3.3 Elektrisk potensial og spenning

Den elektriske «høyden»

I mekanikken har vi både kraft og potensiell energi. I elektrostatikken har vi tilsvarende både felt og potensial. Hvorfor bry seg med potensial når vi allerede har feltet? Fordi feltet er en vektor med retning, og det blir tungvint å regne med, mens potensialet er en skalar — bare ett tall — som vi kan legge sammen rett fram. Analogien med tyngdekraften er nyttig: i tyngdefeltet er $E_p = mgh$, der $h$ er høyden; i det elektriske feltet er $E_p = qV$, der $V$ er den «elektriske høyden». Når du sier at et batteri er på $9$ V, snakker du nettopp om potensialforskjellen — spenningen — mellom pluss- og minuspolen. I dette kapittelet skal vi knytte sammen potensial, spenning, arbeid og energi.

Potensial, spenning og arbeid

Det elektriske potensialet $V$ i et punkt er den potensielle energien per ladningsenhet for en testladning der: $V = E_p/q$. Enheten er volt (V = J/C), og potensialet er en skalar — det har bare verdi, ingen retning. Vi setter vanligvis $V = 0$ i uendelig. Fra en punktladning $Q$ er potensialet $V = kQ/r$, positivt for positive ladninger, negativt for negative, og det avtar som $1/r$.

Spenning $U$ er rett og slett forskjellen i potensial mellom to punkter: $U = V_A - V_B$. Et $9$ V-batteri har $V_+ - V_- = 9$ V. Når en ladning $q$ flyttes mellom to punkter med spenning $U$, gjør feltet et arbeid

$$W = qU = q(V_A - V_B)$$

Flyttes en positiv ladning fra høyt til lavt potensial, gjør feltet positivt arbeid og ladningen akselererer; flyttes den motsatt vei, må vi tilføre energi. Et avgjørende poeng er at dette arbeidet bare avhenger av start- og sluttpunktet, ikke av veien — den elektriske kraften er konservativ, akkurat som tyngdekraften. Endringen i potensiell energi er $\Delta E_p = q(V_B - V_A) = -W$.

I atom- og kjernefysikk er joule altfor stor, så vi bruker elektronvolt: $1$ eV er energien et elektron får når det akselereres gjennom $1$ V, altså $1$ eV $= 1{,}602\times 10^{-19}$ J. Et elektron akselerert gjennom $100$ V får $100$ eV.

Felt fra potensial, ekvipotensialflater og energi

Felt og potensial er to sider av samme sak. Feltet er den negative deriverte av potensialet:

$$E = -\frac{dV}{dr}$$

Feltet peker dit potensialet synker raskest, og jo brattere fallet, jo sterkere feltet. For et homogent felt blir dette $E = U/d$. Tenk på potensialet $V$ som «høyden» i et fjellandskap og feltet $E$ som «brattheten» — feltet peker nedover, mot lavere potensial. Mellom to plater med $1$ cm avstand og $100$ V blir $E = 100/0{,}01 = 10\,000$ V/m.

En ekvipotensialflate er en flate med samme potensial overalt, akkurat som høydekurver på et kart. De står alltid vinkelrett på feltlinjene, og det kreves null arbeid å flytte en ladning langs en slik flate. Rundt en punktladning er ekvipotensialflatene kuleflater; i et homogent felt er de parallelle plan.

Nå utnytter vi at potensialet er en skalar: fra flere ladninger er det totale potensialet bare en vanlig sum, $V_{\text{total}} = \sum_i kQ_i/r_i$ — ingen vektorer! For $Q_1 = +2{,}0\,\mu$C og $Q_2 = -1{,}0\,\mu$C med $10$ cm avstand er potensialet i midtpunktet ($r = 0{,}05$ m hver): $V_1 = 8{,}99\times 10^9\cdot 2{,}0\times 10^{-6}/0{,}05 = 3{,}60\times 10^5$ V og $V_2 = -1{,}80\times 10^5$ V, så $V_{\text{total}} = 1{,}80\times 10^5$ V. Til slutt: den potensielle energien til en ladning er $E_p = qV$, og for to ladninger er $E_p = kQ_1Q_2/r$ — positiv for like ladninger (det krever arbeid å presse dem sammen), negativ for ulike.

Oppsummering

Elektrisk potensial $V = E_p/q$ er den skalare potensielle energien per ladning, målt i volt (J/C), og fra en punktladning er $V = kQ/r$. Spenning er potensialforskjellen $U = V_A - V_B$, og arbeidet når en ladning flyttes er $W = qU$ — uavhengig av veien, siden kraften er konservativ. I atomfysikk brukes elektronvolt, $1$ eV $= 1{,}602\times 10^{-19}$ J. Felt og potensial henger sammen gjennom $E = -dV/dr$ (eller $E = U/d$ for homogent felt). Ekvipotensialflater står vinkelrett på feltlinjene med null arbeid langs flaten. Siden potensialet er skalart, summeres det enkelt: $V_{\text{total}} = \sum kQ_i/r_i$, og den potensielle energien er $E_p = qV$ eller $E_p = kQ_1Q_2/r$.