2.4 Unnslippningsfart og satellittbaner

Da planetbanene viste seg å være ellipser

I over to tusen år var mennesker overbevist om at planetene måtte bevege seg i perfekte sirkler — den mest fullkomne formen. Selv Copernicus, som flyttet sola til sentrum, holdt fast ved sirklene. Det var den tyske astronomen Johannes Kepler (1571–1630) som endelig avslørte sannheten. Ved å granske de utrolig presise observasjonene til Tycho Brahe, oppdaget Kepler at planetbanene ikke er sirkler, men ellipser. Han formulerte tre lover som beskriver planetenes bevegelse helt nøyaktig. Det forbløffende er at lovene var rent empiriske — Kepler visste at de stemte, men ikke hvorfor. Det svaret kom først sytti år senere, da Newton viste at alle tre følger direkte av gravitasjonsloven.

Ellipsens geometri og Keplers første lov

For å forstå Keplers lover må vi vite hva en ellipse er. En ellipse er en lukket kurve der summen av avstandene til to faste punkter — brennpunktene — er konstant. Setter du to stifter i papiret, knytter en tråd rundt dem og trekker blyanten stramt langs tråden, tegner du en ellipse. Den lengste avstanden fra sentrum til kurven er den store halvaksen $a$, den korteste er lille halvakse $b$, og avstanden fra sentrum til hvert brennpunkt er $c$. Disse henger sammen gjennom $c^2 = a^2 - b^2$. Eksentrisiteten $e = c/a$ måler hvor flattrykt ellipsen er: $e = 0$ gir en perfekt sirkel, mens verdier nær $1$ gir en svært langstrakt ellipse.

Keplers første lov sier: planetene beveger seg i ellipser med sola i det ene brennpunktet. Det betyr at avstanden til sola varierer gjennom banen. Det nærmeste punktet kalles perihel og det fjerneste aphel, med avstandene $r_{\text{perihel}} = a(1-e)$ og $r_{\text{aphel}} = a(1+e)$. Jordas eksentrisitet er bare $0{,}017$, så banen er nesten sirkulær — forskjellen mellom perihel ($147$ mill. km i januar) og aphel ($152$ mill. km i juli) er bare cirka $3\%$. At jorda faktisk er nærmest sola midtvinters viser at årstidene ikke skyldes avstanden, men jordaksens helning. Til sammenligning har Halleys komet en eksentrisitet på hele $0{,}967$.

Keplers andre lov: flatesetningen

Keplers første lov beskriver formen på banen; den andre beskriver hastigheten. Keplers andre lov sier: linjen fra sola til planeten sveiper over like store arealer på like lang tid. Konsekvensen er slående — planeten må bevege seg raskere når den er nær sola (ved perihel) og saktere når den er langt unna (ved aphel), for at den tynne, lange «pizzaskiven» ved aphel skal ha samme areal som den korte, brede ved perihel. Matematisk betyr dette at arealhastigheten er konstant, $dA/dt = \text{konstant}$.

Dypest sett er dette et uttrykk for bevaring av angulærmoment (dreieimpuls). Ved perihel og aphel, der hastigheten står vinkelrett på radien, gir dette den enkle sammenhengen $v_{\text{perihel}}\cdot r_{\text{perihel}} = v_{\text{aphel}}\cdot r_{\text{aphel}}$. Forholdet mellom de to hastighetene blir dermed

$$\frac{v_{\text{perihel}}}{v_{\text{aphel}}} = \frac{r_{\text{aphel}}}{r_{\text{perihel}}} = \frac{1+e}{1-e}$$

Jo mer eksentrisk banen er, jo større er fartsforskjellen mellom det nærmeste og fjerneste punktet.

Keplers tredje lov: harmoniloven

Keplers tredje lov gir en matematisk sammenheng mellom hvor stor banen er og hvor lang tid omløpet tar. Den sier at kvadratet av omløpstiden er proporsjonalt med kuben av den store halvaksen:

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}a^3$$

Newton utledet denne for sirkelbaner: gravitasjonskraften gir sentripetalakselerasjonen, $GMm/r^2 = mv^2/r$, og med $v = 2\pi r/T$ får vi $GM/r = 4\pi^2 r^2/T^2$, som løst gir $T^2 = (4\pi^2/GM)r^3$. For sirkler er $r = a$, og det viser seg at den fullstendige utledningen for ellipser gir akkurat samme formel, bare med $a$ som den store halvaksen.

Det praktiske er at $T^2/a^3$ er den samme konstanten for alle legemer rundt samme sentralmasse. Måler vi omløpstid i år og avstand i astronomiske enheter (AU, der $1$ AU er jordas avstand til sola), forsvinner konstanten helt, og vi får den nydelige sammenhengen $T^2 = a^3$. For Mars med $a = 1{,}524$ AU gir dette $T = \sqrt{1{,}524^3} = 1{,}88$ år — akkurat den observerte omløpstiden. En vanlig felle er å forveksle $a$ (den store halvaksen) med radius eller gjennomsnittsavstand; for sirkler er de like, men for ellipser er det $a$ som gjelder.

Oppsummering

Kepler oppdaget tre empiriske lover for planetbevegelse, som Newton senere viste følger av gravitasjonsloven. Første lov: planetene går i ellipser med sola i ett brennpunkt, med perihel $a(1-e)$ og aphel $a(1+e)$, der eksentrisiteten $e = c/a$ måler hvor flattrykt banen er. Andre lov (flatesetningen): radiuslinjen sveiper like store arealer på like lang tid, så planeten går raskest ved perihel — et uttrykk for bevaring av angulærmoment, med $v_{\text{perihel}}r_{\text{perihel}} = v_{\text{aphel}}r_{\text{aphel}}$. Tredje lov (harmoniloven): $T^2 = (4\pi^2/GM)a^3$, som i jordenheter blir det enkle $T^2 = a^3$. Til sammen gir lovene formen, hastigheten og størrelsen på enhver bane.