6.6 Kjerner og stjerner

Kjerner og stjerner

Atomkjernen inneholder enorme mengder energi. Denne energien driver stjerner, kan brukes i kraftverk, og skapte alle grunnstoff vi kjenner.

Atomkjernen (repetisjon)

I kapittel 6.5 så vi at en kjerne ${}^{A}_{Z}X$ har $Z$ protoner og $N = A - Z$ nøytroner, til sammen $A$ nukleoner, og at isotoper har samme $Z$ og ulik $N$.

Eksempler:
- $^4_2$He: Helium (2 protoner, 2 nøytroner)
- $^{12}_6$C: Karbon-12 (6 protoner, 6 nøytroner)
- $^{235}_{92}$U: Uran-235 (92 protoner, 143 nøytroner)

Masser

Proton: $m_p = 1{,}6726 \times 10^{-27}$ kg $\approx 1$ u

Nøytron: $m_n = 1{,}6749 \times 10^{-27}$ kg $\approx 1$ u

Elektron: $m_e = 9{,}1094 \times 10^{-31}$ kg $\approx 0{,}0005$ u

Atomær masseenhet (u):

$$1 \text{ u} = 1{,}6605 \times 10^{-27} \text{ kg}$$

Definert som $\displaystyle \frac{1}{12}$ av massen til $^{12}$C.

Bindingsenergi

Massedefekt

Hvis vi måler massen til en atomkjerne, finner vi at den er mindre enn summen av massen til de enkelte nukleonene!

Massedefekt:

$$\Delta m = (Zm_p + Nm_n) - m_{\text{kjerne}}$$

Eksempel - helium ($^4_2$He):

Teoretisk masse (2 protoner + 2 nøytroner):

$$m_{\text{teoretisk}} = 2 \times 1{,}6726 + 2 \times 1{,}6749 = 6{,}6950 \times 10^{-27} \text{ kg}$$

Faktisk masse:

$$m_{\text{faktisk}} = 6{,}6447 \times 10^{-27} \text{ kg}$$

Massedefekt:

$$\Delta m = 6{,}6950 - 6{,}6447 = 0{,}0503 \times 10^{-27} \text{ kg}$$

Hvor ble massen av?

Bindingsenergi

Ifølge Einsteins relativitetsteori er masse og energi ekvivalente:

$$E = mc^2$$

Den "manglende" massen ble til bindingsenergi - energien som holder kjernen sammen.

Bindingsenergi:

$$E_b = \Delta m c^2$$

Eksempel - helium:

$$E_b = 0{,}0503 \times 10^{-27} \times (3{,}00 \times 10^8)^2 = 4{,}53 \times 10^{-12} \text{ J}$$

Konverter til MeV (1 MeV = $1{,}602 \times 10^{-13}$ J):

$$E_b = \frac{4{,}53 \times 10^{-12}}{1{,}602 \times 10^{-13}} = 28{,}3 \text{ MeV}$$

Praktisk formel:

$$E_b \text{ (MeV)} = \Delta m \text{ (u)} \times 931{,}5$$

Bindingsenergi per nukleon

Bindingsenergi per nukleon:

$$\frac{E_b}{A}$$

Dette er et mål på hvor sterkt bundet kjernen er.

Eksempel - helium:

$$\frac{E_b}{A} = \frac{28{,}3}{4} = 7{,}1 \text{ MeV/nukleon}$$

Bindingsenergikurven

Bindingsenergi per nukleon som funksjon av massetall $A$:

Observasjoner:
1. Lave $A$: Lav bindingsenergi (lett å dele opp)
2. $A \approx 60$ (jern): Maksimal bindingsenergi (~8,8 MeV/nukleon) - mest stabil
3. Høye $A$: Litt lavere bindingsenergi (kan dele seg - fisjon)

Betydning:
- Fusjon av lette kjerner (H → He) frigjør energi (høyere bindingsenergi)
- Fisjon av tunge kjerner (U → Ba + Kr) frigjør energi (høyere bindingsenergi)
- Jern ($^{56}$Fe) er det mest stabile grunnstoffet

Kjernefusjon

Kjernefusjon: To lette kjerner smelter sammen til en tyngre kjerne.

Fusjon i Solen

Proton-proton-kjeden:

$$^1_1\text{H} + ^1_1\text{H} \to ^2_1\text{H} + e^+ + \nu_e$$

(positron og nøytrino sendes ut)

$$^2_1\text{H} + ^1_1\text{H} \to ^3_2\text{He} + \gamma$$

(gammastråling sendes ut)

$$^3_2\text{He} + ^3_2\text{He} \to ^4_2\text{He} + 2 \times ^1_1\text{H}$$

Netto-reaksjon:

$$4 \times ^1_1\text{H} \to ^4_2\text{He} + 2e^+ + 2\nu_e + \text{energi}$$

Energi frigjort: 26,7 MeV per heliumkjerne

Betingelser for fusjon

Problem:
- Protoner har positiv ladning
- Frastøter hverandre (Coulomb-kraft)
- Må komme meget nær for at sterk kjernekraft skal virke

Løsning:
- Høy temperatur (10-15 millioner K i Solens kjerne)
- Høy fart → overvinne Coulomb-barriere
- Høyt trykk (250 milliarder atmosfærer)

Solen:
- Fusjonerer 600 millioner tonn hydrogen per sekund
- Produserer 4 × 10²⁶ W
- Har fusjonert i 4,6 milliarder år
- Har hydrogen for 5 milliarder år til

Fusjon på Jorden

Utfordring: Oppnå høy nok temperatur og trykk

Metoder:
- Magnetisk inneslutning: Plasma holdes inne med magnetfelt (Tokamak, ITER)
- Treghetsfusjon: Laser komprimerer pellet med deuterium-tritium

Fordeler:
- Nesten ubegrenset "drivstoff" (deuterium fra sjøvann)
- Ingen klimagasser
- Lite radioaktivt avfall

Ulemper:
- Meget vanskelig teknisk
- Har ennå ikke oppnådd netto energiproduksjon (Q > 1)

Gjennombrudd 2022: National Ignition Facility (NIF) i USA oppnådde for første gang Q > 1 (energi ut > energi inn)!

Kjernespalting (fisjon)

Kjernespalting (fisjon): En tung kjerne deler seg i to lettere kjerner.

Fisjon av uran-235

Reaksjon:

$$^{235}_{92}\text{U} + ^1_0n \to ^{141}_{56}\text{Ba} + ^{92}_{36}\text{Kr} + 3 \times ^1_0n + \text{energi}$$

Energi frigjort: ~200 MeV per fisjon

Viktig: 3 nøytroner frigjøres → kjedereaksjon

Kjedereaksjon

1. Ett nøytron treffer $^{235}$U
2. Fisjon → frigjør 3 nøytroner
3. 3 nøytroner treffer 3 andre $^{235}$U-kjerner
4. 9 nøytroner frigjøres
5. Osv.

Kritisk masse: Minimum masse for selvopprettholdt kjedereaksjon

Typer:
- Ukontrollert: Atombombe (eksponentiell vekst)
- Kontrollert: Kjernekraftverk (stabil reaksjon)

Kjernekraftverk

Kontroll:
- Kontrollstaver: Absorberer nøytroner (kadmium, bor)
- Senker inn → færre nøytroner → lavere effekt
- Trekker ut → flere nøytroner → høyere effekt

Moderator:
- Bremser nøytroner (tungt vann, grafitt)
- Langsomme nøytroner har høyere sannsynlighet for fisjon

Kjøling:
- Vann fjerner varme fra reaktor
- Damp driver turbiner → elektrisitet

Fordeler:
- Ingen klimagasser
- Høy energitetthet (1 kg uran = millioner kg kull)
- Pålitelig baseload-kraft

Ulemper:
- Radioaktivt avfall (lagring i 100 000 år)
- Risiko for ulykker (Tsjernobyl, Fukushima)
- Dyrt å bygge
- Atomvåpenspredning

Talleksempel

1 kg uran-235:

Antall atomer:

$$N = \frac{1000 \text{ g}}{235 \text{ g/mol}} \times 6{,}022 \times 10^{23} = 2{,}56 \times 10^{24}$$

Energi per fisjon: 200 MeV = $3{,}2 \times 10^{-11}$ J

Total energi:

$$E = 2{,}56 \times 10^{24} \times 3{,}2 \times 10^{-11} = 8{,}2 \times 10^{13} \text{ J}$$

Sammenlign med kull (30 MJ/kg):

$$\frac{8{,}2 \times 10^{13}}{3 \times 10^7} \approx 2{,}7 \times 10^6 \text{ kg}$$

1 kg uran = 2,7 millioner kg kull!

Stjerneutvikling og nukleosyntes

Nukleosyntes: Dannelse av grunnstoff

"Vi er laget av stjernestøv" - Carl Sagan

Alle grunnstoff tyngre enn helium er dannet i stjerner!

Hydrogen og helium fantes allerede før de første stjernene. Alt tyngre dannes i stjerner!

Stjernens livssyklus

1. Protostjerne
- Gravitasjonskollaps av gass-sky
- Temperatur og trykk øker
- Fusjon starter når $T \approx 10^7$ K

2. Hovedserien (som Solen, 90% av livet)
- Fusjonerer hydrogen til helium (proton-proton eller CNO-syklus)
- Stabil: Gravitasjon balanserer fusjonsstrykk
- Solen: 10 milliarder år totalt (5 milliarder gjenstår)

3. Rød kjempe
- Hydrogen brukt opp i kjernen
- Kjerne kollapser, temperatur øker
- Heliumbrenning: $3 \times ^4$He → $^{12}$C (trippel-alfa)
- Ytre lag ekspanderer → rød kjempe
- Fusjonerer også: $^{12}$C + $^4$He → $^{16}$O

4A. Lav masse (< 8 solmasser) → Hvit dverg
- Fusjon stopper ved karbon/oksygen
- Ytre lag kastes ut → planetarisk tåke
- Kjerne kollapser til hvit dverg (Jord-størrelse, meget tett)
- Kjøler langsomt

4B. Høy masse (> 8 solmasser) → Supernova

a) Avansert fusjon:
- $^{12}$C → $^{16}$O → $^{20}$Ne → $^{24}$Mg → $^{28}$Si → ... → $^{56}$Fe
- Kjernen har lag som en løk (Fe i sentrum)

b) Jern-kjerne:
- Jern har høyest bindingsenergi
- Ingen fusjon av jern frigjør energi
- Fusjon stopper
- Gravitasjonskollaps (1 sekund!)

c) Supernova:
- Kjerne kollapser → nøytronstjerne eller svart hull
- Sjokk-bølge kaster ut ytre lag
- Lysstyrke: Lyser som en hel galakse i noen uker!

d) Grunnstoffdannelse:
- s-prosess: Langsom nøytroninnfanging (under røde kjempe-fasen)
- Grunnstoff opp til $^{209}$Bi
- r-prosess: Rask nøytroninnfanging (under supernova)
- Tyngre grunnstoff: uran, gull, platina
- Spredning: Grunnstoff spres ut i rommet

e) Neste generasjon:
- Grunnstoff fra supernova danner nye stjerner
- Solen er 3. generasjon ("Befolkning I")
- Inneholder grunnstoff fra tidligere supernovaer

Opprinnelsen til grunnstoff

- Hydrogen, helium: fantes før de første stjernene
- Karbon, oksygen, nitrogen: Røde kjemper (trippel-alfa, CNO)
- Silisium, magnesium, jern: Massive stjerner
- Gull, uran, platina: Supernovaer, nøytronstjerne-kollisjoner

Konklusjon: Alle atomer i kroppen din (bortsett fra hydrogen) ble dannet i en stjerne!

HR-diagrammet

Et HR-diagram (Hertzsprung–Russell-diagram) viser stjerner med overflatetemperaturen langs den vannrette aksen og den utstrålte effekten langs den loddrette. To ting ved aksene er uvanlige:

- Temperaturen øker mot venstre.
- Begge aksene er logaritmiske. Hvert steg på effektaksen betyr ti ganger så mye, fordi stjernene spenner over mange tierpotenser.

Den utstrålte effekten til en stjerne får symbolet $L$ og oppgis ofte i forhold til sola, $L/L_\text{sol}$. Stefan–Boltzmanns lov (kapittel 5.3) med overflaten $A = 4\pi R^2$ gir $L = \sigma \cdot 4\pi R^2 \cdot T^4$. Deler vi på det samme uttrykket for sola, forkortes $\sigma$ og $4\pi$:

$$\frac{L}{L_\text{sol}} = \frac{\sigma \cdot 4\pi R^2 \cdot T^4}{\sigma \cdot 4\pi R_\text{sol}^2 \cdot T_\text{sol}^4} = \left(\frac{R}{R_\text{sol}}\right)^2 \cdot \left(\frac{T}{T_\text{sol}}\right)^4$$

Solas overflatetemperatur er $T_\text{sol} = 5772\ \mathrm{K}$.

Grupper i diagrammet

- Hovedserien er et bånd fra øverst til venstre (varme, lyssterke stjerner med stor masse) til nederst til høyre (kalde, svake stjerner med liten masse). Her ligger stjernene mens de fusjonerer hydrogen til helium i kjernen, omtrent 90 % av livet. Sola ligger på hovedserien.
- Kjemper og superkjemper ligger øverst til høyre. De er kalde på overflaten, men stråler ut mye fordi radien er svært stor. Hit kommer stjernene når hydrogenet i kjernen er brukt opp.
- Hvite dverger ligger nederst til venstre. De er varme, men stråler ut lite fordi de bare er omtrent like store som jorda.

Stjernens vei gjennom diagrammet

En stjerne flytter seg i diagrammet når den utvikler seg. Sola har ligget på hovedserien i 4,6 milliarder år. Når hydrogenet i kjernen tar slutt, flytter den seg opp og til høyre og blir en rød kjempe. Til slutt kastes de ytre lagene av, og kjernen som blir igjen, er en hvit dverg nederst til venstre.

Hvor på hovedserien en stjerne ligger, bestemmes av massen. Tunge stjerner ligger øverst til venstre og bruker opp brenselet raskt. De lever bare noen millioner år og ender som supernovaer.

Oppsummering

- Atomkjerne: Består av $Z$ protoner og $N$ nøytroner, massetall $A = Z + N$, notasjon: $^A_ZX$
- Isotoper: Samme grunnstoff (samme $Z$), forskjellig antall nøytroner (forskjellig $A$)
- Bindingsenergi: $E_b = \Delta m c^2$ hvor massedefekt $\Delta m = (Zm_p + Nm_n) - m_{\text{kjerne}}$
- Praktisk formel: $E_b$ (MeV) = $\Delta m$ (u) × 931,5, hvor 1 u = $1{,}6605 \times 10^{-27}$ kg
- Bindingsenergi per nukleon $\displaystyle \frac{E_b}{A}$ maksimal for jern (ca. 8,8 MeV/nukleon)
- Fusjon: Lette kjerner smelter sammen, frigjør energi (f.eks. $4 \times ^1$H → $^4$He i Solen)
- Fisjon: Tung kjerne spaltes (f.eks. $^{235}$U), frigjør ca. 200 MeV og 2-3 nøytroner
- Nukleosyntes: H og He fantes før de første stjernene, C-Fe i stjerner, tyngre grunnstoff i supernovaer
- Stjerneutvikling: Protostjerne → Hovedserien → Rød kjempe → Hvit dverg (lav masse) eller Supernova (høy masse)
- HR-diagrammet: temperatur (høy til venstre) mot utstrålt effekt $L/L_\text{sol} = (R/R_\text{sol})^2 \cdot (T/T_\text{sol})^4$; hovedserien, kjemper øverst til høyre og hvite dverger nederst til venstre