkninger. Dessuten er ideen om bestemte baner feil: Heisenbergs usikkerhetsrelasjon (1927) viser at elektronet ikke kan ha en presis bane, og banene må erstattes av tredimensjonale orbitaler — sannsynlighetsskyer. Modellen mangler elektronets spinn, som trengs for å forklare finstrukturen i spektrallinjene, og den sier ingenting om hvor sterke de ulike linjene er. Til slutt er Bohrs baner flate sirkler i et plan, mens den virkelige kvantemekaniske beskrivelsen er romlig.

Til tross for alt dette markerte Bohrs modell et avgjørende steg. Den viste at kvantiseringen Planck og Einstein hadde innført for lys, også gjelder for atomenes struktur — og banet vei for den fullstendige kvantemekanikken som Heisenberg og Schrödinger utviklet et tiår senere.

Oppsummering

Bohrs atommodell (1913) reddet atomet fra den klassiske kollapsen med tre postulater: kvantiserte stasjonære baner uten stråling, kvantisert dreieimpuls $L = n\hbar$, og fotonemisjon/-absorpsjon ved kvantesprang. Energinivåene er $E_n = -13{,}6/n^2$ eV og baneradiene $r_n = n^2 a_0$ med $a_0 = 0{,}0529$ nm. Kvantesprang gir spektrallinjer via Rydbergs formel $1/\lambda = R_H(1/n_f^2 - 1/n_i^2)$, med spektralserier Lyman (UV), Balmer (synlig) og Paschen (IR). Ioniseringsenergien er $13{,}6$ eV. Modellen er en triumf for hydrogen, men begrenset: den gjelder bare hydrogen-lignende atomer, bestemte baner er feil (Heisenberg), og den mangler spinn.