2.5 Keplers lover

Energiregnskapet i verdensrommet

Vi har sett på gravitasjonskraften og banebevegelse hver for seg. Nå skal vi bruke et av fysikkens mektigste verktøy: energibetraktninger. Energibevaring lar oss få svar uten å løse kompliserte bevegelseslikninger, og fremfor alt forteller den oss om en bane er bundet (en satellitt som blir værende) eller ubundet (et romfartøy på vei ut for alltid). Fra fysikk 1 kjenner du potensiell energi nær bakken, $E_p = mgh$. Den formelen gjelder bare så lenge $g$ er konstant. Langt fra jorda må vi bruke den fullstendige uttrykket for gravitasjonell potensiell energi — og det åpner et helt nytt landskap av baner, fluktfart og «gravitasjonsbrønner».

Total mekanisk energi og potensiell energi

Den totale mekaniske energien for et objekt med masse $m$ i gravitasjonsfeltet til en masse $M$ er summen av kinetisk og potensiell energi:

$$E = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$$

Legg merke til at den potensielle energien $E_p = -GMm/r$ er negativ. Hvorfor? Fordi vi velger referansepunktet ved uendelig avstand, der $E_p = 0$. Siden gravitasjonen er tiltrekkende, må vi tilføre energi for å flytte objektet ut til uendelig, og dermed er energien ved en endelig avstand lavere — altså negativ. Jo nærmere sentrallegemet, desto mer negativ er $E_p$.

Denne formelen henger fint sammen med den kjente $E_p = mgh$. Nær jordoverflaten, der $h \ll R_J$, kan man vise at endringen $\Delta E_p = E_p(R_J + h) - E_p(R_J) \approx mgh$. Med andre ord er $mgh$ bare en tilnærming som fungerer så lenge vi holder oss nær bakken og $g$ er omtrent konstant. Lenger ute trenger vi det fulle uttrykket $-GMm/r$.

Bundne baner, sirkelbane og virialteoremet

Fortegnet på den totale energien avgjør hele banens skjebne. Er $E < 0$, er bevegelsen bundet: objektet kan aldri unnslippe, og banen er en ellipse eller sirkel — som satellitter, planeter og måner. Er $E = 0$, har vi grensetilfellet med en parabelbane. Er $E > 0$, er bevegelsen ubundet, og banen er en hyperbel der objektet forsvinner med overskuddsfart. Energien fungerer som en slags «banekonto»: negativ saldo betyr at du er i gjeld til gravitasjonsfeltet og ikke kan dra; positiv saldo betyr at du har overskudd til å rømme.

For en sirkelbane kan vi regne ut energien presist. Kraftbalansen gir $v^2 = GM/r$, så $\displaystyle E_k = \frac{1}{2}mv^2 = GMm/2r$. Lagt sammen med $E_p = -GMm/r$ blir totalen

$$E = -\frac{GMm}{2r}$$

Legg merke til den fine strukturen: $\displaystyle E_k = -\frac{1}{2}E_p$, eller $2E_k + E_p = 0$. Dette er virialteoremet for gravitasjon. Det gjelder også for ellipsebaner når vi tar tidsgjennomsnitt, og da blir totalenergien $E = -GMm/2a$ med den store halvaksen $a$ i stedet for $r$ — nøyaktig samme form som for sirkelbanen.

Fluktfart og gravitasjonsbrønnen

Energien gir den reneste utledningen av fluktfart. Ved akkurat flukt er den totale energien null: $\displaystyle \frac{1}{2}mv_{\text{flukt}}^2 - GMm/r = 0$. Løser vi, kansellerer massen, og vi får $v_{\text{flukt}} = \sqrt{2GM/r}$. Sammenlignet med sirkelbanefarten $v_{\text{sirkel}} = \sqrt{GM/r}$ ser vi den vakre sammenhengen $v_{\text{flukt}} = \sqrt{2}\,v_{\text{sirkel}} \approx 1{,}41\,v_{\text{sirkel}}$. La oss regne et eksempel: en romrakett $8000$ km fra jordas sentrum med fart $9{,}0$ km/s. Da er $\displaystyle E = \frac{1}{2}\cdot 9000^2 - GM_J/r$ per kg. Med $GM_J = 3{,}99\times 10^{14}$ blir det spesifikke $E_p = -3{,}99\times 10^{14}/8\times 10^6 = -4{,}99\times 10^7$ J/kg og $E_k = 4{,}05\times 10^7$ J/kg, så $E < 0$ — banen er bundet, en ellipse.

En fin måte å visualisere alt dette på er gravitasjonsbrønnen. Plotter vi potensialet $\phi(r) = -GM/r$ mot avstanden, får vi en kurve som ligner en trakt eller brønn. Et objekt med spesifikk energi $\varepsilon = E/m$ tegnes som en horisontal linje: ligger den under nullnivået er objektet bundet, dypt nede i brønnen; ligger den på null har objektet akkurat fluktenergi; ligger den over kan objektet rømme ut av brønnen. Jo dypere ned i brønnen, jo sterkere er objektet bundet.

Oppsummering

Energibetraktninger forenkler gravitasjonsfysikken kraftig. Den totale mekaniske energien er $\displaystyle E = \frac{1}{2}mv^2 - GMm/r$, der den potensielle energien er negativ med referanse ved uendelig, og $E_p = mgh$ bare er en tilnærming nær bakken. Fortegnet på $E$ avgjør banen: $E<0$ gir bundet ellipse/sirkel, $E=0$ parabel, $E>0$ ubundet hyperbel. For en sirkelbane er $E = -GMm/2r$, og virialteoremet sier $2E_k + E_p = 0$; for ellipser gjelder $E = -GMm/2a$. Fra $E = 0$ får vi fluktfarten $v_{\text{flukt}} = \sqrt{2GM/r} = \sqrt{2}\,v_{\text{sirkel}}$. Hele bildet kan visualiseres som en gravitasjonsbrønn, der dybden forteller hvor sterkt et objekt er bundet.