2.3 Gravitasjonell potensiell energi

Hvorfor faller ikke satellitten ned?

Hver dag stoler du på satellitter uten å tenke over det: GPS-en i mobilen, værvarselet, TV-signalene, internett. Men hvordan klarer en satellitt å holde seg oppe? Hvorfor faller den ikke bare ned? Svaret er forbløffende: den faller faktisk hele tiden — men den faller «forbi» jorda! Farten bortover er så stor at jordoverflaten krummer seg unna like fort som satellitten faller mot den. Resultatet er en evig bane. I dette kapittelet skal vi se hvordan gravitasjon og sirkelbevegelse samarbeider om å holde satellitter i bane, hvordan vi regner ut banehastighet og omløpstid, hva en geostasjonær bane er, og hvordan vi sender romfartøy helt ut av jordas gravitasjonsfelt.

Banehastighet og omløpstid

For at en satellitt skal gå i stabil sirkelbane, må gravitasjonskraften være nøyaktig den sentripetalkraften som trengs for å holde den i sirkel. Vi setter de to like:

$$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$$

Satellittens masse $m$ kansellerer, og etter forenkling sitter vi igjen med banehastigheten

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

Merk to ting: avstanden $r$ måles fra jordas sentrum, ikke fra overflaten, og hastigheten er uavhengig av satellittens masse — derfor opplever astronauter og romstasjon samme fall og dermed vektløshet. Større $r$ gir lavere nødvendig fart.

Omløpstiden $T$ er tiden for én runde. Siden $v = 2\pi r/T$, kan vi kombinere med banehastigheten og løse for $T$:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$$

Dette er ikke noe annet enn Keplers tredje lov for sirkelbaner: $T^2 \propto r^3$. For ISS i $400$ km høyde ($r \approx 6{,}77\times 10^6$ m) gir formlene en banehastighet på om lag $7{,}7$ km/s og en omløpstid på cirka $92$ minutter.

Geostasjonær bane og fluktfart

En helt spesiell bane oppstår når omløpstiden er nøyaktig lik jordas rotasjon, om lag $24$ timer. En slik geostasjonær satellitt ser ut til å henge helt stille over samme punkt på ekvator. Setter vi $T = 86\,400$ s inn i $T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}$ og løser for $r$, finner vi en baneradius på cirka $42\,164$ km fra jordas sentrum, altså en høyde på om lag $35\,786$ km over ekvator, med banehastighet rundt $3{,}1$ km/s. Dette gjør slike satellitter perfekte for TV, vær og kommunikasjon — antennen din kan alltid peke mot samme punkt på himmelen. Ulempen er signalforsinkelsen på rundt $0{,}25$ s hver vei.

Vil vi derimot at noe skal forlate jorda helt, trenger det fluktfart — nok kinetisk energi til å «betale» for all potensiell energi opp til uendelig. Kravet $E_k + E_p \geq 0$ gir ved grensen

$$v_{\text{flukt}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$$

For jorda fra overflaten blir dette $11{,}2$ km/s, eller rundt $40\,000$ km/t. Det er en vakker sammenheng her: fluktfarten er alltid $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ ganger banehastigheten i samme avstand. Hastigheten avgjør skjebnen: er $v$ mindre enn banehastighet faller objektet ned; lik banehastighet gir sirkelbane; mellom bane- og fluktfart gir elliptisk bane; lik fluktfart gir parabel; større enn fluktfart gir hyperbel med overskuddsfart.

Baneendring og satellittsystemer

Å flytte en satellitt fra én sirkelbane til en annen gjøres mest drivstoffeffektivt med en Hohmann-overføringsbane. Ideen er elegant: fra en lav bane med radius $r_1$ øker du farten ved ett punkt slik at satellitten går inn i en elliptisk bane som akkurat rekker opp til $r_2$. Ved det fjerneste punktet (apogeum) øker du farten igjen, og satellitten slår seg til ro i den høyere sirkelbanen. Den totale hastighetsendringen er $\Delta v_{\text{total}} = \Delta v_1 + \Delta v_2$, og overføringen tar halve perioden til overføringsellipsen.

Slike beregninger ligger bak hele vår satellittinfrastruktur. GPS bruker $31$ satellitter i $20\,200$ km høyde med $12$ timers omløpstid; minst fire er alltid synlige, slik at mottakeren kan beregne posisjon ved trilaterasjon — tre satellitter for posisjon og én for tidssynkronisering. Andre systemer er GLONASS (Russland), Galileo (EU), BeiDou (Kina) og SpaceX' Starlink med tusenvis av satellitter i $550$ km høyde for internett. Et fascinerende poeng: GPS-satellittene må korrigere for både spesiell og generell relativitet, fordi klokkene deres går litt annerledes enn klokker på bakken.

Oppsummering

En satellitt holdes i bane fordi gravitasjonskraften leverer akkurat sentripetalkraften — den faller kontinuerlig «forbi» jorda. Av kraftbalansen $GMm/r^2 = mv^2/r$ får vi banehastigheten $v = \sqrt{GM/r}$ og omløpstiden $T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}$, der $r$ måles fra jordas sentrum og begge er uavhengige av satellittmassen. En geostasjonær satellitt har $T = 24$ t i ca. $35\,800$ km høyde og henger stille over ekvator. Fluktfarten $v_{\text{flukt}} = \sqrt{2GM/r}$ (11,2 km/s fra jorda) er $\sqrt{2}$ ganger banehastigheten. Baner endres effektivt med Hohmann-overføring, og hele vår satellittinfrastruktur — GPS, Galileo, Starlink — bygger på disse lovene, helt ned til relativistiske klokkekorreksjoner.