1.3 Kastering - horisontal og skrå

Buen gjennom lufta

Du sparker en fotball mot mål, en venn kaster en basketball mot kurven, vannet spruter i en bue fra hageslangen. Alle disse objektene følger den samme karakteristiske banen gjennom lufta — en bevegelse vi kaller kastering eller prosjektilbevegelse. Ser vi bort fra luftmotstand, påvirkes objektet kun av tyngdekraften, og da gjelder en vakker hemmelighet: vi kan dele bevegelsen i to helt uavhengige deler. Bortover (x-retning) holder hastigheten seg konstant fordi ingen kraft virker der. Oppover og nedover (y-retning) er det rent fritt fall med tyngdeakselerasjonen $g$. Disse to bevegelsene skjer samtidig, men påvirker ikke hverandre — og til sammen tegner de en parabel.

Vi skal møte to typer kast: det horisontale kastet, der objektet sendes vannrett av gårde, og det skrå kastet, der det går ut i en vinkel. Underveis finner vi fluktid, rekkevidde, maksimal høyde og den optimale kastvinkelen.

Det horisontale kastet

Tenk deg at du ruller en ball ut over en bordkant. I det øyeblikket ballen forlater bordet, har den bare hastighet bortover — den vertikale starthastigheten er null, $v_{0y} = 0$. Bortover beveger den seg jevnt: $x = v_0 t$. Nedover faller den fritt fra høyden $h$: $\displaystyle y = h - \frac{1}{2}gt^2$, med vertikal hastighet $v_y = -gt$.

Når treffer ballen gulvet? Når $y = 0$, altså når $\displaystyle h = \frac{1}{2}gt^2$, som gir

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Legg merke til noe forbløffende: tiden i lufta avhenger bare av høyden, ikke av hvor hardt du kaster bortover! Dette er kjernen i det berømte tankeeksperimentet: slipper du én ball rett ned samtidig som du kaster en annen horisontalt fra samme høyde, treffer de bakken samtidig. Den horisontale farten endrer ikke hvor fort ballen faller.

Rekkevidden — hvor langt bortover ballen kommer — blir $R = v_0\sqrt{2h/g}$. La oss prøve: en ball ruller av et bord på $1{,}2$ m med fart $3{,}0$ m/s. Da er $t = \sqrt{2\cdot 1{,}2/9{,}81} = 0{,}49$ s, og rekkevidden $R = 3{,}0\cdot 0{,}49 = 1{,}47$ m. Når den lander, er $v_x = 3{,}0$ m/s og $v_y = -9{,}81\cdot 0{,}49 = -4{,}81$ m/s, så farten er $\sqrt{3{,}0^2 + 4{,}81^2} = 5{,}67$ m/s, i en vinkel $\arctan(4{,}81/3{,}0) = 58°$ under horisontalplanet.

Det skrå kastet

Når en fotball sparkes i en vinkel $\theta$ over horisontalplanet, har starthastigheten både en bortover- og en oppoverdel. Vi dekomponerer: $v_{0x} = v_0\cos\theta$ (konstant) og $v_{0y} = v_0\sin\theta$. Bevegelsen blir $x = v_0\cos\theta\cdot t$ og $\displaystyle y = v_0\sin\theta\cdot t - \frac{1}{2}gt^2$, med vertikal hastighet $v_y = v_0\sin\theta - gt$.

Ballen når sitt høyeste punkt når $v_y = 0$, altså ved $t_{\text{topp}} = v_0\sin\theta/g$. Setter vi dette inn, får vi maksimal høyde

$$h_{\text{max}} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$$

For et kast fra og til samme høyde er banen symmetrisk om toppen, så fluktiden er dobbelt så lang som tiden til toppen: $T = 2v_0\sin\theta/g$. Da blir rekkevidden $R = v_0\cos\theta\cdot T$, som med identiteten $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$ forenkles til den elegante formelen

$$R = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$$

La oss regne: en ball sparkes med $v_0 = 20$ m/s i $30°$, $g = 9{,}81$ m/s². Da er $v_{0x} = 20\cos 30° = 17{,}3$ m/s og $v_{0y} = 20\sin 30° = 10$ m/s. Maksimal høyde blir $h_{\text{max}} = 20^2\cdot 0{,}25/(2\cdot 9{,}81) = 5{,}1$ m, fluktiden $T = 2\cdot 10/9{,}81 = 2{,}04$ s, og rekkevidden $R = 400\cdot\sin 60°/9{,}81 = 35{,}3$ m.

Optimal vinkel, komplementære vinkler og baneformen

Rekkevidden $R = v_0^2\sin 2\theta/g$ blir størst når $\sin 2\theta = 1$, altså når $2\theta = 90°$ og $\theta = 45°$. Da får vi $R_{\text{max}} = v_0^2/g$. En kanonkule med $v_0 = 50$ m/s når dermed $R_{\text{max}} = 50^2/9{,}81 = 255$ m ved $45°$.

Her dukker en vakker symmetri opp. Fordi $\sin 2\theta = \sin(180° - 2\theta)$, gir to komplementære vinkler — vinkler som summerer til $90°$ — nøyaktig samme rekkevidde. Med $v_0 = 50$ m/s gir både $30°$ og $60°$ rekkevidden $221$ m. Forskjellen er baneformen: $30°$ gir en flat, lang bane, mens $60°$ gir en høy, kort bane.

Hva slags kurve er egentlig banen? Eliminerer vi tiden ved å sette $t = x/(v_0\cos\theta)$ inn i y-uttrykket, får vi banelikningen

$$y = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta}$$

Dette er en andregradslikning i $x$ — altså en parabel. Vår modell ser bort fra luftmotstand. I virkeligheten reduserer luftmotstand rekkevidden, baneformen blir litt skjev, optimal vinkel blir litt under $45°$, og rotasjon på ballen kan bøye banen via Magnus-effekten. For oppgaver på dette nivået er likevel den parabolske modellen god nok.

Oppsummering

Kastering er bevegelse i to dimensjoner der bare tyngdekraften virker. Det bærende prinsippet er uavhengighet: horisontalt holder farten seg konstant ($v_x = v_0\cos\theta$), vertikalt er det fritt fall med $a_y = -g$. For et horisontalt kast er $v_{0y} = 0$, tiden i lufta er $t = \sqrt{2h/g}$, og rekkevidden $R = v_0\sqrt{2h/g}$. For et skrått kast dekomponerer vi starthastigheten, finner maksimal høyde $h_{\text{max}} = v_0^2\sin^2\theta/(2g)$, fluktid $T = 2v_0\sin\theta/g$ og rekkevidde $R = v_0^2\sin 2\theta/g$. Rekkevidden er størst ved $45°$, og komplementære vinkler gir samme rekkevidde med ulik baneform. Selve banen er alltid en parabel, beskrevet av $y = x\tan\theta - gx^2/(2v_0^2\cos^2\theta)$.